Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 170
Скачиваний: 0
иал. Любая функция ф ЕЕ ІД,, |
0 |
|
может |
быть |
|
|
разложена |
|||||||||||||||
в сумму |
Ф r=—a l Фа + |
фь> |
где согласно |
лемме |
|
3. 11. 1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
- a t |
|
е-ы |
|
|
И |
|
|
Ь =/\ |
е~а1 + е~ы |
|
|
|
Х Ь,Ь. |
|
|||||
Ф в = |
- |
|
Ф (О |
|
|
|
Ф |
|
|
е~Ьіф (О |
|
£= |
|
|
|
|||||||
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда |
ф > = |
<g, |
Фе) + |
<g, |
Фь> = |
|
</. ф>а + |
</,ХФь> = </. ф>- |
||||||||||||||
<gi |
|
|||||||||||||||||||||
Следовательно, g совпадает с / также и на |
|
а |
,0. |
|
|
|||||||||||||||||
Как и |
в |
одномерном |
случае, |
мы |
будем |
|
называть / |
|||||||||||||||
преобразуемой по Лапласу обобщенной функцией, |
|
если она |
||||||||||||||||||||
обладает следующими четырьмя свойствами:d(f) |
|
|||||||||||||||||||||
1) / — функционал в некоторой области |
|
|
|
|
|
обычных |
||||||||||||||||
функций. |
|
{фѵ} и |
{фѵ} — конечные множества, |
элемен |
||||||||||||||||||
2) Если |
||||||||||||||||||||||
ты которых принадлежат |
d(f), |
|
и если |
^]V фѵ = |
|
|
2Vфѵ (здесь |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
мы не требуем, чтобы |
2 ф ѵ € = й ( / ) ) , |
то ^ |
</, |
фѵ> = |
|
|
Ф ѵ>. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
V |
d{f), |
|
|
|
|
|
V |
|
|
Если,(f,в дополнение к этому, |
|
2V |
сРѵ 6= |
то |
|
</, ЕфѵV |
> = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= SV |
|
фѵ > (это соотношение представляет собой обобще- |
ние свойства аддитивности, использованного в одномер-
ном случае)Ъ., |
d(f) |
а,Ъ |
|
|
-Яп, а |
|
Ь. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3) |
Х а<ъ |
d |
|
по |
крайней мере для |
одной |
|
пары |
||||||||||||||
а |
и |
|
где |
|
||||||||||||||||||
точек |
|
|
|
|
ЕЕ |
|
d(f) |
■ < |
|
|
|
|
|
X Cta |
|
|
||||||
4) |
Для |
|
|
|
|
Sßc,d C Z |
сужение |
/ |
на |
при |
||||||||||||
Хлюбого' |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
сtd- |
|
Х а<ь |
|
|
d{f), |
|
|
|
Х'с,с |
|
|
|
|
|
|
|||
надлежит а <^Ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
следует, |
|||||||||||||
Из п-мерного аналога свойства IV |
|
п. 3. 2 |
||||||||||||||||||||
что если |
|
|
|
|
и |
|
|
|
CZ |
|
то |
/ ЕЕ |
|
Ь. |
при |
всех с, |
||||||
удовлетворяющихас, Ъс Я п, асс |
неравенствус Ъс |
а |
|
с |
|
Пустьас, |
|
Л° — |
||||||||||||||
|
|
|
Х |
|
||||||||||||||||||
множество |
всех |
с ЕЕ |
Я п, |
для |
которых |
|
существует |
пара |
||||||||||||||
< |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
такая, |
что |
|
|
bcd |
d(/). |
|||||||
Л®— открытое множество, так |
как |
оно образовано (объе |
||||||||||||||||||||
динением |
всех |
открытых |
множеств вида |
{с : ас |
< |
с |
< |
|||||||||||||||
|
|
|
|
< Ь с } -
Согласно лемме 3.11.2 / можно расширить с помощью формулы (4) до элемента Х а,а при любом сг, лежащем на отрезке прямой, концы которого принадлежат Л®. По свойству 2) это расширение / до элемента Ха, а не зави сит от выбора отрезка прямой (докажите это). Пусть А) обозначает множество всех таких п. А) содержит Л®.
125
|
|
Множество Л/ также открыто. |
Действительно, любая |
||||||||||||||||
точка |
5 |
ё |
|
Л} лежит па прямолинейном |
отрезке |
L , |
концы |
||||||||||||
которого |
сх |
и |
с2 принадлежат Л®. |
Так как |
|
множество |
|||||||||||||
Л® |
открыто, |
то |
существует такое |
г ЕЕ |
т )> 0, |
что |
|||||||||||||
сферы |
S у |
= |
|
{с: |
с (Е: |
Л?п, | с—сх| <С г} |
и |
5 3= { с : |
|
|
с ^ Л п, |
||||||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
\с— |
|
|
г} |
лежат целиком внутри Л®. Но тогда |
каждый |
||||||||||||||
|
|
с2| < |
|
||||||||||||||||
параллельный |
|
прямолинейный |
|
отрезок, |
один из кон |
||||||||||||||
цов которого |
принадлежит 5ц |
а |
второй — |
S 2, |
лежит |
||||||||||||||
целиком |
|
в |
|
Л/. |
Отсюда вытекает, |
что |
сфера |
{с: |
с |
ЕЕ Л п, |
|||||||||
I |
с |
— а | < г } |
также содержится в Л}. Следовательно, |
||||||||||||||||
каждая |
точка А) — внутренняя; это и означает, |
|
что мно |
||||||||||||||||
жество А/ открыто. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Теперь мы можем, снова используя формулу (4), |
|||||||||||||||||
расширить |
/ до |
элемента Ä c,c при любом о Е ^ " , ле |
жащем на прямолинейном отрезке, концы которого при
надлежат А). И з второго свойства / снова следует, что это расширение не зависит от выбора прямолинейного отрезка.
Пусть Л/ — множество всех таких о; оно открыто и содер
жит Л/. Продолжим процесс расширения функции до беско нечности. Пусть Е /— объединение всех таких множеств:
Е{ = |
А® U Л/ U Л/ U |
• ■ • Следовательно, Е/ |
также отк |
||||||
рыто. |
|||||||||
|
Кроме того, |
о ЕЕ Е/ тогда и только тогда, |
когда / |
||||||
можно |
расширить |
до |
элемента |
Х а> |
0, следуя |
указанной |
|||
процедуре, в результате конечного числа шагов. |
(Факти |
чески эта процедура ограничена в том смысле, |
что |
после |
|||||
п-то |
шага последующие пространства не расширяются, |
||||||
т. е. Л" = Л/1 при всех |
тп |
)> |
п. |
Кроме того, |
Е^ |
явля |
|
|
|
ется выпуклой оболочкой множества Л® (см. Вилански [1], стр. 27). Однако мы этими фактами пользоваться не будем.) Получившийся функционал / аддитивен в области
U |
Х а<а |
и единствен в том смысле, что в указанной области |
|||||
öS |
|
|
|
|
Х а, |
|
|
не существует никакого другого функционала отличного |
|||||||
от |
/, |
сужение которого на любое пространство |
|
с, |
где |
||
о ее А®, |
совпадает с / (докажите это). |
|
|
что |
|||
|
В |
дальнейшем |
мы всегда будем предполагать, |
||||
каждая |
преобразуемая по Лапласу обобщенная функ |
||||||
ция |
/ |
расширена |
указанным образом на |
область |
|||
U |
Ä . , « . |
|
|
|
|
126
|
Множество |
Ѳ |
в |
Я л |
или |
cßn называется выпуклым, |
||||||||||||||||||||||
если любой |
|
прямолинейный |
|
отрезок |
|
с концамиG |
в |
<Ѳ |
і це< |
|||||||||||||||||||
ликом |
содержитсяІа |
в Ѳl)b. Другими |
словамиі |
, |
Ѳ выпуклоа b |
|||||||||||||||||||||||
в том и только в том случае, когда при |
в |
Ѳ, |
|
и.О |
|
и |
|
|||||||||||||||||||||
< |
1 точка |
|
|
+ (1 — |
содержится |
|
|
если |
|
|
||||||||||||||||||
принадлежат Ѳ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
Ъ |
выпукло. |
|
|
|
||||||||||||
|
Т е о р е м а 3. И . 1. |
Множество |
3, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
— произвольные |
||||||||||||||||||||
|
Д о к аа з= |
а |
Іат е л ь с т вl)b.о . Пусть |
|
и |
|
||||||||||||||||||||||
точки |
множества |
3/ |
и |
І е ^ |
1, |
|
причем |
0 < Д < Е І - |
По |
|||||||||||||||||||
ложим |
|
|
|
|
|
+ |
(1 — |
|
|
Из |
определения |
множества |
||||||||||||||||
3/ |
следует, |
что а £ Л / |
и |
і |
|
е |
Л/ при некоторых |
р |
и |
q. |
||||||||||||||||||
Но |
|
тогда |
а |
£= Л®, где s = |
1 + |
|
|
|
р |
, |
q). |
Следовательно, |
||||||||||||||||
|
|
|
max ( |
|
|
|||||||||||||||||||||||
er £Е 3/, |
что |
и |
требовалось |
доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Л е м м а 3. |
11. |
3. |
Пустъ |
/ — |
преобразуемая |
по Лап |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т ’ = |
{о: |
а |
|
|||||||||||||||
ласу обобщенная функция. Если множество |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
^ |
а |
^ |
Ь} содержится в |
3/, |
|
то f может бытъ расширена |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
до |
элемента |
£ а,ъ- |
Это |
расширение |
|
единственно |
в том |
|||||||||||||||||||||
смысле |
что |
только |
один |
элемент |
Х а,ъ |
имеет сужения |
||||||||||||||||||||||
на |
все, |
Х а< |
о (а ЕЕ Y ) , |
совпадающие |
с |
/ |
на этих |
функция |
||||||||||||||||||||
|
Я 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
на |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Пусть X — гладкая%а,ъ |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
такая, что X (£) = |
0 |
при |
£ < |
— 1 |
|
и X (£) = 1 |
||||||||||||||||||||
при £ ]> 1. |
|
Тогда для любой функции ср ЕЕ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ср (0 |
|
|
П |
(X (fv) + |
|
[1 - |
|
X (іѵ)]}. |
|
|
|
|
(5) |
||||||||||
|
|
|
|
|
= ср (і) 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Раскрывая произведение в правой части, мы получаем
конечную |
|
сумму, |
слагаемые которой |
имеют |
вид |
(6) |
|||||||||||||
ср (г)Х («о [1 -Х (г,)]. . . |
X (г„) = |
срХ+, _ ,. |
. ., |
+. |
|||||||||||||||
В обозначении Х+, _ , . . ., |
|
+ первый подстрочный значок (+ ) |
|||||||||||||||||
соответствует сомножителю X (іх), второй значок (—) |
|||||||||||||||||||
соответствует |
|
сомножителю |
[1 — X (г2)] |
и т. д. |
|
|
|||||||||||||
Положим |
|
|
а |
= |
{аъ . . ., |
|
а„} |
и |
b |
= |
{^ , |
. . ., |
èn}. |
||||||
Покажем |
теперь, |
что |
|
функция (6) |
является |
элементом |
|||||||||||||
■ 2Д„, где |
а = |
|
{al7 b2, . . |
., |
ап}, |
причем берется компонента |
|||||||||||||
аѵ (или |
Ьѵ), |
еслинаѵ-м месте в правой части стоит знак -}- |
|||||||||||||||||
(или соответственно —). Функция |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
равна нулю в |
|
Ха,аПк |
(срХ+, _, . . ,,+) |
|
Д> —1, |
(7) |
|||||||||||||
Я п |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
везде, исключая |
сектор |
г2 < |
|||||||||||||||
< 1 , • . |
|
tn |
Д> —1. В |
|
этом |
|
секторе |
отношение x0i0/xajb |
|||||||||||
|
|
|
|
|
ограничено некоторой постоянной, которую мы обозначим
127
через В . Таким образом, величина (7) ограпичена выра-
•жеппем
в *а,ь I ^ |
к(фХ+ . - . |
• • • > + ) |
I < |
в 2 |
|
|
|
( к |
|
|
|
I ° к~РК--- • -.+!■ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0< р </с |
\ Р / |
|
|
|
|
|
|
|
. . , , ++ |
||||||
Так как каждая частная производная функция>->- срХА.,+,+ , |
|||||||||||||||||||||||||||||
ограничена в J? n, |
то |
это неравенство доказывает, |
во-пер |
||||||||||||||||||||||||||
вых, наше утверждение и, во-вторых, что ср%а,ь |
|
%а,а. |
|||||||||||||||||||||||||||
есть |
|
непрерывное |
линейное |
|
|
отображение |
|
|
в |
|
|
|
|||||||||||||||||
Х а,Используяь |
разложение (5) в сумму членов, |
аналогич |
|||||||||||||||||||||||||||
ных |
(6), мы расширяем / до линейного функционала на |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
посредством |
определения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
< / іф > |
= |
( |
f |
i |
+! • • М + ) |
+ • ■ |
|
■ + (Ііф^-> |
-1 ■• |
•> |
|
Ф £ = |
|
|
(8) |
||||||||||||||
В предыдущем абзаце мы |
|
показали, |
что ф •-»- ХфХ+, +,. . |
. , + |
|||||||||||||||||||||||||
есть |
|
непрерывное |
линейное |
|
|
отображение |
|
а,ь |
в |
|
Ä a,0, |
||||||||||||||||||
где а = |
{ах, |
а2, . . |
|
а „ } |
GE S/. |
Кроме |
того, по предполо |
||||||||||||||||||||||
жению, |
а/,ъ—- |
элемент |
|
Х аі„ |
при |
|
всех |
о GE Н/. |
Следова |
||||||||||||||||||||
тельно,£ |
</, фѵХ+, |
|
|
|
+> |
—у |
0 |
при V —>- оо, |
если |
фѵ — |
|||||||||||||||||||
—fO |
|
в |
|
|
Аналогичное |
|
утверждение верно и для всех |
||||||||||||||||||||||
остальных слагаемых в правой части (8). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Поэтому в силу леммы 1. 8. 2 формула (8) расширяет / |
||||||||||||||||||||||||||||
до |
элемента |
%а,ь- |
Единственность |
этого |
|
разложения |
|||||||||||||||||||||||
следует из (5), (6) и того факта, |
что каждый элемент / ЕЕ |
||||||||||||||||||||||||||||
GEÄa.b аддитивен в |
Х а,ь- |
Лемма доказана. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
все |
Отметим еще раз, что далее мы всегда будем считать |
||||||||||||||||||||||||||||
|
преобразуемые |
по |
Лапласу |
|
обобщенные |
функции / |
|||||||||||||||||||||||
расширенными до элементов |
|
X |
'Qi |
ъ |
приплюбых |
а, |
Ь, |
для |
|||||||||||||||||||||
которых |
множество |
{а: |
|
а |
^ |
|
о ^ |
Ь} |
содержится |
в |
E f. |
||||||||||||||||||
|
Теперь мы в состоянии определить |
|
-мерпое преобра |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
s, |
Трубой |
в %п |
|||||||||||||||||||||||||
зование |
Лапласа |
|
обобщенных |
|
функций. |
||||||||||||||||||||||||
называется |
любое |
множество |
|
{s} точек |
|
для которых |
|||||||||||||||||||||||
Res |
|
содержится |
£ |
некотором |
множестве |
в |
М п, |
а Im s |
|||||||||||||||||||||
|
в |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
пробегает |
все |
Я п. |
Таким |
|
|
образом, |
если |
|
su |
= |
о0 + |
||||||||||||||||||
+ ісо° принадлежит трубе, то |
и s = |
о0 + |
гео |
принадле |
|||||||||||||||||||||||||
жит трубе при всех со Gr |
|
/ — преобразуемая по Лапласу |
|||||||||||||||||||||||||||
|
Пусть, |
как и раньше, |
|
||||||||||||||||||||||||||
обобщенная%пфункция, |
. |
Трубой |
сходимости |
для |
преобра |
||||||||||||||||||||||||
зования Лапласа |
функции / называется множество Q/ = |
||||||||||||||||||||||||||||
= |
{ s : s £ |
|
R e s G |
Е/}, |
|
где |
Н/ определено выше. Так |
||||||||||||||||||||||
как |
множество |
Е/ |
открыто |
|
и |
выпукло, то открытым и |
|||||||||||||||||||||||
выпуклым является также множество Q/. Мы определим |
|||||||||||||||||||||||||||||
преобразование |
Лапласа |
|
£/ |
|
обобщенной |
функции / |
как |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
128
обычную функцию, задаваемую выражением
Правая |
F ( s ) А |
(й/) (s) А </ (0, в-5'), |
|
S е= ß/. |
|
|
(9) |
|||||||||
часть имеет |
смысл |
как |
результат |
применения |
||||||||||||
/ €= Äe,o |
к е-8' е |
550.о, |
где |
о = Re s |
Е |
S/. |
Кроме |
того, |
||||||||
так как |
множество £2/ |
открыто, |
то |
при |
любом |
s £ ß / |
||||||||||
можно |
найти такие |
а ,b |
ее Е/, что |
труба |
{s: |
a |
< R e |
s < |
^ |
|||||||
< &} |
содержится |
в Qу. |
В |
силу леммы 3.11.3 |
и нашего |
соглашения о расширении каждой преобразуемой по Лап ласу обобщенной функции правая часть (9) также имеет
смысл как результат применения / ее %а,ь к e~st ЕЕ: %а,ь- Как п раньше, запись «й/ = F (s) при s E Ö / » означает, что / — преобразуемая по Лапласу обобщенная функция, расширенная, как указано выше, и что £2у — труба схо димости для й/, где множество Е/ определено описан ным выше способом.
Мы заканчиваем наше рассмотрение п-мерного преоб разования Лапласа простым перечислением некоторых из
его свойств |
(относительно подробностей см. |
Зема- |
|||
нян [2]). |
|
s |
|
|
|
Если / (і) — локально интегрируемая функция, такая, |
|||||
что для |
всех |
а = Re из некоторого открытого |
подмно |
||
жества |
S d |
Л п |
интеграл f{t)e~*‘ dt |
(10) |
|
|
|||||
|
|
|
|
J |
яп
абсолютно сходится, то / (t) порождает регулярную обоб щенную функцию, преобразование Лапласа которой сов падает с (10) при Re s Е S .
Формулы преобразования операций (п. 3.4) остаются справедливыми и в л-мерном случае. Однако теперь
tk обозначает 4 ‘ 4 ’ • • • 4 П ы аналогично sk = s*1Sn’ . . .
• • |
• |
4 n- |
|
|
|
3.11.2 |
(теорема аналитичности). Если |
|||||
|
f |
Т е о р е м а |
s |
то функция F |
|
аналитична в |
||||||
й |
= |
TIF (s) |
при |
ЕЕ £2/, |
(s) |
|||||||
£2/ |
и |
|
|
= </ (0, |
( - I ) '* ' |
|
|
ЕЕ £2/, |
||||
|
D kF ( s ) |
tke~3ty, |
s |
|||||||||
где |
|
ki |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|/с| = |
|
+ /с2 + . . . + |
kn. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
При доказательстве этой теоремы нужно использовать теорему Хартогса (Бохнер и Мартин [1)], в остальном доказательство аналогично проведенному в одномерном случае.
5 А . Г. Земанян |
129 |