Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

Ж у d Ж ' у ,

в этом случае обобщенный оператор

N y ,

дей­

ствующий на

Ж у ,

может быть отождествлен с обычным опе­

оператора

М у ,

действующего на

Ж у + Х

(см. задачу 5.3.2).

Мы суммируем полученные результаты в виде следую­

щей леммыОбычный.

дифференциальный

оператор N y ,

опреде­

1)

ленныйЛ е м формулойм а 5.3.3.

(3),

осуществляет

изоморфизм

Ж

^

на

Ж у + Х,

причем

является

N y 1.

обратным оператором

2)

Обычный

дифференциальный

оператор М

ц,

опреде­

Ж у \ Х

в Ж у

ленный формулой

(4),

осуществляет непрерывное

линейное

отображение

ренциальный оператор равенством

/ е

ф е

(Ю)

< M y j V y f , ф> = </, м ^ ф > ,

Ж ' у,

Ж у ,

З а д а ч а

5.3.1. Показать, что произведение двух

элементов

из © также принадлежит ©.

З а д а ч а

5.3.2. Пусть / — основная' функция

из

и

Рис.

5.3.1.

частям. Это

означает, что при

указанных условиях

обобщенный

оператор

можно отождествить с обычным оператором

Соглас­

Y x y J y (ху)

=

О

(ж^+Ѵ»)

при

ж — + 0

и

Y x y J y (ху) —

=

О

(1) при

X -*

оо

(Яыке,

Эмде и Леш [1]).

В дальнейшем

мы всегда будем считать

х

независимой переменной функ­

ции

cp

еЕ Жу,

а

у

—Пустънезависимой

переменнойЕсли

преобраЖ у, то­

зования Ганкеля Ф =

ф^ср.

р ;> —Ѵо.

ср е

Л е м м а

5.4.1.

(2)

Фк+і(— «Р) =

^ ^ Ф .

С Ѵ і М*Ф) =

— ЙѴР,

(3)

SV (—

ж2ср)

=

MyN(X^cp,

(4)

Ж\4-11

©ц

(MyNyср)

=

— у~$уср.

(5)

Если

cp 6Е

J

то

(і Яфх ф ))

==

М^^х+рр.

,

((6))

(

М

щ - х ф

7

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Равенство(2)

устанавли­

вается на основе формулы

—x y - v -J^

(xij)

Е ѵ У ~ ^

U>

у)

=

(8)

(Янке, Эмде и Леш

[1]) и дифференцирования под знаком

интеграла:

ОО

X Е ѵ [yо о -PJ(л(ал/)] dx =

D vy-v-'/*l> (у) =

\ ф (ж) Y

(9)

О

=

— § ф (х) х^у-іѵ^+і (ху) dx.

Такое дифференцирование

о

Действительно,

допустимо.

при

р, > —Ѵ2

+1 (ху)

— гладкая

ограниченная на 0 <

/(х

<хг/

<С оо функция,

а ф

(х)

ж3/*

согласно лемме 5.2.1 при­

надлежит

(0,

оо),

если

Жу-

Следовательно,

ин­

Ф СЕ у

теграл в правой части (9) сходится равномерно на любом

компактном

подмножестве

0 <

<

оо.

Умножая (9)

на

г/^+7», мы получаем (2).

Ny

Жу\\,

Чтобы получить (3), заметим сначала, что согласно

лемме 5.3.3 (1),

функция

.ф принадлежит

поэтому

£Ѵ+і (^Vp)

=

У У \

(ху) dx =

О [ДдЛ-і'-'-Чр (а;)] а.-Н-1/^+i

=

со

Ф (я)Уx y J р+і {ху) |^1“ 0 — у \ ф(х) /ж у/р {ху) dx.

о

ср (ж)

бы­

Внеинтегральный член равен нулю, поскольку

стро убывает

при

х

->■

оо,

а при

х

—> + 0

|^жг//р+1

(ху)

=

=

О (х)

и

ср

(х)

= О (1), если р

—*L-

Это доказывает

формулу (3).

теперь,

что

ср £Е

1

у)

=

Допустим

и положим Ф (

= фр+1 [ср (а:)].

Формула (6)

выводится при помощи диф­

ференцирования

под знаком

интеграла

и использования

формулы (10), если предварительно поменять ролями ж и

у:

DyyV+Ч'Ф (у)

=

ОО

{х) Ѵ х Dy

j

h j

V+

i {ху)] dx

=

оо

5 ф

[ /^-

=

о

(11)

§ ср (ж) sftyP+iJy. {ху) dx.

Эта

выкладка

о

поскольку

при

р

—1/2

справедлива,

функция

У

ху

/р

{ху)

является гладкой и ограниченной на

0 < ж

у

< о о ,

а

жср (ж) £Е ЬДО, оо)

в силу леммы 5.2.1;

следовательно,

интегралу~Р~'Ігв правой части (11) сходится рав­

номерно на каждом компактном подмножестве 0 <Е

у

< оо.

Умножение (11) на

дает (6).

на лемму

5.3.3

(2) и

Чтобы

получить (7),

сошлемсяу

применим fpjx

к

Му.

ср. Интегрирование

по частям и исполь­

зование формулы (8), где ж и

поменялись ролями,

при­

водит тогда к равенству

оо

.'Дл(Мц.Ср) =

У

У

5 [Аг-Ж^'Чр (ж)]

{ху) dx =

оо

о

\

ф

{х) У х у

/р+і

{ху) dx.

= ф(я) У ху /р {ху) | Г “ 0 + У о

что

Так как

р

—1/2, то

из

леммы

5.2.1 получаем,

ср (ж)

=

О

(ж)

при ж -»

+ 0

и

ср (ж)

быстро убывает

при

ж —» о о .

Кроме

того,

функция

У х у

{ху)

ограничена

на 0

< і х у

< с°о .

Следовательно,

внеинтѳгральный

член

равен нулю, и мы получаем (7).

(2)

и

(6),

Формула

(4)

получается

комбинированием

а формула

(5) — комбинированиемП ри

(3)

обычноеи (7).

преобразо­

ваниеМы

Ганкеляпереходим

являетсятеперь к

автоморфизмомнашей основнойна

теоремеЖ

.

Т е о р е м а 5.4.1.

р > —х/2

как

и

ц -

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть,

раньше,

у

§^1

[ф (ж)1,

где ф ЕЕ

Ж у.,

а

т

и

к

— любая

пара

Ф ( ) =

неотрицательных целых чисел. Применяя

к

раз формулу

(2),

т

раз формулу (3)

и замечая,

что

N

N

X

N

ц + К + т -1 • •

•

N

(х+ fc+i-ZVр.+

hx^

ф

(х)

=

XkN

(1 + jn -i . . .

ц+1

|іф ( ) ,

мы получаем соотношение

( _

y)m+Wv+k-1...N v.<b(y) =

=

со

•• • Ny/f (а;)] У x y j ^ к+т (ху) іх .

5 (— х)к

О

Это равенство можно переписать в виде

(— 1

)т+кут (y-'DyYy-v-'b

Ф

(у) =

ф ]

(12)

=

J°° хЦМ-Ък+т+І

J

(х

)

dx.

Далее,

поскольку р >

—х/2,

функция

1у.+к+т {ху)І (ху)^+к

ограничена0

на<Zy0 <

ху

<

оо некоторой постоянной

B hjlil.

Отсюда следует, что последний интеграл сходится равно­

мерно на

так что левая часть (12)

является

непрерывной(у)

функцией при любых

т

и

к.

По индукции на

основании равенства (6) п. 5.2 мы можем заключить, что

Ф

— гладкая функция на 0 < у

<С°°-

ПредположимX

теперь, что

п

— целое число, не меньшее

числа

р +

к

+ 1/2

{т

+ 1).

Тогда

2

(1

гс2)71

ж2и- + fr+m+i

при

j> 0. Следовательно, из (12)

получаем

С

,

к (ф ) <

\ (*

+

жТ

+]

I (x-'D^x-'^Hp (х) I

dx <

О

п+1

г£ ,„ ( ф)-

2 ( “ | ' )‘

ѵ=0

*