Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 181
Скачиваний: 0
Обычная замена переменных и теорема 4.2.2 позволяют перенести различные свойства свертки, описанной в пн. 3.7 и 3.8, на свертку меллиновского типа. Например, подставляя t = — ln х, х = — In у, h (т) = / {у) и / (г — т) = g (х/у) в обычную свертку
о о |
h(x)j(t — x)dx, |
|
—5о о |
|
|
мы получаем с о |
0 < > < о о . |
(3) |
О |
Поэтому, переформулируя условия, при которых обыч ная свертка является частным случаем свертки обобщен ных функций (см. п. 3.7), мы можем утверждать следую
щее. Если |
f u g |
— локально интегрируемые на 0 < |
х |
< |
||||||||||||||||
< о о функции |
|
и |
если функции |
//£аіЬ и |
|
g/t,a,b |
абсолют |
|||||||||||||
но интегрируемы па 0 <С а; < |
оо, то / \/ |
g |
—•регулярный |
|||||||||||||||||
элемент |
|
|
|
|
соответствующий gобычной функции (3). |
|||||||||||||||
Специальный случай, который мы используем в сле |
||||||||||||||||||||
дующем(g |
пункте, возникает, когда |
и 0 — основные функ |
||||||||||||||||||
ции из |
3) |
(/), где |
I |
— интервал 0 |
<z.x |
< о о . |
Выражение |
|||||||||||||
0/)і Ѳ (z, у)> |
|
является в |
этом случае |
интегралом, |
||||||||||||||||
который после замены< ѳ переменных<й - т « ( £ ) можно> • |
записать в виде |
|||||||||||||||||||
Носители |
Ѳ |
(у) |
|
и |
x~xg |
пересекаются |
по |
компактному |
||||||||||||
подмножеству |
открытого первого |
квадранта 0 |
|
<С.х |
< о о , |
|||||||||||||||
О <г</<*),/ < о о<.ѲСледовательно(я), і г ( ф у, равенство-< / мхом(1) |
,принимаеті г ф |
вид, |
||||||||||||||||||
где / (х) X Ѳ ( у) обозначает прямое произведение / (х) и
Ѳ(г/). Воспользовавшись коммутативностью прямого про изведения, получаем формулу
</ V В , Ѳ> = <0 (у), < / (х), 1 g ( ! ■ |
). » |
(4) |
Прямое вычисление показывает, что выражение
(5)
153
является функцией, гладкой на 0 < у < оо (см. задачу 4.6.1). Однако можно установить гладкость (5) еще проще, показав, что при обычной замене перемеппых (5) превра щается в
< / |
e'ß- (е'~х) >, |
(6) |
и заметив, что (6) — регуляризация, |
а поэтому гладкая |
|
функция т.
Возвращаясь слова к формуле (4), мы видим, что
нами доказана |
4.6.2. |
Если |
/ |
|
Ж а,ъ |
и |
g |
€Е 25 (/), |
то |
||||
Т е о р е м а |
|
|
|
(/) |
|
|
|||||||
f \ J |
g совпадает в смысле |
равенства в Ю' |
|
с гладкой функ |
|||||||||
|
|
ge |
|
|
|
|
|
|
|||||
цией |
на I , |
а именно |
|
|
|
|
у е / . |
|
(7) |
||||
|
( f V g ) ( y ) = < /(*), |
|
|
|
|
||||||||
Будем называть |
(7) |
регуляризацией меллиновского |
типа |
||||||||||
|
устанавливает |
формулу преобра |
|||||||||||
обобщенной |
функции |
|
|
|
|
|
|
||||||
Следующая теорема |
|
|
|
|
|
||||||||
зования свертки |
|
/. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
для преобразования Меллина и два свой |
||||||||||
ства свертки меллиновского типа, которые могут быть
выведены |
из |
этой |
формулы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
то Тf |
е оSр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
$Rf = |
F s |
при |
|
|
|
|
|
|||||||
существуете м а 4.6.3.в смысле свертки меллиновского( ) s £типа£ 2 ;, |
||||||||||||||||||||||||||
$5lg |
V |
G (s) при |
|
s e e |
Qg |
и |
множество |
|
|
|
|
|
не |
пусто, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q ,образованf] Qg |
|
|
|
|
||||||
в Ж= |
(w |
|
где |
|
интервал |
w |
|
a |
|
пересе |
||||||||||||||||
ме того,, z), |
|
|
|
|
Q/ |
|
П |
|
с |
|
|
< z |
|
|
|
|
|
|
|
Кро |
||||||
чением множества |
|
|
|
|
|
|
действительной осью. |
|
||||||||||||||||||
|
|
f \5К (/ V |
|
8) |
= |
|
F |
(s) G |
(s), |
s G |
Qi |
|
П Q*. |
|
|
|
(8) |
|||||||||
Далее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
$5lh = |
Н |
J g |
= |
g \ J |
f |
|
коммутативность |
) |
в смысле равенст |
|||||||||||||||||
w, |
|
Если |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что |
||||||||||
ва в Ж |
|
|
|
дополнительно |
предположить, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
при |
|
s |
|
|
|
|
и множество Qf |
|
|
|
Q h |
не |
|||||||||||
пусто, |
то( f \z)J . |
( g \ J |
h) |
= |
(f \ J |
g) \ J h |
|
ассоциативность |
в |
|||||||||||||||||
смысле равенства(s) |
|
в ЖQ h,(w', z'), где интервалf~| w'Qg (~) |
|
дей |
||||||||||||||||||||||
образован |
пересечением |
множества |
|
( |
|
|
|
f] |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q/ f] |
|
|
Q(l |
|
с |
|
|
|||
ствительной |
осью. |
|
|
|
|
|
Первое |
|
|
|
|
|
<Си < z ' |
|||||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
утверждение |
|
выте |
|||||||||||||||||||||||
кает из теоремы 4.6.1Ъи того факта, что / и g — элементы |
|||||||
Jf-a, ь |
при |
w |
<Еа |
^ |
< z . |
Далее, при |
любом фик |
сированном |
s g 2 ( |
П a g |
определение |
(1) приводит |
|||
154
к |
соотношению |
|
|
|
|
|
= |
|
® |
( / Ѵ £ ) ' = < / (s). |
< е ( У ) і х У У 1» = |
|
|
||||
|
= < / |
(я г), |
Xs-1) <(у |
(у), у5“1) |
= F {s) G (s) |
|||
|
|
g |
|
|
|
|||
|
|
|
= < s |
), |
</(*), Uy)8-1» |
= а» (* V /)* |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из теоремы единственности (теорема (4.3.4) следует тогда,
что |
f \ / g = g \ / f ' B J f ' w |
|
|
доказать |
||||
|
|
|
|
( , z). Наконец, чтобы |
||||
последнее утверждение теоремы, возьмем s Е |
^ |
f] ^ П |
||||||
П ЙЛ. Тогда, как и выше, |
|
|
|
|||||
3R Г/ |
V |
( s |
V |
h ) ] = F (s) G(s)H (s) = SR [ ( / |
V |
£) |
V |
|
Их теоремы |
единственности получаем равенство |
|||||||
|
|
|
|
|
/VteVÄ) = (/Ѵ*)Ѵ:* |
|
|
5 |
впространстве (и/, z'). Теорема доказана.
За д а ч а 4.6.1. Показать прямым вычислением, что (5) — гладкая функция у. Указание', для любого фиксированного і/ е / рассмотреть выражение </ (х), фДи (а?)>, где
У |
|
|
Фл„ (*) = ■g У + Дxhy |
■ s\ — |
~ i r DvZ ( іГ ) ’ Д ^ ° ’ |
и показать, что фДу сходится в Sb (/) к нулю при Ау —* 0. Отсюда будет следовать, что
Аналогичные равенства для производных более высокого по
рядка можно получить по индукции, |
поскольку D kg GE S) (I), |
если g e 3) (/). |
|
З а д а ч а 4.6.2. Показать, что М ' |
(w, z), где w < z, является |
коммутативной алгеброй относительно свертки меллиновского типа (по поводу определения такой алгебры см. Земанян [1], стр. 149— 150). Содержит ли она единицу? Доказать, что в ней нет делителей нуля (т. е. если f \/ g = 0, то либо / = 0, либо g — 0).
З а д а ч а |
4.6.3. Пусть а < |
Ь, } ge М '\ -ъ, і-а |
и g £Е Л а ,ь . Опре |
делим вторую |
свертку меллиновского типа / Д |
g формулой |
|
или |
(/ А ?) И = |
,М а,ьV 8 И . |
|
более подробно: при любой Ѳ £Е
</ л g, о> = < ^ - / (4 ~ ) - <? (;/)-0 (*. ?/)>^ =
= < / И ,< я 0 Д ^ в ( 1 ) » .
155
Показать, |
что |
/ Д g — элемент |
Л ’ |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
ЯИ (/ |
ff) |
= F |
(1 - |
s) G (в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
по |
|
крайней мере для а < Re |
.5< |
b, где 95?/ = |
F |
(s) по |
крайней меро |
|||||||||
для |
1 — Ь < |
Re s < 1 |
Л— а, |
и 951 g = |
G (s) |
по |
крайней |
мере для |
||||||||
а <С Re s < |
b. |
Указание: использовать результаты п. 4.4, |
включая |
|||||||||||||
задачу 4.4.6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
З а д а ч а |
4.6.4. Показать, что свертка мѳллпповского типа |
|||||||||||||
является непрерывной операцией в следующем смысле: если |
w < |
z, |
||||||||||||||
{/ Х = і сходится в J l ' |
(ш, z) |
к / п у (Е М ' (ш, |
г), то |
|
|
|
|
|
||||||||
в |
|
|
|
/ „ V 8 = g \ Z f 4 - > f \ / g = g \ / f |
|
|
|
|
|
|||||||
d l' (w, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(w, |
|
|
w |
|
|
||
|
З а д аг)ч п р и V —> o o . |
|
|
|
|
|
z), где |
< |
z. |
|||||||
|
|
|
а |
4.6.5. Пусть / п g — элементы J t ' |
|
|
||||||||||
Показать, |
что для любого целого положительного чпсла /с |
|
|
|
||||||||||||
(xD)K (f V ff) = [(*£)*/] V г = 7 V [W f f l -
Справедлива ли формула
D* (/ V 8) = (D*f) V г = / V
Показать также, что
(In х) (/ V г) = l b г/] V ff + / V [(ln *) г]
П
*“ (/ V ff) = (*“Л V (*“ff)
для любого комплексного чпсла а.
4.7. Задача Дирихле для клина с обобщенными функциями в граничных условиях
Рассмотрим бесконечный двумерный клин, изображенный на рис. 4.7.1. Мы выберем полярную систему координат (г, Ѳ) с началом в вершине клина, причем стороны клина направлены по радиусам Ѳ = 0 и Ѳ = а (0 < а < 2 я ) . Внутренняя задача Дирихле для этого клина состоит в отыскании функции и (г, 0), удовлетворяющей уравне нию
r2f 5 - + r £ + £ = 0’ ° < г < ~ ’ 0 < Ѳ < а |
(1) |
и определенным граничным условиям. Уравнение (1) представляет собой уравнение Лапласа, записанное в полярных координатах и умноженное на г2.
156
Мы наложим на функцию и (г, Ѳ) следующие граничные
условия: |
|
|
|
и {г, |
Ѳ) сходится в |
Ю' |
(/) к |
не |
||||
1. Если(I Ѳ -» + 0, то |
|
|
|
|
||||||||
которой преобразуемой по Меллину обобщенной функ |
||||||||||||
ции |
/(г) |
|
здесь обозначает |
|
интервал 0 < г |
< о о ) . |
|
|||||
2. |
Если Ѳ |
а — 0, то и |
(г, |
0) сходится к |
нулю |
рав |
||||||
номерно на каждом ком |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
пактном |
|
подмножестве |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
О < г |
< |
оо. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПреобразованиеМел- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
лина |
дает |
возможность |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
решить эту задачу ме |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
тодами |
операционного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
исчисления. Как и рань |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ше, |
сначала |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
решение |
|
формально, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а затем |
|
докажем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
оно действительно удов |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
летворяет |
уравнению. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Применяя |
|
преобразо |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вание Меллина, будем рассматривать г как независимую
переменную,а Ѳ — как фиксированный |
параметр. |
|
|||||||||
Ш |
(г, |
Ѳ) = |
|
<ц (г, 0), г5"1) А |
U |
(s, 0). |
4.4 |
||||
В силу формулы |
преобразования |
операции (6) п. |
|||||||||
9К преобразует (1) в |
|
|
|
|
|
|
0) = 0 , |
|
|||
s(s + l) U( s , Q ) - s U ( s , |
Q ) + |
* L u |
{s , |
|
|
||||||
если предположить, |
что |
оператор |
ö2/902 перестановочен |
||||||||
с $0і. Поэтому |
|
0) |
= |
А |
( |
eis0 + |
В (s) |
е~ьо, |
(2) |
||
U (s, |
|
|
s) |
|
|
|
|
||||
где неизвестные функции А (s) и В (s) не зависят от 0. Чтобы определить А и В , мы преобразуем сначала гра ничные условия. Затем, предполагая, что предельные переходы 0 —» + 0 и 0 —> а — 0 перестановочны с $01, подставим преобразованные граничные условия в (2) и решим получившуюся систему уравнений. Таким обра зом, если 9R/ = F (s) при s е П/ = { s : ah < Re s С
< 0/.}, то мы получим
A (s) + |
В (s) = |
F (s), |
A (s) eUa + |
В (s) e~isa = 0, |
так что |
A(s) = |
*•(») |
1 |
F(s) |
|
|
^__ еі2ав ’ |
_ e-i2«s • |
157
