Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

Скачать файл (12,65Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 175

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

) is доказательства объединяем (2) с двумерными ана логами формулы (12) п. 3.7 и формулы (3) п. 3.8 и полу чаем, что

(D l - с~ЮІ) и (х,	0	-	((Dl -	c-®D?)		h (х,	i)J *	g (х,		0 =
			=	б	(х, t) * g (х, t)			=	g (х, t).
			=	б				=

Выше неявно предполагалось, что свертка (5) суще ствует. Это, конечно, справедливо, если труба сходимо сти Qg для 2g пересекается с Qh. Последнее верно, если, например, обобщенная функция g (х, t) сосредоточена в конечной области (х, ^-плоскости, поскольку тогда Qg совпадает с с&2. Кроме того, решение (5) удовлетворяет уравнению (1) в смысле равенства и дифференцирова

ния в любом пространстве Х а, ь, для которого труба

(s : а ^ Re s 6} содержится в Qg f) ^h-

Г Л А В А 4

ПРЕОБРАЗОВАН И Е М ЕДЛ И Н А


4.1. Введение		отображает функцию
Обычное преобразование	Меллина
/ (ж), определенную на
/ (ж), определенную на	0 < х < ; °а и		удовлетворяющую
некоторым дополнительным условиям,			в функцию	F	s
некоторым дополнительным условиям,			в функцию		( ),

определенную в некоторой полосе комплексной s-плос

кости посредством		интеграла
			ОО
			О				(1)
Это преобразование			О		двусто
Это преобразование		можно вывести из обычного			двусто
роннего	преобразования		Лапласа,	если заменить		t	на
— Ina; и	затем / (— Ina;)		на / (а;) в	формуле (1)	п.		3.1.

В связи с этим многие свойства обычного преобразования Меллина могут быть получены указанной заменой пере менных в различных формулах, характеризующих свой ства преобразования Лапласа. Та же самая ситуация возникает и для преобразований Меллина и Лапласа

обобщенных функций, и				поэтому	преобразование	Мел
лина	некоторыхX		классов		х	) на
				обобщенных функций / (
О <	X <С	°а может быть определено как результат приме
нения / ( ) к ядру а5-1:				< / (ж), Xs	г>.	(2)
			F (s) =

Первым преобразование Меллина обобщенных функций рассмотрел, по-видимому, Фын Кан [1]. Он применил методы, использованные Гельфандом и Шиловым для обобщения преобразования Фурье на все распределения на — оо <^х <С°а (Гельфанд и Шилов [1],т. 1, гл. II), и получил непрямое определение преобразования Мел лина обобщенных функций, основанное на равенстве Парсеваля. Теория, представленная ниже, не является

135

настолько же общей, но имеет то достоинство, что в ней преобразование Меллина обобщенной функции опреде ляется прямо по формуле (2).

Аналогично тому, как преобразование Лапласа по рождает операционное исчисление для дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, преобразо


вание		Меллина порождает операционное					исчисление
для дифференциальных уравнений вида						Р	(xD х) и х)	=
							(
=	g (х),		где	Р	— полином. В последней части настоящей

главы этот результат применяется для анализа некоторых электрических цепей с переменными параметрами, воз буждение которых задается обобщенной функцией, а так же к решению уравнеиня Лапласа для бесконечного клина с обобщенными функциями в качестве граничных условий.

Сривастав и Парихар [1] использовали преобразование

Меллина обобщенных функций,

рассмотренное в этой кни

ге, в теории парных интегральных уравнений.

Отметим, наконец, что преобразование Меллина обоб

щенных

функций может быть распространено

на

/г-мер-

ный

случай,

где

е=

Л п

Д> 0

(см.

Земанян

[2]).

4.2.

Пространства Л а, ъ и J ( { w ,x )

основных

функций и сопряженные к ним

На протяженииX I этой главы буква / обозначает положитель

нуюX

полуосьt —(0,

о о ),X

действительныеа,

ЪпеременныеМ 1

ЕЕ

6Е Л?1 и

ЕЕ

будут

всегда

связаны соотношениями

е-г

— ln

Для

любых

положим

Таким

образом,

х) =

%а,ь (t),

где

%а,ъ (t)

определе

£0іЬ (Л а,ь

ны в и. 3.2.

Обозначим через

пространствок всех гладких

комплекснозначных функций Ѳ ( ) на / таких, что для

любого

неотрицательного целого

числа

h (Ѳ) A

l a , b, , (Ѳ)

s u p

I Ca, ь ( X ) x^D«xQИ

| <

ОО.

Пространство

Л а,ь

0 <*<С О

линейным, если

нем

становится

обычным образом определить сложение

и умножение

на

комплексное число. Функция

х*~г

принадлежит

Л а, ь

тогда

и только тогда,

когда

Функция (lna;),1':rs“1

136

является	элементом			*Ма,ъ		при	любом положительном
целом числе		к	в том		и только в том случае,				J если
О < R e s <	b.								fa,
Функционалы				определяют			полунормы	на		ь,
			J f a,
причем	является			нормой. Кроме того, мы				считаем,
что пространство				ь	снабжено		топологией, порожден

ной мультииормой {£,.}£L0; таким образом, d latь — счет- но-мультинормированиое пространство. Проведя рассуж дения, аналогичные использованным при доказательстве леммы 3.2.1, можно показать, что d latь полно. (Этот факт непосредственно вытекает также из нижеследующей теоремы п полноты пространства 35а, ь.) Пространство

Л а ,ъ, сопряженное к М а>ъ, линейно; мы снабдим его

обычной (слабой) топологией. По теореме 1.8.3 Л а ,ъ также полно.

Если а с и d <55. Ь, то d lc<dCZ -#а, ь, и топология пространства d lCtd сильнее топологии, индуцированной

на нем пространством d la>b. Поэтому сужёние / ЕЕ d la, ъ на

d/Ct а принадлежит d lc, d•

обозначает конечное

Далее, пусть, как

и раньше,

действительное число или — оо, а

— конечное действи

тельное число или +

оо.

Выберем две такие

монотонные

последовательности

{аѵ}^=і

что

аѵ —>-

+ 0

Ъѵ—>- z

— 0. Пусть

d l (w

z )

— счетное объединениеоо

всех

пространств

d lavt

ьѵ; это означает, что

d l (w

^ а ч

ьѵ’

= ѵ=1

и последовательность сходится в d l (w, z) тогда и только тогда, когда она сходится в одном из пространств d la^ b4-

Пусть

d l'

— пространство, сопряженное к

d l

(w,

z).

Так как пространства

d fa>b

полны, то полны также

М (w

d l'

z )

(см. п.

1.7

теорему

1.9.2),

При

этом

функция

(Іпг'Д а;5-1

принадлежит

d l (w, z)

при лю

бом

0, 1,

2, . .

. тогда и только тогда,

когда

w <5

< R e

z .

Укажем,

наконец,

что

d l a>b

d l

w, z)

(

являются

пространствами

основных

функций, а

dt'a, ь

d l' (іо, z)

— пространствами обобщенных функций.

Т е о р е м а

4.2.1.

Пустъ х

е '(.

Отображение

Ѳ (х)

>-*■ е_(Ѳ (е_і) =

(t)

(1)

являются изоморфизмом d layb па 35ajb. Оно также задает изоморфизм М (w, z) на 35 (w, z). Обратное отображение

137

дается

формулой

Ѳ (х).

(2)

Ф (<) >->- х~гц>(—In х) =

Д о к а з а т(хе)

л ь JUс та,вь о .

То,

что

отображения

(1) и

(2) линейны и обратны друг другу, очевидно. Допустим

теперь,

что 0

ЕЕ

•

Как петрудно видеть,

выраже

ние

[e~f0 (e_ ,)J равно

конечной

сумме

членов

вида

архр+1В рѲ (х),

где 0

ар —

постоянная. Поэтому

так

«а, ь (0

D f

[е-'Ѳ (в-*)] =

аА , ъ (х) xP+1D &

(*),

что

ь,

к (ф) =

Т а ,

ь,

[е-'Ѳ

(е-')1 <

аѵ

I і а ,

ъ, р [Ѳ

(*)]■

Т а ,

Следовательно.

(1) является также и непрерывным ото

бражением

Жа,ъ

^а,Ь-

Х а, ъ-

Проведем доказательство в обратном направлении;

предположим,

что Ф ( )

ЕЕ

Прямое вычисление сно

ва

показывает,

что

xk+1Dx

Ія_1Ф (—In я)] =

bpDfQ

( ),

Ък

где

Ь,

— постоянные. Поэтому

Ь,

(ф)-

І а

(Ѳ) = І а , Ь,

[* " * ф (— І а z ) l <

b P

Т а ,

Итак,

(2)

задает

непрерывное

линейное

отображение

•S?a,b

* ^ a ,b *

Так как отображенияХ а,ь м а,ъ(1) и (2) взаимно однозначны,

то мы можем теперь заключить, что они определяют ото

бражения на

соответственно.

Отсюда непо

средственно

следует

утверждение

относительно

прост

ранств

М (а,

Ь)

Доказательство закончено.

(

, z).

Мы можем связать Л а,ъ с Х а,ъ и М ' (w, z) с X ' (w, z), используя формулу, аналогичную формуле замены пере менной в интеграле. Действительно, пусть Ф (<) и Ѳ (х) связаны друг с другом формулами (1) и (2). Каждому

элементу / (х) ЕЕ Л 'а<ь или / (х) ЕЕ М ' (w, z) мы можем соотнести функционал на Х а,ь или X (w, z) соответст

венно. Этот функционал мы обозначим через / (е_()	и оп
ределим формулой</ («"'). Ф (0> = </ (х )> Ѳ(*)>•	(3)

138

Таким образом, отображение / (х) >-»- / (е- ') сопряжено к отображению cp (і) »-»- 0 (х). Наше обозначение / (е~‘) свя зано с тем, что оно соответствует случаю, когда / — обыч ная функция, а формула (3) — равенство между интегра лами. Согласно теоремам 1.10.2 и 4.2.1, отображение

(х)

н* /

(е~()

изоморфизм

а’>ь

на

Х а<ь,

а также

Лзадает'

изоморфизм X '

, z)

на

, z).

<5?â,

(

элементу

другой

стороны,

каждому

g ( ) £=

или g (г) £Е

, г) мы

соотносим функционал g (— Ini)

на

а,ь

или

ЛІ (w,

соответственно, согласно

формуле

< g(— Іпж),

Ѳx)(ж))

(t),

cp (*)>,

(4)

гдеg обозначение

g (— ln

выбрано

по

причинам,

ука

занным

выше.

Таким

образом,

отображение

g (t)

н->-

(— ln

х)

обратно отображеншо / (а:) •->

f(e~‘)

опре

деляет изоморфизм

Х а’ ,ья&

так

же

как и

X '

(w,

на

M ' (w

z).

мы перефор

Для облегчения ссылок в дальнейшем

мулируеми

эти

результатыОтображениев видеf (х) ьтеоремы->- f (е~‘),.

определенное

ми Т е о р е м а 4.2.2.

Пустъ

ср

связаны соотношения

формулой

является

изоморфизмом

Л 'аЛ

на

Х а,ъ>

также

Л(3),' (w

на

X ' (wформулой

отображение

(1)

(2).

, z).

Обратное

g (t) l-v £ (— ln x), z)задается

(4).

Л а,Ът

Л аДругие,

результаты,

относящиеся к пространствам,

ъ,

(w,

Л '

, z),

перечислены

ниже.

ХОни

могут быть

(

установлены

непосредственно модификацией

доказательств соответствующих свойств пространств	а, ь,

Х а,ъі X (w, z) ж Х' (w, z) либо путем использования^теорем

4.2.1и 4.2.2 и аналогичных утверждений для других

пространств, таких, как

35,

35(1),

35'

35'(I).

35(1)

является подпространством

обоих пространств

Л а,Ъ

(w,

z),

сходимость в

35 (I)

влечет сходимость

Л а ь

(w,

z).

Поэтому сужение любого

элемента

Л '

/еЕ.^а.ь или / Е=

(w,

на

35(1)

принадлежит

35' (I).

Кроме того,

35(1)

плотно в

(w,

z). Отсюда следует, что

Л '

(w,

— подпространство

35'

(/),

а также

что

значе

ния, которые / 6Е

Л '

(w, z)

принимает на элементах

35(1),

однозначно

определяют

его

значения на

элементах

(w,

z).

Л с^

Л а^ъ,

II.

Если

то

топо

логия

Л Сі(1

сильнее топологии, индуцированной

на

с>d

139

Смотрите также файлы

Курсовая работа по дисциплине Теплотехника Студент гр. Гр2011 М. Н. Осокин.docx

Теоретические аспекты интегрированного и инклюзивного образования детей с овз.ppt

Моя семья. Краткие прилагательные.docx

Лабораторная работа 5 По дисциплине Химия (наименование учебной дисциплины согласно учебному плану).docx

Мануфактура.docx

Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно