Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

1+ (0 * / (0

может

рассматриваться как обобщенный

интеграл

— ^1ОО / (X) dx.

Почему?

Вывести формулы преобразования

операций

ч

при отображении

/ I—;>

^ / (ж) dx.

З а д а ч а 3.10.13.

Обычное одностороннее преобразование

Лапласа чаще

определяют интегралом

—ОО

ОО

5 f(t)e~s l dt,

(4)

о

ОО

или — оо. Показать,

что пространство 33+ (w) =

(J

S '*

а

’

можно

определить

ѵ = і

ѵ

как счетное объединение пространств.

если

(c)

Назовем обобщенную функцию

^-преобразуемой,

/ 6Е ££'+

(ш)

при всех w, где 5?'+ (ю) — пространство,

сопряжен­

ное к 33+ (w).

Пусть

Cf — точная нижняя грань всех таких w.

Положим

F

(*) = (Я/) (*) =

</ (0,

Re * >

о ,.

(5)

Показать, что функция F (s)

аналитична при Re s >

а/.

(d)

. При каких условиях, наложенных на локально интегр

руемую функцию / (/), интеграл (4) можпо рассматривать как част­

ный случай

формулы

(5)?

е

Я п,

а, Ъ, а,

со

е

Я п

и

s =

а

+

= К ,

s2, .

. sn} е

rS n.

Как обычно, мы используем обозначения

e~st

=

exp (—

—

s2t2

— . . . —

sntn),

s‘ =

s['s12

. . .Sn".

ное

Пусть

f(t)

— функция из

Я п

в

ЧЗ1. Обычное п-мер-

преобразование Лапласа

отображаетF(s),

функциюF(s)

указан­

ного типа, удовлетворяющую некоторым дополнительным

условиям,

в другую

функцию

где

отображает

%п

в

ЧЗ1

посредством интеграла

(1)

= я$п W ) e - 'l dt.

U,

bv

t, а

татов см. Земанян [2]). Применение двумерного преобра­

Ь

зования Лапласа дано в следующем пункте.

и

Пусть

av,

обозначают ѵ-е компоненты

соответственно.

Положим П

* а ѵ,Ь ѵ (* ѵ ),

где

* « , ь (0 =

v2= l

t4

b v

bvU,

^

^

C\

. .

f

exp

0

oo,

а Л ,

W

— <

exp

— oo < « v< 0 .

3!>а,ъ

I

і)

Я п

4S1,

к (к

Я п)

Символом

будем

теперь

обозначать

пространство

всех

комплекснозначных

гладких

функций

ф(

из

в

Чк

что

при

любом

(t)

таких,

I ха,ь

€=

(ф) =

Га,ад- (ф) = snp

D kq> ( 0 | <

(£ЯП

Как и раньше, в топологии,

порожденной мультинормой

{Ѵл)ь>оі

%а,ъ

— полное

счетно-мультинормированное

пространствоt*e~si(т. еХ.

апространство,ь

Фреше).

Здесь снова

e~st

€Е

£ а,ъ

тогда и

только

тогда,

когда

0 < ^ R e s < [ & ;

и

также

(& =

2, 3,...) в

том и только

Как й в одномерном£ ,

случае,

если

а

с

â

^

Ь,

& а,ъ-и

■ го

%c,dCZ

Ä a,b,

и

топология

X c,d

сильнее

топологии,

индуцированной

на

с і

пространством

Следо­

вательно,

сужение

любого

элемента

/ ё

Ж0,

ь

па

Х Сга

принадлежит

Х с, а-

Кроме

того, свойства I,

II,

III

и V

п. 3.2 могут быть

анепосредственно,ь-

распространены

на

тг-мерный случай, £по крайнейw ,z ) ,

мере в части, относящейся

к пространствам

X ( Однако

понятие счетного объе­

динения пространств

использованное в одномер­

ном случае,

здесь не может быть применено

без некото­

рой потери общности;

поэтому не будем им пользоваться

вообще. Более существенным отличием от одпомерного

случая

является

то,

что лемма 3.2.2

больше

не

верна;

таким

образом,

если

/ — элемент

%а, а

и

%ь, ъ,

причем

а

< ;

Ъ,

то

/

не

обязательно

является

элементом

Х а, ь

или может быть расширен до него. В качестве иллюстра­

ции= К і,этогоі2}, регулярнуюприведем

обобщенную

функцию

случае,

где

t =

П р и м е р

3.11.1.

Рассмотрим

в двумерном

е4 '1=

ехр [— V

«* +

г2).

При а =

{д і,

0}

и —1 <

ах .< 1

функция

с- '1'

принадлежит <2?а, а,

поскольку отношение е- ' 11/ка,

a(t)

абсолютно интегрируемо

в

t-

плоскостп.

Аналогично,

при b =

{0,

Ь2} и — 1

<

Ь2 <

1 функция

е~111 принадлежит 56'ь ъ.

Пусть, далее, ср

=

ехр

(— axtx — a2t„).

Тогда при

ах <

О, Ъ2 >

0,

а =

{olt

0}, Ь =

{0,

Ь2}

функция <р

принадлежит пространству 55а>

так

как (гпри)

неотрицательном

целом к =

{кх,

к2) из ,3?2

«а , Ь W

(

* )

=

(

- «і)к‘ (

-

Ь У

Ч е,^,

1\о №,

Ъ,

(0

е_Ь2'2-

и правая часть этого выражения ограничена в f-плоскостн. Наконец,

положим ах =

— »/ю,

Ь2 =

—9/ю. Тогда, как и выше,

е- ' 1' е 55а, а

и е- І(I

Ei

55ь, ь.

Однако

не является элементом 55а, ь,

поскольку

< е ~ |( |,

Ф

( о

> =

=

5

^V

* ѳ1 х+р l l + —

<2)

] d t i d <

и интеграл

расходится.

Например,

на прямой

t2 =

— tx подынте­

гральная

функция равна

ехр [— У 2

tx +

tx)

,

т. е. стремится к

бесконечности при tx —»

оо. Отсюда следует,

что

в некотором угловом

секторе со

сторонами

t2 =

— (1 +

е) tx,

где

по Лапласу

обобщенной

функции

зависело от

леммы

3.2.2.

Так как

эта лемма несправедлива в ге-мериом про­

странстве,

мы

должны Пустьтеперь

IдействоватьЯ 1,

более

общимПоло­

жим

а

Іа

1)Ъ (т .

е.

а лежит на прямой,

сое­

образом.

О

1.

диняющей точки а и Ь). Тогда

Л е м м а

3.

11.

1.

6Е

=

+ (1 —

-at

Ф м ------сщ—

е

ьГ~ ф ( * )

е

+

0

есть

непрерывное

линейное

отображение

Х а,

в

Х а,а-

Аналогично,

-ы

Ф 1^

------ - a t

,

5 Г ~ Ф ( 0

е

+

е

есть

непрерывное

линейное

отображение

Х в<а

в Хь,ъ-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Правило

Лейбница

диффе­

ренцирования

произведения

остается

справедливым и

в п-мерном случае:

( І ) ф к' ^ ) Ф рФ).

D * m = s

Здесь

р

пробегает

все целые числа

в

Я п,

удовлетво­

ряющие неравенству

0 ^

р

к,

а

( К

А

\

л /Ді\//с2\

\Рп

\Р

/

\Рі )

\Рі )

Поэтому мы можем написать

—at

/1\

_

*a,a(t)Dk

е

Ф (0 _

(О

-at

,

-Ы ~~

]*..„(< )Д - t W.

е

4 -е

D b-P

(О

(2)

Несложные вычисления

показывают,

что

при любом

к

—

р

существует

такаяе -

постоянная

B h- P,

что

D k~p

<Га' +

at

t е м п.

(3)

Следовательно,

из

e ~ bt

формулы (2) вытекает неравенство

Tajdj/c

+

e(О- bl

0<p<fi-

e ~ a l

<

2

\P J

получается

при

Первое утверждение

доказано. Второе

перемене ролей

а

и

Ъ.

аддитивным,

Функционал / в произвольной области обычных функ­

ций

будем называть

если для

каждого

ко­

/ G Ä

ъ,ь,-

• •) / £ Ä Z, г- Это X

означает,

что

/ — аддитив­

ный функционал на Ä a, a (J

b<b

U • ■

• U

^z, сужение

Из леммы 3.11.1 вытекает

f ^

X

a, a

и

/€=%ь,ъ,

где

а фЛ е м м а

3.11.2.

Пустъ

+ (1 —

l)b

,

где I

ЕЕ J?1,

О

Z

Ъ . Положим о = Іа

^

1.

Тогда

/

можно

оп­

расширитъ

до элемента Х а, а,

ределяя

/,

как

функционал на Х а< а,

формулой

е °'ф

е(О

е

Ь'ф (О

) фSEEÄ

</,Ф) > А < 7 ( 0 ,

(4)

е -“ '

+

~ ы

e ~ a t

-I-

е ~ ы

X

Определение (4)

не

меняет

значений

/

на

32aia

или

btb,

если

1

=

0

Хили0, а

I =

1

соответственно (см. задачу

а,а

3.11.2). СХдругой

стороны,

это расширение / аддитивно

в области

U

U #ь,ь-ХБолее того, расширение /

единственно:

не

существует

никакого

другого

аддитив­

ного функционала

в

области

а>а

у gЖ0,„

jj

Ä blb, суже­

ния которого

на

Х а,а

и

X bjb

совпадают

с

сужениями

/. Действительно,

предположим,

что

— такой функцио-