Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

/ ЕЕ

м'а,ь

на

Л Суі

принадлежит

(мы

отмечали это

н раньше). С другой стороны, если

іо

и

и

ѵ

z,

то

Л- (и, V) —

подпространство

Л

(го,

z),

и

сходи­

J i '

(w, плотное

мость в

Л (и, и)

влечета

ЬсходимостьЛ а,ъ

в

Л (іо, z).

Поэто­

z)

Л ' (и, ѵ).

му

S

Для

является подпространством

подпростран­

III .

любых

Лиа,ъ

— плотноеS

ство

(/),

причем

топология

Л 0іЬ

сильпео топологии,

индуцированной на

пространством

(/). Поэтому

IV .

Для

любого

элемента / €Е

Л

по­

Ла,ьа,ьсуществуют

ложительная

постоянная

С

и

неотрицательное целое

число

г, такие,

что

для

всех

0 €Е

I </, ѳ> | <

С

max

£а, ь,,ДѲ).

0 < fc < r

V .

Если

f (х)

— локально

интегрируемая на 0

< іх

<

<

;

o q

функция

такая,

что отношение / (я)/Са,ь

(х)

солютно интегрируемо на 0 <

х

-< оа, то /

(х)

порождает

в

пространстве

Л а,ь

регулярный

элемент

/ по формуле

</, Q> =

\f ( x) Q (х) dx,

Ѳ е Л а> ъ.

(5)

О

3) (/) на 3),

а

также изоморфизм $ (/) па %. Отсюда вытекает, что

(3)

определяет

изоморфизм между Ю’ н 3)'

(I), а также между

и Г

(/).

4.2.3. Доказать утверждоиия, сформулированные в

З а д а ч а

свойствах I,

II, III и V непосредственно,

без использования тео­

рем

4.2.1 и

4.2.2.

Мы

будем

называть

/

преобразуемой по Меллину обоб­

щенной функцией,

если /

обладает

следующими

свойст­

вами:

1) / — функционал

в

некоторой

области

d

(/) обыч­

ных

функций.

,

т. е.

если ср, ф и ср + ф принадлежат

d

2)

/Л аддитивена>ь d

(/),

то < /,а,Ф -I-

ф >

=

< /, ср> -I- < /, ф>.

3)

CI (/) хотя бы для одной пары действитель­

ных

чисел

Ъ,

где

а <б.Ь.

4)

Для

всех

J/.c>d d

d

(/) сужение / на

,Mwl

принад­

лежит

Л сщ

всех действительных чисел а,

Пусть Л/ — множество

аа, Ь0,

зависящих от

а,

аа

< Ь а,

и

J f aa,bad

селd

чтоах

и

С

(/). Пусть,ахкроме

того,

g 2 — соответственно

нижняя и верхняя точные

грани Л/.

При этом допуска­

ются значения

=

— оо и ös =

+

оо, В силу теоремы

4.2.2

и первой части п.

3.3 / можно расширить до функ­

ционала

fi

на

d

(/)

(J

Л

(сц, о2),

имеющего

следующие

два

свойства:

быть расширена до функционала Д ,

однако

обозначать

Д будем снова через /.

Приняв это соглашение, мы можем

теперь

сказать,

что

для любой преобразуемой по Меллину

обобщенной

функции

существует единственный непус­

той

интервал

(сц,

а 2),

в котором

/

имеет непрерывное

ни

на

каком

не

определена

линейное сужение на

Л ( а х, а 2),

причем

/

,

< ;a lt

либо z^> о2.

пространстве J t

w

z),

если

либо w

(

/

4g1:

Для

любой

преобразуемой по Меллину обобщенной

функции /

обозначим через Q/ полосу в

&f =

{s\

G1< R e s < G 2},

где сц и а2 определены выше.

Преобразованием Меллина

обычная

функция

обобщенной

функции

/

называется

F

(s), определенная

на

формулой

F

(s) А

( Щ (s)

А

</ (я),

а-3“1),

s e ß / .

(1)

Правая

часть

имеет1

смысл,

поскольку /

(сц, о2) я

Меллина.

о2)

при любом фиксированном

s £Е £2/.

Ото­

г '"1 ЕЕ <М (сц,

F

бражение

$02 : / ->-

также

называется

преобразованием

Область

Q/ называется

полосой

(или

областью)

сходимости

$02/, а

ах

и

а 2 —

абсциссами сходимости

$02/.

Когда

мы

пишем

$82/,

то подразумеваем при

этом, что

ширенная указанным выше образом.

в

теореме

4.2.1,

При

отображении, определенном

функции

e~st

и а;5-1 соответствуют друг

другу. Из

этого

разуемафакта и потеоремыМеллину4.2.2тогдаследуети только

тогда

когда

(е~1)

Т е о р е м а 4.3.1.

Обобщенная функция

х )

преоб­

/ (

является преобразуемой по Лапласу обобщенной функци­

ей.

В этом

случае полосы определения

,

и

при

/{е~1)\

совпадают

и

F (в)

2

\е~1)]

всех

,

$02 [/ (а;)] =

=

$02 [/ (а;)]

й [/

s е

Q ,.

[/

различные

На

основании теорем 4.2.1, 4.2.2

и 4.3.1

перенестп

на

преобразование

Меллина,

сделав подста­

новку

і н-

— log

X

,

X

(сц, п2)

I-)-

Л

(сгц о2),

X '

(Оц а 2)

•->-

>->

Л '

(сц,

о2),

«Лаплас Меллии», S

^

$02. Для

об­

результатов.

(теорема аналитичности). Если

Из

Fтеоремы

3.3.1 и формулы (5) п. 3.4 вытекает

Т е о р е м а

4.3.2

то функция F (в) аналитична в

$02/ =

(в)

при

SEE£2/,

Q/

и

< /

(In

Xs' 1) = < /

e Q/,

(s) =

(х),

x f

(x), D U 3' 1), s

D *F

k

=

1, 2, 3, . . .

(2)

следующие теоремы обращения и единственности.

Т е о р е м а

4.3.3.

Пустъ

$02/ =

F

(s) при

Oj -< R es< ^

в

< а 2,

и

пустъ

г

—

действительная

переменная.

Тогда

в X)'

(/)

смысле

сходимости

±

о+іг

F{s) x -‘ds,

/ (0 =

lim

J

a—ir

где

а

любое фиксированное действительное число

удов­

летворяющее неравенству

о г

< ; аН<(ва2.

,Пустъ

F

s) при

—

4.3.4

(теорема единственности).

Т е о р е м а

$02/г —

£Е йл.

$02/ =

(

s E ß /

)

при s

Если

множество

Q/ П

пе

пусто

и

F

(s)

=

Н

(s)

при

z),

где

ЕЕ £2/

П

Q/и

то

f = h

в

смысле

равенства в d l' (w,s e

интервал

сw < ö

< z

является пересечением

множе­

ства

осью.

Теорема

действительной

3.6.1

превращается в следующую.

F

(s)

Q/П ^/і

4.3.5.

Для

того

чтобы

функция

Т е о р е м а

была

преобразованием Меллина

обобщенной

функции f

(б

смысле

определения

(1))

и

чтобы

соответствующая

Q ,

=

{

< R e

< a 2},

полоса сходимости имела

вид

s

0

s

в

и для любой замкнутой

: !

необходимо и достаточно, чтобы F

(s)

была аналитична

Ь}

полосы

Qf (Оі < іа

< ib

а

Q/,

подполосы

{ s :

^

R e s ^

полином

Р ,

что

\F

Р

s

существовал бы такой

(s)|

( |

j

)

при

а

^

Re

s

^

b.

Полином

Р

в общем

случае

зависит от выбора а и Ъ.

<Г сг2)

что при Jлюбомl ' 0

вы­

Из0

теорем

4.3.4

и 4.3.5

следует,

боре

Х п

0

где

0

осу­

2,

! < о2, преобразование Меллина

ществляет

взаимно однозначное

отображение

(

Х,

о2)

логx

следствия 3.6.1а, однако мы отложим формулировку

этого

утверждения

до того,

как будет введен

оператор

—

D

x, в которой

переходит

оператор

D t

(см.

теорему

леммы 3.6.1, который мы сформулируемфункция F следующиманалитичнаоб­

Т е о р е м а

4.3.1.

Если

(s)

вразомполосе.

и удовлетворяет в ней не­

равенству

{ s : a - < R e s < C b }

где К

постоянная, и если

I

F

(s) I

К

I

s

I “2,

—

—

О—і00

/

—

(3)

где

а

фиксированное число,

то

(х)

непрерывная

на

О

< С X

<

оо

функция, не зависящая от выбора а и порож­

дающая

регулярный элемент

пространства Л ' (а,

Ь).

Кроме

того,

5К/ =

F (s),

по

крайней мере

при

а <( Re s

Ъ.