Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

</, ф> = ^ Х^+Ѵг/ (а;)

ф (х) dx +

О

со

^ aj-m+^+v.f (X) £,П-Н-Ѵ> ф (a;) dx.

1

I < / .

Ф > | <

T1g ;X ^о (fф )( * 5) dI Ix +

'I 'm , О ( Ф ) X

о

X

соI x~m+^ '!tf (х)

I

d i ,

^

откуда и следует наше утверждение.

1

З а д а ч а

5.2.2. Выше (свойство II) показано, что

С &бу.

Доказать,

что топология

сильнее топологии, индуцированной

на Збу. пространством Sfß^.

З а д а ч а

5.2.3. Пусть / — распределение, носитель которого

содержится в .X < а; < оо (X

>

0). Показать, что / £

тогда и

только

тогда,

когда / 6Е <!?'.

Далее показать, что любой

элемент

/ 6Е Зб'у.

совпадает с некоторым

распределением медленного роста

в области,

состоящей из тех элементов <!?, носители которых содер­

жатся в X

< X

< оо.

х

1 + 1

«У

ограниченоÖна 0 <

<

А

I

оо. Произведение любых двух эле­

ментов из

снова принадлежит

Ö

(докажите это).

Любая функция Ѳ е б

является мультипликатором в

М у .

при всех |.і. Действительно,

для ср £Е

М у

(х ~ Щ кх-^ / 80ф =

2

( М

1 +

X

Ѵ

(1 +

*"») ( х - Щ

^ х - ^ ,

так

что

ѵ=0 >

'

В кмп, д е ф К

к

( t ) *

. ! +

, - > )

+

■ т£

игѵ,

у2

к

к

—О

'

*

( Ф ) Ь

где

— постоянные. Отсюда

следует, что линейныйМопе­

ратор ср и-*-

Ѳф определяет

непрерывное отображение

у

в

себя. Утверждение доказано.

2.5

сопряженный

оператор

/ -

В силу

результатов

пМ. у

Ѳ/, определенный

на f €

формулой

і у

<Ѳ/і Ф>==</!

Ѳф>,

=My ,

ф

€ЕМу,

0 G 0 ,

(1)

осуществляет непрерывное

линейное Оотображение

М у

в себя. Подчеркнем, что

пространство

не зависит от р;

принадлежитЛ е м м а 5.3.1.О .

Если Р

(х)

и Q

х)

—

полиномы и Q

(х)

х

(

x2)IQ

не имеет нулей на

0 ^

< С °°,

то функция Р

(х2)

Р(

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Очевидно,

что

(х2) 6Е

О .

ПосколькуЕЕ О .

произведение двух

элементов

О

также

при­

надлежит

Ö ,

нам нужно только показать,

IQ

(х2)

ЕЕ.

что 1

IQ

Это

можно

сделать,

применив

оператор

(х-1/))ѵ

к 1 (х2). Мы приходим тогда к рациональной функции

вида

УМ*1)

’

где

N v

(х2) — полином,

[Q(*=)]v+1

которого

меньше,

чем

степень

степень

(х2)]ѵ+1.

Следовательно,

функция

ограничена

на 0

х <

оо,

что

и доказывает лемму.

Умножение на целую степень х.

Для любого положительного или отри­

Л е м м аявляется5.3.2.

изоморфизмом

Ж ѵ

на

Следо­

цательного целого числа п и любого

р

отображение

>->- х" ф (х)

равен­

вательно, оператор

/ (х) >-<-

определенныйФ (х) ь>

ством

х71/ (х),

<хп/ (х), ф (х)> =

</,

хп

ф(х)>,

(2)

задает

изоморфизм Ж

\*+«

на

о.

Если ф е ^ ц

то у™*« (я"ф) =

Д о к а з а т е л ь с т в

торы.

Определим два линейных дифферэнциальпых опе­

ратора

Ny.

и

Му.

и линейный интегральный оператор

N\

I1

формулами

Nyip

(х) =

х^+'!г Dx'^-'^ty

(х),

(3)

зг^-'й DxV

М(хф (х) =

-+'!tф (х), dt.

(4)

/Ѵ^ф (х) 4

X1"и/* 5 Г^'^ф (0

(5)

X

—' оо,

II поэтому на

любой ср £=

Ж^+і-

Кроме того, опе­

раторы

Np

и

N

jl1

являются

обратными

друг другу,

ес­

ли функция ср и ее производные непрерывны на 0

х

°о

и быстро убывают при

х

-■

оо;

таким образом, наше обоз­

начение оправдано в случае обычных функций.

Оператор

в

осуществляет непрерывное линейное ото­

бражение

Жу.

S^fx+i,

так как очевидно,

что ут,\ (А 1Хср)

С

?ш,

к+і

(ф) Для всех

ср е = Ж

у.

и при любом выборе

т

и ft.

=

стороны,

Жрнепрерывное+і

другой

iVjl1 задаетх

линейное ото­

бражение

Жу.+і

в

Жу.\

мы докажем это в два этапа.

Предположим,

что ср ( )

£Е

и ft — фиксированное

положительное целое число. Тогда

^ Г^-'/чр (t) dt =

(аГ^^Н -Ѵ -ЛуѴр^) =

Следовательно,

=

ОО(pT^-DY^xr

(Ф),

А =

1 ,2 ,

m

=

ІА-*/»ф(а;).

Tm, k (iV^cp) =

3 ,...;

0, 1, 2 ,...

(6)

Аналогичный результат для случая ft =

0 может быть по­

лучен следующим образом:

(а:) | <

хт

ОО

(t)

|

dt

<

ОО

$ | г^-Ѵчр

X

<

Ф (9!

dt

<

оо

1

^

(гт+1 +

im+3)

cp

it)

dt

<

$ I

05

X

sup

I^ m+1 + fm+a) г_|Х“ ''!Ф(0 1•

<

\ r r w

CO I

I

Поэтому

V

X

*•

0<l<OO

~

m

=

0, 1, 2 ,...

(7)

Tm. о (ІѴ^Ф) =

[ С Л , о (ф) +

С

о (Ф)Ь

Формулы

(6)

и (7)

доказывают, что ср >->-

ср есть непре­

рывное линейное

отображение

Жу.+і

в

Жу..

друг

другу,

N^1

Так

как

операторы

Жу

и

Жу

обратны

то

мы

можем заключить, что

Ny.

осуществляет взаимно

однозначное отображение

на

+1‘,

то же самое можно

сказать

и

об

операторе

Ajl1, отобраисающем

Жу+і

на

Ж у.

Таким образом, мы доказали, что

Ny

определяет изомор­

физм

Жу+і

на

Жу,

причем

N y1

— обратное отображение.

ОбратимсяЖуѵ

Жтеперьу

к

оператору

М у

и Eдокажемr Ж уп

,

что

Ф

>->- М^ф

1является к

непрерывным линейным

отображе­

нием

в

т

•

Действительно,

для ф

и

при

любом выборе

и

имеем

к

(^Н-Ф) —

SUP

I

х'п (x~1D)kx -2V~1Dx'2^'lx-\l~'bq> X)

I =

’

=

0<Ä<oo

(a;) +

sup

I (2p. -f- 2)

4 - xm {x~xD)kx2 (x^D) ж - 1х- 5/1ф (ж )

I

==

(x)

= ... =

sup

12 (p 4-

k

+ 1)

xm

+

(х-11))йаг^А-’/«ф

0<ж<оо

4- zm+2

(x~lD)k+1x-v--'/’<p (x)

I

+

O

,

t+i (Ф)-

+ fc +

l) т

< 2 ( p

^1, (Ф)

Отсюда и вытекает наше утверждение.

В

сопряженныхNy,

пространствах мы следуем соглаше­

нию об обозначениях, принятомуМ у,

в п.

М2.5,у

и определяем

оператор

когда он действует на обобщенные

функции

как

сопряженный к —

а оператор

при тех же об­

стоятельствах

опеределяемЖ как

сопряженный

к

—

Ny.

Или,

подробнее:

Ny

определяется как обобщенный диффе­

ренциальный оператор на

у,

действующий по формуле

(.Nyf, Ф) == < / , — Му(ру, f

Жу, срЕЕЖу+х-

(8)

Следовательно,

/ н->- N yf — непрерывное

линейное

ото­

<Myf, ф) =

( / ,

— N(о.ф), / ЕЕ Жуп, Ф

Жу-

(9)

Поэтому /

і-у M yf

есть изоморфизм

Ж уп

на

Жу-

Как было указано в п. 2.5, читатель должен интерпре­

тировать символы

Ny

и

М у

в соответствии с тем,

приме­

няются ли операторы к обобщенным или

к основным

функциям (никаких других

возможностей мы не рассмат­