Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

О <

1) cp (ж) —

гладкая

комплекснозначная

функция

на

X

< о о .

2)

Для любого неотрицательного целого числа к

где

(х)

=

ж ^

[а„ +

а2х2

+

...

+ а 2кх2к + R 2h

(ж)],

(2)

ср

постоянные a2h заданы выражениями

^

=

тѣ %

(x^D)kx -ll-'U p(x),

(3)

к\ л

lim

а остаточный

член

удовлетворяет соотношению

-<• + о

3)

{x~*D)k R 2h (х)

=

о

(1),

X

->•

+ 0 .

р

(4)

Для любого

неотрицательного числа к функция D4

(х)

—> оо

kф (х)

быстро убывает при х

(т. е. D

(х)

стремится к

нулю

при X

■

о о

быстрее любой степени

1/ж).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим,

что ср

ф

(х)

= (аТ1/))*

х~ѵ~іь

(х),

(5)

ф

(х)

хф

О (—х) гладкаяX

функция на 0 <

<

о о. Из условия су­

ществования

полунормы у£ дЧ1 вытекает,

что Пф

(х)

=

=

при

—> +

0. Поэтому величина

$ Dpp(t)dt =

ф(ж) — ф(1)

1

х

—> +

0, откуда сле­

стремится к конечному пределу при

дует аналогичное утверждение

для ф (ж). Подставляя (2) в

(5), получаем

к\ 2к

~ Щ ^ №

Выбирая

а2к

ф (ж) =

а2, + (ж

(ж).

согласно (3), мы получаем соотношение (4).

ф (ж) и,

следовательно, жт ф (ж) (т =

0,

1, 2, . . .) ограни­

чены на 0 < ж

^ 1.

В результате прямой выкладки мы приходим к формуле

ф (ж) = (ж

1D y X

г

ф (ж) =

I

ЛкФ\

=

Ь*і- Лф .

(6)

гДе Ьк0,

Ьк1,

. . ., Ькк — постоянные

(Ькк = 1).

Если

х

на 1

х

<< оо для любого поло­

ограниченностьТЛржт о|) ( )

жительного целого числа

т.

Далее индукцией по

к

дока­

зываем,

что

(быстро

убывает при

х

—► оо, так что ус­

ловие 3) выполнено. Обратно, условия 1) и 3) влекут огра­

ниченность

х)

на 0 <

х

< сю при любом

т;

это ут­

верждениеЖ\х-

и первое предложение предыдущего абзаца по­

казывают, что из условий 1), 2) и 3)

следует включение

Ф £Е

Лемма доказана.

фиксированном

у ЕЕ. I

Y

Отметим,

что при

любом

2)

ХУ J y -

Іх у)

как функция

X ,

удовлетворяет условиям 1) и

леммы 5.2.1.

Однако

эта

функция

не

удовлетворяет

условию 3),

поскольку

—

,

a:->oo,

Y

x y J у.{ху)

^ üos {ху —

^

(см. Янке,

Эмде и Леш [1]). Следовательно,

Y ХУ J y ( xy)

не принадлежит

Ж^.

Л е м м а

5.2.2.

Жу. полно и поэтому

является

про­

Пусть

{фД^Д

— последо­

странством Фреше.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

вательность Коши в

Жц..

На основании соотношения (6)

и определения

полунорм

индукцией по

к

можно до­

Кроме

того,

поскольку

к

(mjk,фД(Д — последователь­

ность Коши, то для любых

т,

Nи заданного е существует

такое действительное

число

что для любых ѵ,

11 > -^ т ,)і

7т,к

(фѵ

—

фД

< 8 .

Переходя

к пределу

при

ц —> оо, мы получаем для всех ѵ Д>

N mik

неравенство

7т,к (Фѵ — Ф) <

8,

(7)

которое показывает,

что Д Д

(фѵ

—

ф)

0 при ѵ —>оо.

Наконец, существует такая не зависящая от ѵ постоян­

ная

С тЛ,

что 7т,/.-

(фѵ) < C m,h-

Поэтому из (7) и равен­

ства (1) п. 1.5

получаем

соотношение

Т&,

к

(Ф)<

Ст, к

+

е.

Мы показали, таким образом,

что

ф

ЕЕ

Жу.,

и что

{фД

сходится в

Ж?,

к

ф.

Лемма доказана.

/ £г Ж\і на

33 (Г)

33'

I ).

33

принадлежит Ж у..(

Однако

(І) не

плотно

в

Действительно, если

ф ЕЕ

Жц.,

и постоянная

а0

не равна нулю, то у£0 (ф — ф) >

>

а0

для всех ф е

33 (Г),

и

шар

(Ѳ: Ѳ е=

Жр,

уо.о (ф —

— Ѳ)

а0І2}

не содержит ни одного элемента

33 (I).

q

Ж р .+ „От­

сюда и следует наше утверждение.

CZ

II. Если

— четное

положительное число, то

С

Жу.,

и топология

Жул-q

сильнее топологии, индуцирован­

ной

на

Ж^+ч

пространством

Жу,-

Чтобы убедиться в этом,

заметим,

что ут.о (ф)

=

2,0

(ф) Для любого

т\

с другой

тТт+

стороны,

для

любого

[А

и_ІІлюбого

положительного

к

(ar1D)*x~ ^ hф = (x^Df

" “'2ф] =

2

р +

+

(x-'D)

х-!Д-5,!ф =

. . . =

к { x ^ D f ^ x ^ 1

2

(x-1D)kx

ф +

поэтому

+

ж2

*~ tlt<p,

т£. Я- (ф) <

2 к ^ н - г

(Ф) +

ТГДІ , (ф).

T/f’ к (Ф) =

x&<

I

D kty {x)

|, i)) e

Ш

sup

(/),

где /с = xv0,-+'i‘1,x-2,v~'/!q>. . . , Xа

К

пробегает все компактные под­

множества

I .

Для любого ер е

Жр

рассмотрим равенство

Ф (ж) =

а^Ѵ* на

К ,

( ).

Если С 0,о — точная

верхняя

грань

то Ѵй.о (ф) <

С 0іоТо,о (ф).

к Кроме того,

для любого положительного целого числа

мы можем

переписать (6) в виде

JJi,

0 ^

bt.

-ч]

D k

х к

a^+V* (а D)Ѵ^Ѵ.-ср

X

ф =

ІгЧ > '

л*н

:"1

шего утверждения.

теперь, что

(/) — под­

Теорема 1.8.2

показывает

пространство

Ж\х

при любом выборе ц.

IV . Положим для любого неотрицательного целого

числа г

Р/(Ф)= max

к(ф).

(8)

0<ттг<г ’

0<Ь*<г

для всех ф £Е

Жр,

I < / , Ф> I < С р ? (ф)

(х)

С и г могутf (х)

зависеть от /, но не от ф.

<

V . Пусть /

— локально интегрируемая па 0

<^х

<

<ооСх функция, причем

имеет медленный рост

при

X

—>■ с о , и функция

x W ‘f (х)

абсолютно интегрируема на

О

< 1 - Тогда / порождает

регулярную обобщенную

функцию / (Е:

Ж

(л,

задаваемую

формулой

>

оо

(9)

</, Ф> = 5 / (х) ф (х) dx.

О