Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 193
Скачиваний: 0
Кроме того, в этом случае применима классическая теорема обращения (теорема 5.1.1), так как Ж у.ЕЦЬх (0, се),
если р > —1/2. При этом фу = фу1. Из сказанного сле дует, что фу является взаимно однозначным отображением Жу. на Ж у. и поэтому действительно определяет автомор физм на Ж у.
5.5. Преобразование Ганкеля обобщенных функций
В этом пункте мы будем предполагать, что р заключено в интервале —1/2< J p < ° ° - Мы определим преобразова
ние Ганкеля |
фу |
обобщенных функцийЖу. |
из |
Жу. |
как сопря |
||||||||
женное к преобразованию ф у |
в |
Ж у |
Более |
подробно: |
|||||||||
для произвольной функции Ф GE |
= |
и произвольного эле |
|||||||||||
мента / ЕЕ |
Ж у. |
мы определим |
F |
ф у / |
формулой |
||||||||
|
|
|
|
<Е,Ф > =£=</, ф>, |
ф = ф у Ф , |
|
(1) |
||||||
или, используя другие символы, формулой |
(2) |
||||||||||||
|
|
|
|
<&/,Ф > — </,& Ф > . |
|
|
|||||||
Из теорем 1.10.2 и 5.4.1 непосредственно вытекает |
|||||||||||||
Т е о р е м а |
|
5.5.1. |
При |
р > |
—1/2 |
преобразование Ган |
|||||||
келя фу обобщенных |
функций |
|
является |
автоморфизмом |
|||||||||
на Ж у.■ |
|
|
фу = |
фу1 на |
|
|
последнее |
утвержде |
|||||
Поскольку |
Ж у |
||||||||||||
ние теоремы 1.10.2 означает, |
что |
(фу)-1 |
= фу., т. е. пре |
||||||||||
образование Ганкеля обобщенных функций в простран
стве |
Жу. |
обратно самому себе. Тот |
факт, что фу = фу1 |
||
в |
Ж у., |
позволяет нам переписать (1) |
в форме |
||
|
|
||||
<Фу/, Фуф> = </. ф>,
вследствие чего (1) приобретает вид обобщения равенства Парсеваля (равенство (3) п. 5.1).
Если обычное преобразование Ганкеля фу порядка р —Ѵг действует на функцию f ЕЕ Ьх (0, оо), то оно яв ляется частным случаем нашего преобразования Ганкеля обобщенных функций. Действительно, положим
F c (у) |
= ф у / |
оо |
У х у |
/ у |
(ху) dx, |
р > — Ѵ2, |
|
|
= ^ / (ж) |
L x |
|
|
|||
|
|
/ £= |
|
(0 , о о ). |
(3) |
||
181
Поскольку функция У ху /ц (ху)Fограниченаc (у) |
на 0 <Сху < |
|||||||||||||
< ; оо, то интеграл в (3) сходится равномерно |
|
на О <С?/ |
||||||||||||
< о о . Следовательно, функция |
|
|
|
непрерывна и огра |
||||||||||
ничена на 0 |
|
< оо. Согласно свойству V |
|
п. 5.2 |
F c (у) |
|||||||||
порождает регулярную обобщенную функцию в |
Ж |
(х. Да |
||||||||||||
лее, в силу определения (1) для |
F |
= |
|
/ и второго абзаца |
||||||||||
свойства V |
п. 5.2 |
|
мы имеем дляСО любого ср €Е |
Жу. |
|
и Ф = |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
= §уіф |
соотношение |
5 / (х) Ф (z) dx. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
<F, Ф> = </, ф> = |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Так как Ф GE |
Жу. |
CZ £ і (0, оо) |
О |
|
р |
—г/2, |
то |
|
можно |
|||||
|
|
при |
|
|
|
|
||||||||
воспользоваться |
равенством Парсеваля (равенство (3) |
|||||||||||||
п. 5.1) и написать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
со |
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 / (*) Ф (*) d x = \ F c {у) Ф (у) dy.
ОО
Поэтому
оо
<F, ф> = $ F e(y)0(y)dy.
о
Таким образом, |
наше преобразование Ганкеля обобщен |
|||||
ной функции |
F |
= |
/ является регулярной обобщенной |
|||
функциейF, c |
соответствующей |
обычному преобразованию |
||||
Ганкеля |
= |
|
|
|
|
|
Поскольку при подходящих условиях на / мы можем |
||||||
отождествить |
|
с |
то |
мы] |
будем в дальнейшем опус |
|
кать штрих |
у |
|
|
если |
р > |
—Ѵг- При этом наше опре |
деление преобразования Ганкеля §у./ обобщенной функ
ции / GE |
Ж\>. |
приобретает вид |
|
<§іД, Ф) = (/> |
/ 6= Ж\і, Ф £Е Ж\і, р > — Ѵг- (4) |
||
(В п. 5.10 мы распространим преобразование Ганкеля обобщенных функций на случай, когда р < —Ѵз- При
этом штрих в не будет отбрасываться, поскольку пре образования Ганкеля для обычных и для обобщенных функций отождествляться не будут.)
Мы закончим этот пункт доказательством ряда формул преобразования операций для преобразования Ганкеля
182
обобщенных функций. Эти формулы выглядят точно так же,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
как в лемме 5.4.1, однако теперь они относятся к обобщен |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
ным операциям (т. е. к операциям, сопряженным к обыч |
||||||||||||
|
F . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ным). В дальнейшем мы будем считать независимой пе |
||||||||||||
ременной функций ф и / , |
|
а |
|
|
— независимой переменной |
|||||||
функций Ф и |
|
|
Пустъ |
|
— (J.1£ф/1 |
|
Если |
/ ЕЕ |
Ж у, то |
|||
|
|
и+і ( |
|
х1) |
|
|
|
(5) |
||||
Т е о р е м а 5.5§.2. |
|
|
|
р >N —Ѵг- |
|
|
(6) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
—у |
|
|
|
|
|
|
£ѵ+і (ЛѴ/) = М ѵ Д М |
|
|||||||||
|
|
(MyJV |
|
|
|
= |
|
|
|
(7) |
||
|
|
|
( - |
я2/) |
|
|
|
|
||||
Если / ее Жу+х, |
|
|
|
(j./) |
|
|
= —у2§р./. |
|
|
(8) |
||
то |
xf ) |
= |
|
Л7іх§и-і/і |
|
|
|
(9) |
||||
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
||||
|
|
§и. № ) |
|
= |
|
У Ш - |
|
|
|
(10) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Замечание. Формулы (5) и (6) понимаются в смысле ра венства в Жр+х, формулы (7) и (10) — в смысле равенства
в5?;.
До к а з а т е л ь с т в о . Сначала мы выведем фор
мулу (6). Пусть Ф ЕЕ Ж^+х и ср = фц+іФ. На основе определения (4) и лемм 5.3.2, 5.3.3 и 5.4.1 можно напи сать
<£Ѵ+1ІѴ,л/, Ф> = <ЛѴ/, ф> = </, —М уФ> = = <§р/, — у Ф> = <—*/§*/> Ф>. (И)
Правая часть (И) имеет смысл, поскольку обобщенная функция — j/Jjpjx/ принадлежит Жу~і, так что ее сужение на
Ж ^ х принадлежит Жу+х согласно свойству II п. 5.2. Мы получили желаемый результат.
Равенство (5) можно вывести из (6) следующим образом.
Мы уже отмечалиЖ, что преобразование Гаикеля обобщен |
|||||||||||||||
ных функций из |
у. |
обратно самому себе. |
Другими сло |
||||||||||||
вами, |
§ ц§ іі |
есть |
единичный оператор |
на |
Ж у. |
Положим |
|||||||||
F |
= |
$Qyf. |
Тогда в силу (6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
N |
|
|
|
y$Qyf) |
|
|
уЕ)- |
|
||||||
|
|
|
ц§іо./' = |
|
|
xf |
§^+i (— |
= |
|
F |
|||||
Эта |
|
§р+і§р+і7ѴI = |
|
§ц+і (—х |
на |
||||||||||
формула совпадает с (5), |
если заменить / и |
|
|||||||||||||
и |
у |
соответственно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Аналогично устанавливается формула (10), если поло |
||||||||||||||
жить |
Ф ЕЕ |
Ж у, |
ф = §цФ |
н |
использовать следующим |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
133
образом определение (4) и леммы 5.3.2, 5.3.3, 5.4.1:
<Фрі¥р/, Ф> = <Мц/, ср> = </, — /Ѵ,,ср> = <§,,+1/, г/Ф> =
Затем, полагая |
F |
= ф^+і/ |
|
= <г/Фр+і/, Ф>. (12) |
|
|
^ |
и замечая, что фрфц — |
|||
тождественный оператор на |
Ж |
|
мы выводим (9) из (10): |
||
|
|
||||
•Мң-Фн-iF = |
фр£>рм р/ = |
|
фцуфщ-i/ = ^ . i j F . |
||
Формулы (7) и (8) получаются непосредственно из этих результатов.
З а д а ч а 5.5.1. Пусть а — действительное положительное число, V — неотрицательное целое число. Обобщенная функция
(я — а) определяется на &ây равенством
|
<6М (X - а), ф (х)> = ( - 1 ) Ѵ Ѵ) (а), |
|
Ф е |
|
|
|||
Очевидно, |
что б^ѵ) (х — а) |
£Е ffß'y. |
Показать, |
что |
для р |
— 1/2 |
||
|
( X - |
а) = ( - 1Г |
|
{ад)], |
|
|||
Здесь Пц |
Г/ |
о® |
(ах)] |
(— 1)ѵ б(ѵ) (у |
|
порядка ѵ, |
||
|
|
|
= |
|
|
— а). |
|
|
|
обозначает |
обычную |
производную |
|
|
|||
а D q I У ах J y (ох)] — регулярная обобщенная функция в ffßy. (Отмс тим, что теорема 5.6.3 следующего пункта позволяет дать простое
доказательство этих формул. |
Однако читателю предлагается в этой |
||||
задаче ею не пользоваться.) |
|
|
|
||
З а д а ч а 5.5.2. Определим / как функционал на |
формулой |
||||
|
СО |
о о |
|
|
|
</, |
ф> = 2 |
\ |
ФО®) V a w |
(avz) dx, |
|
|
Ѵ=1 0 |
|
|
|
|
где p ^ . — 1/2, |
ф е |
и |
а — действительное положительное |
||
число. Показать, что / принадлежит ЗѴу и найти преобразование Ганкеля /.
За д а ч а 5.5.3. Показать, что
%[®1*+,/,1+ (а — я)] = a|A+y J/,JrV4.1 {ay)
И |
— 1/2 и 0 < и < |
ю . |
(оу) — 2 у ~ Ч ^ (ау)], |
где р ^ |
|||
фр [ж1А+Ѵг1+ {а — х)] = |
а1Х+2у -’/г [,а/н,+1 |
|
|
З а д а ч а 5.5.4. Пусть п — положительное целое число. Вы |
|||
вести следующие формулы: |
|
||
(а) |
В смысле равенства в &£у+п при р |
— 1/2 |
|
|
$ н-п*"“1'* = (Р + |
1)(|і + 3 ) ... ( р + 2 д - 1 ) у - " - '\ |
|
184
b) В смысле равенства в |
ПРИ р ^ 2га — 1/2 |
|||
Зу е 2"“ '7, = |
(р2 - 1) (р2 - |
9). . . [р2 - |
(2га - I)2] у~'ІЛ~4'. |
|
(с) В смысле равенства в |
при (х ^ 2га — 1/2 |
|||
£(х+1*2П+,/г = (II2 - |
1) ([X2 - 9). . . [р2 - (2га - |
I)2] (р + 2га - 1) у~2п^ . |
||
Указание. |
Исходить из того, что формула (а) остается справед |
|||
ливой при га = |
0. |
|
|
|
5.6. Преобразование Ганкеля в &W
Как было указано во введении к этой главе, преобразо вание Ганкеля некоторых (но не всех) элементов из 5 ^ имеет вид
F |
(у) = |
</ (х)> |
Y x y J v.{xy)'>. |
(1) |
Как мы сейчас |
докажем, |
это верно, например, |
если |
|
/Егй’Х-О и р !> |
—Ѵз- |
Более общие условия, при которых |
||
выполняется (1), даны Кохом и Земаияном Ц].
Сначала мы докажем, что если / е й 1' (/), то F (у) — гладкая функция на 0 < г/ < о о . Действительно, она мо жет быть расширена до функции, аналитической во всей комплексной плоскости, исключая только точки ветвле ния в начале координат и в бесконечности. Чтобы дока зать это, предположим, что р — комплексная переменная
и |
Р (л) = </ (я). |
х/ х р -Д ф р )). |
(2 |
При любом |
фиксированном |
)> 0 Ужр/р. (ащ) — много |
|
|
1 |
|
2ц — |
значная функция ], исключая случаи, когда 1 + |
|||
четное целое число. Кроме того, она удовлетворяет соот ношению
|
(жре*2”’')1'» |
(аще12"") = |
еіп~(1+2Р) (ят))1/« |
(arp), |
|
F(y) |
||||||||||
где г| |
ф |
0 и |
п |
— любое целое число. Следовательно, |
|
|||||||||||
удовлетворяет |
|
равенству |
|
F (у), |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
F |
(ре12"71) = |
|
еіпп(1+2^ |
р |
0, |
|
|
2р не |
||||||
и таким образом, является многозначной, |
если 1 + |
|||||||||||||||
равно четному целому числу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
наяТ. е о р е м а |
|
5.6.1. |
|
Пустъ |
/ — |
элемент |
Щ’ |
(/), |
|
р — |
||||||
|
число |
и |
|
|
|
|
|
|||||||||
любое |
действительное |
|
комплексная перемен |
|||||||||||||
|
Тогда |
функция |
F |
(р), |
определенная |
формулой |
(2), |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
р — |
|
|
|
|
|
|
||
185
