Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

D-nF Ol)

= </ (x), -С^/хр /ц (xp)>, I] ф 0.

(3)

Д о к а з а т

е л ь с т в о . При фиксированном p

0

С I т]

|. Пусть

Дг) —

комплексное

приращение,

удовлетворяющее

условию

0 < | Др |

< г . Рассмотрим

равенство

7)fl ]/rx i f / lj.(xp)>

=

</ (х), ф д Д х )> ,

^

+ Д р ) - ^ ) _ < / ( , ) ,

где

(4)

i

V

+

хДр

(хр +

хАр) — / хр /ц (хр)] —

Фди =

—

D-n

^ хр Д Д хр ).

=

ш

Ü

V ™ 1* W

(т - р - д р - - т ^ г ) -

С,

1

Ъ . - А і С

____

D ^ V x z J ^ x z )

( * - P)2 J

2я £ ^

(z — р — Др) (z —. р)а aZ '

Но для всех z E

^

при переменной я,

пробегающей ком­

пактное подмножество 0 < х

< ° ° , функция

D ^ x z J ^ (xz)

ограничена некоторой постоянной

В.

Так как, кроме того,

I

z

— р I =

гх

и

I

z

— р — Ар I >

гх

—

г,

то

мы имеем

Отсюда вытекает,

что при | Ар |

0

функция

Дѵфд„ (х)

ствах 0 < х < о о ; следовательно,

фд„ (х)

сходится

в

$ (I)

к нулю. Поскольку / £Е (Л,

то (4)

стремится

к

нулю. Таким образом, при указанйых

ограничениях на

т|

мы Fполучили

формулу

(3)

и

доказали

аналитич­

ность

(т|).

F

Теперь нашей целью является доказательство того, что

(у)

имеет определенный порядок

роста

при у ^ - + 0 и

у

-*■

F

(уТ)

Пустъ

элемент &'

(/), ц !>

еудовлетворяето р е м а 5.6.2.неравенству/ —

>

°°-

и

Функция

F (у)

определена формулой

(1).

Тогда

— 7г

I ^ (У) I

<

К у № ,

0 < г / < 1,

(5 )

где К и р

К у ѵ,

1

1

—■

достаточно

большие <действительные/ < о о ,

числа.

По

I .

X

3)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

теореме

2.3.1

носитель

/ — компактное

подмножество

Возьмем

е =

(/),

причем

X х

) =

1

в окрестности носителя /. Тогда

можно

(

написать

F

(у)

=

</

(х),

X (х) У х у

/ц

(ху)>.

В

силу

свойства

Жуі,

а функция

III

и. 5.2

/ — элемент

X (х) Y Х У J v - (ху)

в

силу

свойства

I

и.

С5.2 — элемент

Жу..

Следовательно, из свойства IV п. 5.2 вытекает су­

ществование положительной

постоянной

и

неотрица­

тельного целого числа г, таких, что

IF (у) К

С

шах

sup

|

хт

(аГ1П х)'с [Л,

(х) x~v~'l*Yху1^(ху)}\^

0 < т < г 0 < :t < °°

v=ft0

0

< f t < r

С m, ft

X

\v /

<

max sup I 2

it) [x™ ( x ^ Dx f ^ X

(x)] x

ку !1 > —7г

1

то выражение /ц.+ ѵ (z)/zlA+v ограничено на

О < ; z <

оо

некоторой постоянной

В ѵ.

Поэтому

|^ (г / )|< С max

С

ш, /і-ѵ5 ѵу!і+ѵ>+2.

Отсюда

0<0 пг<1-

—1(5)І.%, т°

< f c < r

непосредственноЕсливытекает Шнеравенство'

Сформулируем теперь основную теорему этого пункта.

ное Т е о р е м а 5.6.3.

/ е

(/)

и р >

определен­

преобразование Ганкеля обобщенной функции

/,

п. 5.5,

равенством

является регулярной обобщенной

функцией в Жу..(4)

Оно порождено гладкой функцией F (у),

заданной равенством

(1).

Ж у’.

Заметим,

что

F

(у)

действительно порождает регуляр­

ный элемент в

в силу свойства V п. 5.2, теорем 5.6.1,

5.6.2 и условия р

—Ѵ2.

Доказательство теоремы

5.6.3

основано

на

двух леммах.

элемент

Жу.,

Л е м м а

5.6.1.

Если

р !> —1/2

м Ф

—

Фу (я) =

§

Ф (у) У xyJ ^i xy) dy

•

У

сю.

сходится в ё (I) к нулю

при Y

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Дифференцируя

под

зна­

ком интеграла и используя (6), мы получаем

{ x - 'D fx ^ - 'Ң у (я) = ( -

СО

Ф (у) yV*4Mk

J

(7)

1Д [

dy.

Эти дифференцирования под знаком интеграла оправ­

даны в силу ограниченности /ц+ь (г) / г'14* и,

следователь­

но, равномерной сходимости на

0 < я < ° о

интеграла в

формуле (7)

при любом

к;

таким образом, (7) стремится к

нулю равномерно на 0 < я

< С оо

при У

о о .

Но

1D)kx~V~'/ityY

Кфу (г)

(8)

(я X -ѵ-Ч»

Фу(я() =

D

фу (X)

=

х )

+ bfr,

,.2/С-І

. . . +

и YЛ е м м а 5.6.2.

Если

р, —V

21

Ф G=

f

£=

$ '

СО

(

у

—

фиксированное

то

конечное) положительное число,

5Ф (У) </ (*), V*yJv-{xy)> dV =

О

=

Y

и- (xy)dy).

(9)

</ (*). 5 Ф

о

771

(.f (x)i Y х Утч J

{х Утч)У

(Ду)т

(Ю)

2 Ф (Утѵ)

Н-

ѵ=1

</ (х),

со)

(х Ут.) (АУ)т >.

(И)

2 Ф (Утѵ) V х Утч h

При

т - +

Ѵ=0

сходится

в

&

(/)

оо основная функция в (11)

к основной

функции,

стоящей

в правой части равенства

(9).

Действительно,

D^YХУ Jv-

ХУ)

— непрерывная функ­

х

(

у)

в области Q =

{(ж,

у):

ция двумерной переменной ( ,

X

е=

К ,

О

у

К },

где

К

— любое компактное подмно­

жество

0

<С.°°. Поэтому допустимо дифференциро­

ваниеупод знаком интеграла:у

(12)

D X \

Ф (У)

Y

x y J » (Х У) d y=

$ Ф (у) Т>х Y

Х У J v- (Х У) d y-

о ]

сумма

о

Кроме того,

оо

® (і/тпѵ)

[ D x

Y х Утпч

{ху771V

У)т

2

)1(А