Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

Г Л А В А 5

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГА Н К ЕЛ Я

5.1. Введение

Рассмотрим теперь обычное преобразование Ганкеля, оп­ ределенное выражением

ция Бесселя первого рода порядка р.. В этой главе мы по­ кажем как преобразование Ганкеля можно распростра­ нить на некоторые обобщенные функции.

Отметим, что если р —1/2, то обычное обратное преоб­ разование Ганкеля определяется точно такой же формулой,

6* 163

= фу1 [G (г/)] в левую часть (3) и применением теоремы Фубини для перемены порядка интегрирования. Другие условия, при которых справедливо равенство (3), уста­ новлены Маколи-Оуэном [1].

По-впдпмому, первым, кто расширил преобразование Ганкеля на обобщенные функции таким образом, что мог­ ла бы быть выведена формула обращения, был Лионе [1]. Его результаты были получены как частный случай при изучении некоторых общих типов операторов, называе­ мых обратимыми и действующих в определенных простран­ ствах осиовных фуипкций Шварца. В противоположность этому мы изложим в настоящей главе другую теорию (Зѳманян [4—8]); она приспособлена специально к преобра­ зованию Ганкеля. При этом мы исследуем ряд свойств преобразования Ганкеля обобщенных функций. Еще одной теорией, появившейся недавно, мы обязаны Фѳньо [ 11; он рассмотрел случай, когда порядок преобразования Гапкеля — неотрицательное целое число, а преобразование определено для всех распределений на интервале (0, <х>).

Наш метод восходит к методу Шварца обобщения пре­

Жу. является областью определения нашего преобразова­

ния Ганкеля обобщенных функций фу, которое вводит­ ся на основе обобщения равенства Парсеваля (3); в част­

ности, преобразование Гапкеля обобщенных функций фу определяется как преобразование, сопряженное фу, равенством

где р > —Ѵг, / £= Жу. и Ф е= Жу- Отсюда следует, что фу является автоморфизмом на Жу.- Кроме того, оказы­

164

скать штрих в обозначении преобразования Ганкеля обоб­ щенных функций.

Отметим, что этот метод обобщения преобразования Ганкеля отличен от использованного для преобразований Лапласа и Меллина. Наше определение преобразования Ганкеля является непрямым и основано на равенстве Парсеваля. В двух других указанных случаях мы стро­ или пространство основных функций, содержащее ядро

ния преобразования Ганкеля обобщенных функций для решения граничных задач с обобщенными функциями в ка­ честве граничных условий. Первая — это задача Дирих­ ле, вторая — задача Коши для волнового уравнения, рассмотренные в цилиндрической системе координат.

Мы закончим эту главу кратким описанием двух обоб­ щений полученных результатов. В п. 5.10 мы откажемся от ограничения р > —V» и получим преобразование Ган­ келя обобщенных функций, определенное для всех дей­ ствительных значений порядка р. В п. 5.11 преобразова­ ние Ганкеля распространяется на некоторые обобщенные

165

чения, когда z действительно и положительно. То же самое

соглашение примем относительно У z или z“ , где а — лю­ бое комплексное число; поэтому для действительных а

функции У z и z“ принимают действительные положитель­ ные значения, когда z действительно и положительно.

Разложение в ряд функции Бесселя J y (z) любого по­ рядка (г имеет вид

(Янке, Эмде и Леш [1]).

5.2.Пространство Жу основных функций

псопряженное к нему

На протяжении всей этой главы буква 1 снова обозначает интервал (0 , о о ), а х — действительную переменную, из­ меняющуюся в I . Для любого действительного числа р, мы определим счетно-мультинормированное пространство сле­ дующим образом. Функция ср (ж) принадлежит Ж у. тогда и только тогда, когда она определена на О < х < о о, яв­ ляется комплекснозначной и гладкой и для любой пары не­ отрицательных целых чисел т и к выражение

166