Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

Применяя к (1) преобразование Меллииа и используя формулу (6) п. 4.4, мы получаем уравнение В (s) U (s) =

— G(s), где В (s) обозначает полином:

следует из равенства (6) п. 4.4 и теоремы 4.3.4. Симво­

Их может быть лишь конечное число, и мы разобьем по­

в которых функция G (s)/B (s) аналитична и удовлетво­ ряет условию полиномиального роста (см. теорему 4.3.5). По тем же причинам, что и раньше, мы можем заключить, что для каждой такой подполосы, скажем, оѵ < Re s <;

<О ѵ + і, существует единственный элемент и (х) простран­

При любом другом выборе подполосы мы получим другое решение (можно показать, что разность любых двух таких решений равна гладкой на 0 <С.х < ; оа функции,

149

удовлетворяющей в обычном смысле однородному урав­ нению Lu = 0).

П р и м е р 4.5.1. Укажем простой пример физической ситуа­ ции, приводящей к дифференциальному уравнению Эйлера. Другой пример будет дай в и. 4.7.

Рассмотрим электрический контур (рис. 4.5.1), состоящий из последовательно соединенных зависящей от времени индуктивности

следующему дифференциальному уравпеишо:

V = D {Lj) + llj = D (tj) + i = tDj + 2/.

Предполагая, что v (t) — преобразуемая по Меллниу обобщенная функция, сосредоточенная на Т t < оо, мы можем применить преобразование Меллина и получить уравнение

V (,) = - s J (,) + 2/ (s),

где

V = ЭДе, / = Щ .

Область сходимости для ЗЛи = V (s) должна совпадать с полуплос­ костью, неограниченной слева, поскольку обобщенная функция V сосредоточена на 1' t < со. (Действительно, ѵ будет элементом

Ліа, Ъпри любом значении аи некотором Ь, откуда и следует наше

решение / (г) является той единственной преобразуемой по Меллину

пункте, предположим, что В {s) имеет корни в £2г . Показать, что разность иа между двумя преобразуемыми по Меллину решениями уравнения Lu = g, соответствующими различным выборам под­

150

«, = “(v) (*) = Дѵи(*) |я=х.

(Отметим, что запись правой части (3) в указанном виде фактически является удобным средством введения начальных условий в диф­ ференциальное уравнение Эйлера, причем в форме, удобной для ана­ лиза, основанного па преобразо­ вании Меллина обобщенных функ­ ций. Другими словами, если мы решим (3), используя преобразо­ вание Меллппа и возьмем в каче­ стве полуплоскость, неограни­ ченную слева, то получим ре­ гулярную обобщенную функцию

и (х) 1+ (х — X ), где и (х) обоз­ начает обычное решение следую­ щей задачи [с начальными усло­

виями: Lu = 0, uM (X ) = Z7V.)

З а д а ч а 4.5.3. В примере 4.5.1 положим ѵ (г) = Г 11+ (г — 1).

Найти / (г). Указание. Сначала определить преобразование Меллина

функции і- “ 1+ (t — 1), где а — постоянная.

З а д а ч а 4.5.4. Найти преобразование Меллина тока / (г)

в электрическом контуре, изображенном на рис. 4.5.2. Величины сопротивлений указаны в омах, а значения индуктивностей, кото­ рые линейно меняются во времени, указаны в генри. Предпола­ гать при этом, что напряжение ѵ (г) является преобразуемой по

Меллипу обобщенной функцией, сосредоточенной на полуинтервале Т < і < оо, где Т > 0, а также что начальное возбуждение в кон­ туре отсутствует.

З а д а ч а 4.5.5. Найти общий класс электрических цепей, которые приводят к системам дифференциальных уравнений Эй­ лера.

4.6. Свертка меллішовского типа

Для преобразуемых по Меллину обобщенных функций существует преобразование типа свертки. Оно может быть введено путем замены переменных в свертке обобщен­

151

cp (t + т) = е~‘~х Ѳ (е~,_т)

Отсюда вытекает, что правая часть равенства (1) имеет

< / (е~г) * £ (е~')> ф (0 > = < / (е~')> < £ (е~т), Ф (г + т)> > =

= < / (ж), < ét (г/).ѳ (ч/) )> = </ Ѵ ^ > ѳ >-

Эта цепочка равенств завершает доказательство нашего утверждения, которое мы сформулируем в виде следую­ щей теоремы.

152