Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

sin (as — 0s)

-

О

(е~И°),

I со I —> oo,

(4)

равномерно

sin as

на — оо < о < о о .

Кроме того,

при 0 <

< Ѳ ^ а особенностип

функции sin (as — 0s)/sin as — это

простые полюсы, которые могут находиться лишь в точ­

ках s = ягс/а, где

— целое число, не равное нулю.

(Точка s =

0 не является полюсом, поскольку обе функ­

полосеа й/. Следовательно,

если О < 0 < J

a > то функция

(3) удовлетворяет

Ъ

условиям теоремы 4.3.6

в любой по­

лосе

< ; Re s <;

(оу,

<

а

<

Ъ

< оу,),

не

содержащей

точек

вида тгя/a (п =

+

1, ±

2, . . .).

Таким образом,

применяя теоремы 4.3.6, мы получаем

в качестве возможного

решения уравнения (1) выражение

О

<< 0 <С а,

0 < ; г <г. оо,

где а — любое

(5)

действительное

число из й/,

не равное

дя /а(?г==+1,

+ 2 , ...). Если

й/

о,

содержит некоторые из точек гея/2, то решение (5) не

пп/а.

0единственно; оно может быть различным при различных

значениях

равных, например, оу и о2, если между оу и

2

имеются точки вида

Этот случай мы рассмотрим

Г

sin (a — gѲ) (о +

іш)

(6)

I “

(г, Ѳ) I < 2я

+ ію) sin a ( +

iu>)

da>,

где

a

фиксировано

указанным выше образом. Теорема

4.3.5 утверждает, что

F (а

+

ісо) имеет медленный рост при

I со

I ->

оо. Следовательно,

из оценки (4) вытекает равно­

тервале ß

Ѳ

а, где ß >

0. Поэтому мы можем перей­

ти в (6) к пределу

при Ѳ -*•

а —

0 под знаком интеграла и

<*<г,Ѳ),

Ф ( г ) > = ^ 5 *

I

где 0 <

0 — оо

X г_0_1“ ф (г) dco,

Ѳ < а и а фиксировано, как указано выше. Если

<it (?•, Ѳ),

Ф

(г)> =

^

F (з

+

іео)

фsin(з

ico)

(+а -

Ѳ) (Xа + to)

d

(7)

где

sin а (о + гео)

ѵ '

г_Рф (г) dr — 9Л [7'-1ф (г 1)], — оо

Re s

оо.

(8)

Ф (s) = ^

ф м =

r"‘“

М '*.

» =

0 ,1 ,2 ,.. .

Поскольку I Гіш I = 1, то

о

Іо r~a+n I Ппф(г) I dr

I

Ф (а +

ico) I О -|— —---т-—Ц

I

V I

— l|...|<s-j-ico — n j j

1

r w i (9)

sin (а — Ѳ) (б 4- ;co)

'

'

sin а (а +

ico)

ограничена

при

— оо

ю

<

оо

и

0 ^

Ѳ

^

а,

когда

ст

фиксировано (ст

Ф

пліа,

п

=

+

1,

+ 2 ,

. . .)а. ,

Из факта

F

медленного

роста

(ст +

іео) при |

со | —> ехэ

вытекает те­

перь, что (7) сходится равномерно на 0 ^

0

и поэтому

lim <u(r, Ѳ), ф(7')) =

т~

СО

F (ст + іео) Ф (с +

ію) dcD.

(И)

\

о ->+о

J

Из (9) и теоремы 4.3.5

—00

F

іео) Ф (ст +

шіео))

следует, что

F(ст +

также удовлетворяет

условиям

теоремы

4.3.6

в любой

замкнутой hподполосе П/,

и поэтому

(ст +

ію) Ф (ст +

является

преобразованием

Меллииа

непрерывной

функции

(г)

на

0 < г < о о .

Сравнение

формулы

(11)

с равенствомF

(3)й п.

4.3 показывает,

что правая часть

(11)

h

совпадает с h{r)(1).=Кроме/ \ /того1г-1,физ(г(8)-1)].и теоремы 4.6.3 вы­

текает, что 3)

(о -f-

о) Ф (ст + іш) является преобразова­

нием функции

то

по

(г)

Далее, так как

г"1 ср(г-1) 6Е

(/),

теореме 4.6.2

формулу lim

<u(r,

Ѳ),

ф(г)>

=

h ( l ) = </(ж), Ф(я)>,

о -*+0

выражения (5). В этом случае

два различных выбора ст,

например, ох и о2, приводят к

решениям,

отличающимся

на сумму вычетов в полюсах,

лежащих

между О! и ст2.

йУ {Г)

и равномерно сходится к нулю на компактных подмноже'

ствах 0

< г < оо при Ѳ

+ 0или

Ѳ ->

— 0 . Отсюда

следует,

что (12) стремится к нулю в

Q f .

при Ѳ

—> + 0 .

Кроме того, эти рассуждения остаются верными и в слу­

чае, когда точки /ся/ане принадлежат

Таким образом,

мы можем добавить к (5) линейную комбинациюкп/а

таких

функций и получить снова

решение нашей задачи вне за­

висимости от того, принадлежат точки

множеству Q/

или нет.

Формулируя этот результат на

языке электро­

6 А . Г. Земанян

161