Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

сосредоточена на полубесконечном интервале вида Т

=

<

о о ,

ср,

/

(т. е.

</,

ср>

О

где T f конечно и зависит от

для любой гладкой функции

тождественно равной

нулю

<

в окрестности интервала

T f ^ t < i

о с ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Путь рассуждений совершен­

теоремы

2.3.1.

Пусть

Л„ обозначает бесконечный полу­

интервал

—п

t < і

оо.

Предположим,

что

элемент /

не

сосредоточен

ни на

каком полуинтервале

вида

T f

t

< С

о о . Это означает,

что для любого

п

найдется глад­

кая функция

фп,

которая

обращается

в нуль

на

Л „, и

для которой </, Ф„>чі=0. Заметим, что ф„

е Ж „

при лю­

бом

а.

Положим

0П =

фцД/.Фп).

Так

как /

^ X ' а,

если

а

(т^ то мы можем применить /

к Ѳл.

Следовательно,

</, Ѳп > =

1 при любом

п.

Но при любом выборе

а

после­

довательность {Ѳп}“=1 СХОДИТСЯ В

Х а

К ф уіІК Ц И И ,

ТОЖ"

дественно

равной

нулю,

так

как

элементы

{Ѳ„

Т

за

tисключением, возможно,

конечного

нх числа,

будут

-равны

нулю

па

любом

заданном

полуинтервале

п

*■

<

оо

(Т

>

—

о с ) .

Следовательно, </,Ѳп >-»- 0 при

со.

Это противоречит предыдущему утверждению, что

</, 0П > =

1

для

всех

п.

Доказательство

закончено.

Если / (г) — локально интегрируемая функция,

такая,

то / (г) =

0

почти всюду на — оо <

t

<

Г/, и

произведе­

t) е~аІ

абсолютно

интегрируемо

на —Хоо

<^£

о о ,

ние / (

то / (£)

порождает

регулярный

элемент

а

(мы

снова

его

обозначаем

через /),

определяемый

выражением

(1) п. 2.4), / задается равенством (3),

где правая часть су­

ществует в смысле Лебега

при всех

( р е Ж

(ш). В

этом

случае

обычная

функция

/ (

t)

должна

быть равна нулю

почти

всюду на

некотором

интервале —

со

< ;

t

<

T t.

Действительно,

в

силу теоремы 3.10.1

существует такое

действительное

число

Tj,

что

оо

Ф ( t)

dt =

0

для

— оо

всех

Ф £Е

3),

носители которых содержатся

в — оо < ;

t

Т<

<С

у,

Возьмем два произвольных действительных числа

а; и

Tf.

удовлетворяющих

неравенству — = о < £ < г / <

/.

Положим

,

0,

t ^ x

и f >г/,

ф(г) = 1

e x p f - ^ r - ^ ) , * < * < >

О =

1X-+00

1/i f{t)

l im [ф(i)]l / n =

?;[f(t)dt.

lim </,ф1/"> =

X

X

t)

X

и

n—у

t)

В силу произвольности

мы можем заключить, что

/(«) = 0

почти всюду

на

— °о < ; f < ;

Tf

(Уильямсон

[1], стр. 87). Наше утверждение доказано.

регу­

Таким образом, преобразование Лапласа 8/

лярной

обобщенной

функции /

из % '

имеет

вид

оо

R e s ^ a ^

F (s)

Tt j(t)e~sldt,

Т е о р е м а З.І0.2.

Для

того чтобы функция

Р

s)

(

была преобразованием Лапласа обобщенной функции

допускающей правостороннее преобразование

Лапласа

и

сосредоточенной на

Т

t

необходимо

/,

и достаточно, чтобы

существовали полуплоскость

Р

^

<

оо ( Г

— оо),

;>

а, в которой F(s) аналитична,

и такой полином

R e s >

И « ) | < е _Ке,т^ ( М ) . Re

( |s|),

что

s > a .

З а д а ч а

я < с сужение

любого

3.10.1.

Показать,

что

при

элемента / е

SSa на 5?с принадлежит SSс.

пространство.

З а д а ч а

3.10.2.

Доказать,

что

SSa — нолпоо

З а д а ч а

3.10.3.

Доказать,

что 3) плотно в SS (w).

З а д а ч а

3.10.4. Показать,

что

— подпространство Sß' (w).

З а д а ч а

3.10.5. Пусть / (t)

— локально иытогрируемая функ­

ция, причем

/ (г) = 0

при

— сю <

t <

Г. Показать, что

/ (г)

дение

e~at

/ (t) абсолютно интегрируемо на

— оо < г-< со

при

всех

а >

w.

3.10.6. Построить

пример,

показывающий,

что

З а д а ч а

утверждение,

обратное утверждению

«каждое правостороннее пре­

роннее

преобразование

Лапласа

с

областью

с х о д и м о с т и

вида

{s: сі <

Res

<

оо}.

Пусть <S*

обозначает

быстро

З а д а ч а 3.10.7.

пространство

убывающих

основных

функций

на

— оэ <

г <

оо, d?' — сопря­

женное

к нему пространство обобщенных функций медленного

роста (эти пространства были описаны в задачах 1.6.4, 1.7.3, 1.8.4

и 1.9.3). Пусть ХТ (г) — гладкая функция, такая, что Хт (г) = 0

при t <

Т — 1 и Кт (г) =

1 прн г >

Т. Доказать следующие утвер­

ждения.

(а)

Если {Фѵ}^! сходится

в Sßc к нулю,

то при

всех а < с

последовательность {Ä.T (г) еа,фѵ (<)}£Li сходится

к

пулю в d?.

(Ь)

Пусть

носитель

обобщенной функции

/ £Е 3)'

ограничен

слева числом Tf

О

пусть

Т <С. Т] и e~atJ 6Е

при всех а )> сц.

Определим / как

функционал на SSC при любом с )> а формулой

оо;

</, е~5‘> = « Г “ '/, Ѵ <а_8)' >, Re s > о > бх.

(с)

Если {фм}“ =1 сходится в d? к нулю, то {:в_а 'фѵ}^=і сходится

в SSa к

нулю.

(d) Пусть

/ 6E

56a при любом а >

ах.

Определим e~at / ( t)

как

функционал

на

<*?

формулой

д

е_ а 'ф>,

ф б і У -

ф> = </,

Тогда e~atf (Е $'■

Далее,

выберем

Т слева от полуинтервала

Т/ ^

^ t <5 оо, на котором /

сосредоточена.

Доказать, что поскольку а

можно взять как угодно

близким к щ, то

A,r e(a-S)'> =

</, е ^ 1},

R e s > c 1.

усилено до утверждения «/ — Іг

в 56' (гг)».

З а д а ч а 3.10.10. Доказать

теорему 3.10.2. Указание. Для

где X — гладкая функция, причем X (f) = 0 при t < — 1 и X (t) =

= 1

црн t —Ѵ</2-(0,Применитьe-si> = </также(0,

теорему 1.8.1. Для доказатель­

ства

достаточности использовать следующий классический факт

кости R e s ^ a

функция G (s) аналитична и удовлетворяет неравен­

ству I G {s) I <

К I s] ~2 e~Re sT, где К — постоянная, и если

с-{-іоо

§ № =

2лі с —5ісс

G №eSlds' с^ а’

то g (I) — непрерывная функция при всех г, g (г) =

0 при t < Т и

СО

G(s) =

g(t) e~sl dt

т

по крайней мере при Re s > а,

причем произведение g (t) é~at огра­

ничено на — оо < t <

оо.

З а д а ч а 3.10.11.

Следуя рассуждениям п. 3.7,

ввести опера­