Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

Скачать файл (12,65Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 177

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

З а д а ч а 4.3.1. Нѳ пспользуя теоремы 4.2.2, доказать что любая преобразуемая по Лапласу обобщенная функция является элементом^' (щ, а.,) либо может быть расширена до него описанным выше способом. Указание, использовать аналог леммы 4.2.2, ко

торый предлагалось		доказать в		задаче 4.2.4.
З а д а ч а	4.3.2.	Показать,		что если / (.т) — локально	инте
грируемая на	0 < ж <		функция, такая, что при любом		о из
некоторого интервала (с,,ооа.,) функция ж0-1 / (ж) абсолютно интегри
руема па 0 <	X < оо,		то обычноо преобразование Меллппа
			ОО
			F (.?) = ^	/ (ж) л;5-1 dx

совпадает с преобразованием Меллипа регулярной обобщенной функции, порожденной функцией / (ж).

З а д а ч а 4.3.3. Найти преобразования Меллина и соответ ствующие области определения для следующих обобщенных функций:

			(а)		(ж — а),		(Ъ) ж* 1 + (ж — а),
				(с)	ж*1' 1+ (а — ж),			(d)	е~ах.
Здесь		а — действительное				положительное				число,	к — неотрица
тельное целое число и 1+ (<)						обозначает функцию Хевисайда.
	З а д а ч а		4.3.4.		Пусть		а — действительное				положительное
				ОО
число. Показать, что 2					б (ж — аѵ) является элементом J li' (— оо, 0).
Показать, кроме				ѵ=1
				того, что
			ОО
		9ft 2		б (ж — аѵ) =			а5-1 £ (1 — s),			Re s <	0,
			v = l
где	£	обозначает		дзета-функцию Римана					(Бейтмен		п Эрдойп [1],
т.	1).		4.3.5.		Сформулировать			для		преобразования Мел
	З а д а ч а
лина		F = 9ft/	какие-нибудь, необходимые						н	достаточные условия,

при которых обобщенная функция / будет сосредоточена на полуин

тервале 0 < ж ^	X (X	< оо). Сделать^ то же самое в случае, когда
/ (ж) сосредоточена на		полуинтервале X	^ ж < оо (X ;>	0).
З а д а ч а	4.3.6.	Придумать такое	преобразование	Меллпна

обобщенных функций, которое применимо ко всем элементам Ю ' (/). Описать получившееся пространство преобразований Меллина.

Указание: см. задачу 3.3.4.

4.4. Формулы преобразования операций

Теперь рассмотрим ряд операций, которые можно применять к преобразуемым по Меллипу обобщепным функциям, и выведем соответствующие формулы преобразования опе раций. На протяжении всего пункта мы предполагаем,

144

что

(s)

9R/ при

s E Ö / .

Кроме

того,

обозначает

положительное

целое

число.

х)

Л {w

(х)

Умножение

на

(In

х)к.

Операция

i-> (ln a;)fc0

задает

іи

0 (

непрерывное линейное

отображение

, z)

себя при любом выборе

Для доказательства этого

проще всего сослаться на теорему 4.2.1

и соответствующий

факт, касающийся отображения(х)

{(),

где ср

cp (

x)kfі-> Ар(х)

( ) =

е~'Ѳ

é~l

Далее,

согласно п.

2.5

теореме 1.10.2

со

Л '

(

пряженное

отображение

>->- (ln

определяется

на

(іи

z) формулой

х)к

{іи

<(ln

x)kf,

Ѳ> =

</,

(ln

0 >,

0 е

, z),

и= являетсяX

непрерывным<^21линейным отображением

Л '

, z)

в себя. Поэтому,

выбирая

/ (ж) ее

Л ' (аи

н2), 0 (ж)

3-1

Oj <

Re s

мы

можем

написать

<(1п

х)к

/ (ж),

ж5-1) = < / (ж),

(In

х)к

ж3_1>.

Воспользовавшись теоремой 4.3.2, получаем следующую

формулу преобразования			операции:
ЭД (In	х)к	/ =	D * F (s), s	е Q/.	(1)

Умножение на степень х. Пусть а — комплексное число и г = Re а . В соответствии с п. 2.5 оператор / н* >-*- ж“/ определяется на Л ' {w, z) формулой

<ж“/ (*), 0 (ж)> = </ (ж), ж“0 (ж)>, 0 e J (w - г, z - г ) . (2)

Легко видеть, что отображение 0 <-»- ж“Ѳ является изомор

Л {іи

—

г,

z — г)

па

z ).

Поэтому формула

физмом xaf

Л ,'

(2)

имеет смысл,

и по теореме 1.10.2 сопряженный опера

тор

задает изоморфизм

{w,

на

Л ' {іи

—

г,

— г).

теперь,

что

/ —

F {s)

при s E lä / =

Предположйм

Л '

{ s: Hi <

Re s <

сг2}.

Тогда

(alta2) и

ж“/ e

£ =

(o^ —

r , a2 —

г ) . Выбирая s

a EE

Q fполучаем,

что

ж5-1 ЕЕ

(Сті —

г,

п2 — г), поэтому

< жа/ (ж), ж3- 1)

= < / (ж), ж84-““1).

Это выражение можно переписать в виде формулы преоб

разования операцииF:	(s + а),	s + а	е й/.	(3)
ЗКжа/ =

Другой способ получения этого результата заклю чается в использовании замены переменных ж = е- ',

145

t — — ln X и теоремы 4.2.2. Тогда для 0 (х) €Е Л (аи о2)

и ф (t) = е~'Ѳ (e~l) £Е S£ (alt a2) справедливо соотношение

(xaf (X), Ѳ (x) > = <6-°'/ (e- '), Ф («)>-

Поскольку / (e~')

е~а' / (е-а() является изоморфизмом

5?' (аь о2) на

X '

(ох

— г, а 2J —f (го)1,

а(см2) .

п.

3.4),Л ' {<зто изг,

>-*- xaf

(х)

теоремы 4.2.2 вытекает, что отображение / ( )

х —

является

изоморфизмом

на

о2

— г).

Кроме

того,

подставляя

ж5- 1 вместо

(х),

мы

получаем

из

формулы (7) п.

3.4

соотношение

(х)

, а;5- 1) =

<е-“'/ (е- '), e-s'> =

а),

s +

£2/,

которое согласуется с (3).

видетьЛ

, что

оператор

0 і-»-

Дифференцирование.

D )k

Л аЛегко+к,ь+к

I-»- (—

0 осуществляет непрерывное линейное отобра

жение

пространства

а,ь, и, следовательно,

непрерывное

линейное отображение

к,

к)

Л,

, z). Поэтому сопряженный оператор

/ >->-

D kf,

оп

ределенный равенством

к,

<Dkf,

Ѳ> =

</, (— /?)* Ѳ>,

0 е

А),

(4)

Л+'

задает

непрерывное

линейное Лотображение'

( ,

Л '

/с). Следовательно,

при

s — /с ЕЕ £2/ =

{

s :+ахА, z +

< R e

s < с г 2} и /

(Оц а 2)

мы можем на

писать

^ _ 1 >

< /

( - D f x ^

(—1)* (s— Ä)*®-*"1),

<D*f ( * ) ,

( * ) ,

где

</(*),

(а)к = а (а + 1). . . (а + к — 1), к — 1, 2, 3, . . .

Это приводит к следующей формуле преобразования опе рации:

$RDkf = (— 1)к (s — к)к F (s — /с), s — к еЕ £2/. (5)

Другие дифференциальные операторы. Комбинируя два последних рассмотренных оператора, мы видим, что отображение f x kD kf определяется на Л ' (w, z) ра венством

<xkD kf, 0> = </, ( - D k) а;*Ѳ>, 0 £ « (w, z),

и является непрерывным линейным отображением J l ' (w, z) в себя. В результате при s Е £2/ — {s : <Г. Re s <

14*3

< а 2}, Ѳ (ж) =		а;4"1	и	/ (ж) €= М '	(сгі,		(Tg) мы получаем
формулу				( ~ D ) kxs'k~ly
(xkD kf	(ж), ж8' 1)	= </(ж),				=
				=				^5"1)
И Л И	®а:кЯ к/ =					( - l ) k(s)k </(*),
			( - l ) k {s)kF (s),			s e	fl/.	(6)

Оператор / >-»- xZ)/, являющийся частным случаем рас смотренного, осуществляет непрерывное линейное ото бражение J t ' (w, z) в J l ' (w, z). Следовательно, / (xD )kf также определяет такое отображение и задается форму лой

(жО)*/, Ѳ> =

< /,

( -

D®) Ѳ>,

Ѳ £Е

(U7, z).

Символ

(—

D x)kQ

обозначает

выражение

(— 1)

D (х. . .

. . .D {xD

(жѲs)):. . .),

где имеетсяs

пар(хскобок)

. Обозначение

xD)k

Таким образом,

при

Е-

М' интерпретируется аналогично.

А/ = {

< Re < п2 }, 0

= ж5-1 и / (ж) 6Е

ЕЕ

(Пі ,

п2)

имеем

соотношение

так

что

{xD)* / ( ж ) ,

ж 4'

1 )

( ж ) ,

( -

1 ) *

> ,

(ж Т >)* /

( —

l ) * s *

( s ) ,

А / .

Аналогичные

рассуждения(S

приводят к

формулам

® W

/ =

( -

1)к

/С), ^

(S),

а ЕЕ А/,

(8)

(з -

ЗК (Лж)к/ =

( -

1)*

(s),

А/.

(9)

(1)

п.

Между прочим,

сравнивая

(7)

формулой

3.4

и используя теоремы единственности для преобразований Лапласа и Меллипа, мы видим что наша замена перемен ных переводит оператор обобщенного дифференцирования D , в обобщенный дифференциальный оператор — xD x. На основании этого факта мы можем переформулировать

следствие 3.6.1а в виде следующейПустъ

теоремыF

, приприводящейs

к еще одной формуле обращения:

(s)

а, Ь,

чтоТ е о р е м а

4.4.1.

ЗК/ =

А/.

Выберем

три таких фиксированных числа а,

< п

<^Ь. Возьмем

также полипом Q

(s),

не имею

F(s)

Re s ^

полосе а

удовлетворяющий

щий нулей А/

а <[ Re s

неравенству

Q (s)

147

где К — постоянная. Тогда в смысле равенства в ,М* (а,'Ь)

где xD x	—	обобщенный дифференциальный оператор в
	—

Л ' (а, Ь), а интеграл сходится в обычном смысле к не прерывной функции, порождающей регулярный элемент

М' {а, Ь).

За д а ч а 4.4.1. Дать прямое доказательство утверждения, касающегося операторов 0 >->- (In а^'Ѳ и Z 1-»- (ln x)kf, не используя теорем 4.2.1 п 4.2.2.

За д а ч а 4.4.2. Пусть а — комплексное число п г = Re а .

Показать,	что отображение Ѳ*->- ха0	является	изоморфизмом
Л (ш — г, z — г) на ,М (ш, z).
З а д а ч а	4.4.3. Показать, что 0 і-»- (—D )kQ задает непрерыв
ное линейное отображение d l (w + k,		z + к) в d l	(ш, z).
З а д а ч а	4.4.4. Вывести формулу (7), применяя теорему
4.2.2 к равенству (1) п. 3.4.
З а д а ч а	4.4.5. Вывести формулы (8) и (9).
З а д а ч а	4.4.6. Вывести следующие формулы, в которых г

обозначает фиксированное действительное число:

( b )

( c )

Указание',

(a)

(b)

(c)

9)1 / (та) =	r~sF (s),	г >	0,	s e Q / ;
9)1/( О	= F ( - s ) ,	- s e ß / ;
9)1 / (sr) = I г I-1/7(r-h), г ф			0,	Г 1« G й/.

рассмотреть сначала следующие определения:

</ (г,	аг), Ѳ (х)> =	</ (я),	г ХѲ (г ^ )),
</ (аГ1), 0 (х)> =		</ (*),	аГ2Ѳ (*-і)>,
</ (*0,	0 (*)> = </ (х), I r\ -h P --W 0 (х1/г)>.

4.5. Операционное исчисление для дифференциального уравнения Эйлера

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

) А (anxnD n

ап_гхп 1 D n

1 +

. . . +

а0) и {х)

g (х),

(1)

Lu (хаѵ

ап Ф

где

— постоянные и

Такие

уравнения назы

вают иногда

дифференциальными уравнениями Эйлера.

Пре

образование Меллина порождает операционное исчисле ние, с помощью которого можно решить уравнение (1) относительно неизвестной функции и (ж), если g (х) — заданная преобразуемая по Меллииу обобщенная функция.

Пусть = G (s), где полоса сходимости Qg имеет вид { s : ogl <с Re s < io g2}, и обозначим 5Ши через U (s).

148

Смотрите также файлы

Курсовая работа по дисциплине Теплотехника Студент гр. Гр2011 М. Н. Осокин.docx

Теоретические аспекты интегрированного и инклюзивного образования детей с овз.ppt

Моя семья. Краткие прилагательные.docx

Лабораторная работа 5 По дисциплине Химия (наименование учебной дисциплины согласно учебному плану).docx

Мануфактура.docx

Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно