Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

ным начальным условиям.

обобщенную

производную

Пусть /(ѵ)

обозначает ѵ-ю

/. Тогда

D x f (X

—

ct)

=

/!2>

(X

ct)

в смысле

25', посколь­

— 3)

ку для любойcp

функции

ср 6Е

D l cp (z) >=

\D%f (X — Ct),

(.X) > =

</ (z — ct),

= </

(x), Dl+ct cp

(z +

ct)

> =

</ (z),

D% cp (x

+

ct)

> =

cp

(x

= </(2) (z),

(x

+

ct)

> = </(2)

— ci),

Cp(x)

>.

Aрованияt

по

параметру

в

(равенство

(1)

п.

2.6) к

пределу

в смысле

сходимости

25'. Тогда

при любой

ср

2) и

—у 0

величина

— с <^гтлТ I/ ('г>~

с{ — сА0 — / (х

— c()h ф

[1],

стремится

к

<—с/(1>( z — ci),

ср (z) >

(см.

Земанян

стр. 53—54),

так что

D

J (х

—

ct)

=

—cfiA

(z —

ct)

в

25'.

на

/(1>

показывает,

что

D* f

(х

—

ct) —

с2/(2>(z — сі)

в 25'. Следовательно,

D\f (х

—

c t ) = c ‘1D l ( x

—

ct)

в

25'.

установить

Аналогичные

равенства

можно

также

для

/ (z +

ct),

h

(z —

ct)

n

/г (z -f-

ct).

Таким образом, функ­

(4)

ция

действительно

удовлетворяет дифференциаль­

ному уравнению (1) в требуемом смысле.

Обратимся теперь к начальным условиям. Для любой

ср е

25

1/2 [ср (z —

ct)

+

ср

(z +

ct)] -*■

ср (z)

(5)

п

Y

[ср (z —

ct)

— ср (z

ci)] — О

паппсать

<h {х(), )> Ф( х(* —

cp

-f

+

<ut

И .

Ф

(*)>

=

ct) -I-

(х

ct))

t

+

ф

—

ct)

—ф

( х

+

c t ) ) — >

</ (ж), ср(а:))

при

->

0.

Итак, первое начальное условие выполнено.

Чтобы проверить второе начальпое условие, исполь­

зуем уравпения

D , f (х

-

ct) =

с/(1)(х -с/),

D tf {х —

ct)

—

— с/(1>(х — ct),

D

D

,h

(х — ct) =

—cg (х — ct),

th (x

4ct)

— cg (x

- ct)

4

4

в

2)'

II

- f

проведем рассуждения так же,

как и выше.

Сделаем

теперь несколько

заключительных

замеча­

ций, преобразуемых

по

Лапласу. На самом же

деле

ниg

начальные условия, пи решение (4) ио обязаныh

быть

преобразуемыми по

Лапласуg,

.

Действительно, если / и

— произвольные обобщенные функции и — обобщен­

ная первообразная для

то (4)

все равно удовлетворяет

З а д а ч

а 3 .9

.1 .

Д о к аз а т ь ,

что

(4) удовлетворяет

втором у на­

чальном у

услови ю .

Д ей ству я

ф орм ально,

найти

в облас

З а

д

а ч

а 3 .9 .2 .

{ ( х ,

г):

—оо <

X

<

оо,

0 <

t

< оо}

реш ение

диффе­

и — и ( х, t)

ренциального

уравнения

D%.u =

D tu,

Кроме того, если этот

( 1)

интеграл сходится при sкаком-либо

значении s, то он будет сходиться при любом из некото­

рой полуплоскости

C T / < R e s < со или даже во всей

могут' быть перенесены на обобщенные функции.

Основная

идея заключается

в построении

подходящих пространствХ аЛ

основных функций.

Для этого

объединяются

методы,

использованные

при

построении пространств

и $,

а именно, методы пространства

Х а>ь,

обеспечивающие необ­

функций при £—>- +

о оТ,

и методы пространства $ , гаран­

тирующие,

что

эти

обобщенные функции сосредоточены

на интервалах вида

£ <

оо

(Г ^> —

с о ) .

Уточним сказанное. При любом выборе действитель­

ного числа

а

определим пространство

Х а

основных функ­

ций

следующим

образом:

функция

ср (£) принадлежит

Х а

тогда и только

тогда,

когда ср (£) является гладкой

наТ

— оо <

£ <

с°

и для

любого

неотрицательного це­

лого числа /с и любого действительного (конечного) числа

удовлетворяет условию

со

ра,т,к(ф)=

snp |ea(ZAp(£)| < ос­

т

е «

Таким

образом,

ср и все ее производные имеют порядок

О

( ~at) при

t-*-

+

оо,

ио при

t-*-

— оо на скорость их

e

Х а

роста

ие

наложено

никаких

ограничений.

— линей­

ное пространство.

Кроме

того,

каждое ра,

т,к

определяет

полунорму

в

Х а,

и совокупность всех таких полунорм

отделяет пространство

Х а,

так как предположение, что

Ра,т,о(ф)

=

0

для

всех

Т ,

влечет

тождество

ср (<)

=

О

на —

оо

<

t

<

с оТ.

Снабдим

Х а

топологией, порожденной мультинормой

к

где

{ Р а ,т , й}т,л,

пробегает

действительные

числа,

а

— неотрицательные целые числа. Из рассуждений, ана­

логичных проведенным в п. 2.3,

следует, что та же самая

топология

порождается

в

Х а

счетной

мультинормой

{Ра,Тр,к}р,и=о'

где

Т ѵ

пробегает

последовательность

точек,

стремящихся

к — оо .

Следовательно,

Х а

— счет-

но-мультииормпрованиое

пространство.

Х а

полноХ

(до­

кажите это),

а

поэтому согласно

теореме

1.8.3

полно

н

сопряженное

к

нему

пространство.

Более того,

а

—

пространство

основных

функций,

а

Х а’

Х а— пространство

обобщенных

функций.

состоит в том,

Очевидное,

но важнейшее свойство

что

e~st

Х а

тогда

и

только sтогда, когда

кпринадлежит

R e s > a .

В

то

же

время

tk

cp

(t)

принадлежит

Х а

при

любом

тогда

н

только

тогда,

когда Re

)>

а.

Пусть

Pa,T,fc (ф)

Т < 1 < оо

Г -т * а ,ъ (О Л кФ (О

<

СТа,М (Ф).

s u p

где

С =

sup I

еа'/к0)Ь (£)|.

Следовательно,

при

любом

Т < і < оо

Ъ Х а, ь

Х а,

выборе

числа

является

подпространством

и

топология

Х а,ъ

сильнее топологии,

индуцированной

на

X 0j ь

пространством

Х а.

Отсюда вытекает,

что суже­

ние любой

обобщенной

функции

/ ЕЕ

£ а

на

Х а,ъ

яв­

ляется

элементом

Х а,

ь>

какое

бы

значение

b

мы

ни

взяли.

а

Аналогичным образомХ с

можно показатьХ а., что если

<

с,

то

Х с

d

Х а,

и

топология

Х с

сильнее топологии, инду­

цированной

на

пространством

Следовательно,

ние

пространств

со

Х

аѵ;

последовательность

сходится в

U

Х—1

X

w

V

(

)

тогда и только

тогда,

когда она сходится в одном

из

пространств

ач.

Кроме

того,

X

w

не

зависит от

(

)

выбора

{ßy}.

Пространство

X

w

к

нему

(

) и сопряженное

пространство

X '

w

w

<Е5и, то

X

(и)

(Z

X

w),

( ) полны. Если

X

(

н сходимость

в

X

(и)

влечет

сходимость

в

(гя);

таким

образом,

сужение любого элемента

£'

w

на

X

(и)

при­

(

)

w

надлежит

X ' (и).

АналогичноX w),

сужение

/ ё

£ '

(

) на

X

w,z)

является

элементом

X '

(w,z)

при любом z.

Далее,

(

(

пространство

25

плотно

в

(докажите это),

хотя оно

и не плотно в

Х а

ни

при каком

а.

Отсюда следует,

что

элементы

X '

w)

являются

распределениями

и

что

это

(

неверно

для

элементов

пространства

X ' а.

Кроме

того,

значения,

которые

любой

элемент / G Ä '

w)

принимает

(

на

3),

однозначно

определяют

/

на

X

w).

Наконец,

(

<£'

является

подпространством

X ’

w)

(докажите

и

это

(

утверждение).

X ’

(w)

В силу предыдущих замечаний / допускает преобразо­

вание Лапласа

в

смысле

п. 3.3,

если /

е=

для не­

которогоах

w,

так

как

в этом случаеах =

/ является элементом(ах)

X

'

(

w

,

X '

wКроме того, существует такое действительное

о о ).

значение

— о о ),

что / е Г

число

(вюшчая

и / ÉjÉ

(

),

если

w < і ах.

Преобразование

Лапласа £/,

как

и

раньше,

определяется

формулой

F

(s)

А

(S/)

(s) ±

</

(t),

e~sl

>,

s е= Q/,

(2)

но

область

определения

представляет теперь

собой пра­

вуюX ’ полуплоскостьw) e~st X :

Q f

=

{s:

ах

< ; Re

s

< ;

с о } .

Правая

часть

(2)

имеет

смысл как

результат

применения

/ ЕЕ

ЕЕ

(

к

е

(П ),

где Re s >

При

этих усло­

і

обобщенной функцией

допускаю­

виях мы будем называть /

,

и (2) —

щей правостороннее преобразование Лапласа,

что

эта

правосторонним преобразованием Лапласа.

Следующие

несколько

абзацев

показывают,

востороннего

преобразования

Лапласа.

Т е о р е м а 3.10.1.

Каждая обобщенная

функция,

допускающая

правостороннее

преобразование

Лапласа,