Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

множествоТ е о р е м а

(теорема единственности). Пустъ

3.11.3не пусто и F

s

Н

при s

Если

2/ =

F

s) при

s €Е £2/

и Ші — Н

при

s

е= £2/,.

(

( )

(s)

£2/ f) £2Л

(s) =

е= £2/ П

Д) £2h,

то

/ =

h в смысле равенства во всех пространствах

5

а

s

b}

содержится

£ а,Ъі для

которых труба

{ :

^

Re

димости содержала замкнутую трубу

{s:

а

s

Ь},

необходимо и достаточно, чтобы F

(s) была анали­

тична в

и существовал такой

полипом Р , что \F (s)

Ѳв

0 —

^

Re

Р

в общем случае зависит от

(|s|)

Ѳ.

3.11.5.Пустъ Q s

полином( )

Ѳ.

Т е о р е м а

no

компоненЕЕ £2/.­

Возьмем замкнутую подтрубу

Ѳ

трубы

£2/:

Ѳ =

{s:

а

там s,

отличный от пуля

^ Re

s <1 5} d

£2/.

( ) —

Ѳ,

<

всюду в

и такой,

что

Fi*)

К

QM

|П+1 > s £ 0 ,

f{t) =

Q (D ,)

o-j-too

а<Да<^Ъ,

в смысле

равенства

в Х с,й-

Интегрирование

ведется

по

области в с&п, пробегаемой

переменной s

=

а

іа , когда

а

ЕЕ

Я п остается

фиксированным, а

со

изменяется

в

Л

диффе­

п. П ри

этом символ D t обозначает обобщенное

ренцирование в £c,d-

проведенное

в

пн.

3.7

и 3.8,

Исследование свертки,

на п-мерный случай.

Для

этого прежде всего онужно по­

казать, что

при

f е ^ в , ь и ер, е ^

в , і ,

где

., Ъ ^

Л п,

а

Ь,

V =

1, 2,

3,

.

. .,

функции

фѵ

(t)

=

<g

(т), фѵ

(t

-Ь т)>

Х а, ь

и і|)ѵ

0 в

%а, ъ

при ѵ

оо,

также основные изь.

если

ф ,^ - 0

в Ä a,

где а

b, называется функционал на 56а,ь,

определяемый

формулой

СО. ф (* -1- О »,

ф е £ а, ь.

</ *

g ,

Ф>g=

</ (0.

<g

Свертка

/ *

также

принадлежит

Х а, ъ

это утвержде­

;

преобразования

Лапласа устанавливается

следующей

теоремой2g =

.G

s

при

s

Если

множество

и

Пусть

2 f

F

s

при

е е

Т е о р е том а f *3.11.6.g существует

в смысле= ( )сверткиs

в лю£2/­

не

пусто

( )

ée

£2g.

Q/

f]

бом пространстве,

Х Лі

ь,

для

которого

а

^

Ъ

и труба

b}

в

Кроме

того,

{.?:

a < JR e s < ^

содержится

£2/

f~) £2г.

2 ( f * g )

=

F ( s)G ( s),

Qg.

3 а д а ч а 3.11.1.

Доказать

справедливость неравенства (3).

s E ß / f l

З а д а ч а

ЗЛ 1 .2.

(а)

Пусть о,

b ^ .£ R ,n,

а ф Ь ,

ф Е

£2а,а-

Показать,

что

функция

-

е~^Ф (і)

также принадлежит

Sßa,a•

_ at

__ы

(в) Показать,

то это

расширение определяет аддитивный функ­

ционал на 5?а а U SS0i „

U 5?ь, ь-

З а д а ч а

3.11.3.

Доказать

лемму 3.11.2.

З а д а ч а

3.11.4. Доказать,

что расширение / до аддитивного

функционала

на

U

S6a о не зависит от выбора прямолинейного

0eS/

отрезка, использованного при построении расширения. Далее до­

казать,

что существует

лишь один

аддитивный функционал

на

35

0, совпадающий

с / на каждом пространстве

Sßa ,

для

которого

в

Д/З а д а ч а

3.11.5. Доказать утверждение, относящееся к фор­

муле (10).

А?-

З а д а ч а

3.11.6. Если / Е

, то обобщенная

функция /

SSa, ь (а

<

Ь)>

для которых множества

о:

{а

а

<

Ь}

содержатся

в В. Показать, что

Sß

(Е)

прп обычном правиле сложения в общем

случае не является линейным пространством.

3}

(-г)

Введем следующее правило сходимости

в

(Е): последо­

вательность

{ф„}

сходится

в

Sß

(Е)

тогда и только тогда,

когда

она сходится в некотором

пространство

Sßa,b (а <С Ь),

содержащем­

Sß

SÖ

ся в

Sß

(Е).

Показать,

что

тогда

Sß

(S) — пространство с секвен­

циальной сходимостью{фт. Показать1 ,

также,

что

плотно в

Sß

(Е)

в том смысле, что для каждой} „ =функции ср (=

(Е)

существует такая

последовательность

для которой

ср,п е й )

и срт —>ср

в

Sß(S)

при

т со.

Sß'

Sß—»

(S)

обозначает мпожестпо всех

функ­

(г) Пусть,

наконец,

ционалов

па

(S), сужения

которых

на

каждое

пространство

5?а.ь (я <

Ь),

содержащееся в

S3

(S), линейны и непрерывны. Опреде­

лим для

элементов

Sß'

(В) обычным образом равенство, сложение и

умножение на комплексные числа. ВведемSß'

также следующее правило

сходимости

в

Sß'

(В):

последовательность

{д,}

сходится

в

Sß'

(В)

тогда</ѵ, Ф>и

толькоf

тогда,

когдаоо./ѵ £Е

(В)

для всех5 /' (Е)и существует

такой

элементф>

(Е Sß'

(В),

что

для

всех

<р GE

ѵ

(В)

мы

имеем

Sß

яря

Sß'

—► </,

с

V —*

Показать,

что

— линейное,

пространство

секвенциальной

»-сходимостью.

Показать

также,

что

(В)

можно

отождествить с

подпространством

3)'.

что каждой

В силу теоремы 3.11.3 мы можем

сделать вывод,

преобразуемой по

Лапласу

обобщенной

функции / соответствует

единственное

непустое

открытое

выпуклое

множество

3/ С

такое, что

f

(Е Sß'

(В/) и /

ф Sß’

(Ѳ) для любого открытого выпуклого

множества

Ѳ,

не

принадлежащего

целиком В/.

{D l — с 2Z>?) и (х, t) — g (x,t)

(1 )

где

X

ЕЕ Л!1,

t

£Е

(а:,

t)

ЕЕ Л?2;

g (х

,

t) —

заданная

преобразуемая по Лапласу обощеииая функция,

и (х, t

)—

неизвестная

обобщенная

функция и с — действительное

нение

h (х, t)

= б

(х, t),

(2)

( Я Л - с - ’Л?)

X

,

t)

обозначает дельта-функцию, сосредоточенную

где б (

в

начале

х

£)-плоскости. Любое решение

координат на ( ,

h

X

,

t)

уравнения

(2)

называется

элементарным

(или

(

X

решением волнового уравнения, и

фундаментальным)

решение

и

х

мы

увидим ниже,

получается

из

( , £), как

/г (

, г)

преобразованием свертки.

(s, р) е fë2

как

Пусть

s

e f ,

p G

fë1;

рассмотрим

водит

к

равенству

h (х,

e~sx~vty

Н

(s, р) =

<

<),

= [s2

- c-*p*J-1.

(3)

Если

выбрать

трубы

в качестве

сходимости множество

=

((S)

р) : Rep >

I Re

sc | },

то

(3) превращается

в известное преобразование Лапласа,

а именно:

Я (5,р ) =

£ [ - - і - і +( с г - И ) ] >

( s , p ) e = ß h.

(4)

абсолютно интегрируема

на

(х,

і)-плоскости

при

всех (s, р) £Е ßh и

не интегрируема

на

(х,

г)-плоскости

во всех

остальных

случаяхt

. Кроме

того,

при Re

р

I Re

sc I

С

С О

О

— cf

Решение уравнения

(1) дается теперь формулой

(5)

(

,

t) =

h (x, t) * g {x, t).

и X