Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

лированное в начале абзаца.

М 2,

т

М 2

Поскольку / ЕЕ

$'

(/), то для рассмотренного ранее чис­

ла е > 0 мы можем найти такое

что при всех

вой частью (9) ограничена числом 2е, а так как е

О про­

извольно, доказательство завершено.Ж\і

Мы по­

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы 5.6.3.

казали, что для любой функции Ф ЕЕ

« /

(х), V х у Jy. (ху)),

Ф

(у))

= </, §ДР>.

(13)

У

(у) V x y J v i x y ) dy)

+ </

(х),

со

Ф

(у) Ѵ х у М х у ) dy>-

</ (*). 5 Ф

J

(15)

о]

У

З а д а ч а 5.6.1.

Пусть

/ €= %' (/) и ц >

— 1/2. Проверить,

что -SpjjLn (Nyj) = —

и Jj^

(ЛТД) = y S p ^ j ,

используя теорему

З а д а ч а

5.6.2. Предположим, что

р >

— 1,2,

/ 6Е $ '

(/)

и F = $}yf. Показать, что

/ (re) =

lim

\ Л (i/)

У Д у

(xy) dy

у

r

Y -> со

оJ

в смысле сходимости в Ж у.

Это выражение является формулой об­

ращения для (1).

Допустим,

что

р >

- -

1/2,

/ е й '

(Л

и

З а д а ч а

5.6.3.

F — Spyf. Пусть q— положительное целое число, причем 2д)> р +

2,

где р — число, указанное в теореме 5.6.2.

Показать, что

в Ж у

справедливо равенство

смысле, а/

интеграл( * )

— в=

СО

.

т+

т ((

*

-t f4

)

-

смысле [Римана5 і

L

м^ ) 4

Уо

У*яJi>

*у>

+

где дифференциальный оператор

понимается

в обобщенном

З а д а ч а

5.6.4. Показать, что при р ^

— 1/2 и 0 <

а <

Ъ<

оо

bq-Pf

1. Іх — а) 1. (Ь — х)

И

s - a

------

- =

Т

Ѵ *У Jq .ixy) — V ay J „ (ay)

£

У х у J у (xy)

=

\

------------------------------------------dx +

\

------ —

----- dx.

J

X — a

1 #)

X — a

a

a+l

Р ( M q jtfq .) U = g, 0 < X < OQ,

(1)

Р (—У2) U (у) — G (у),

(2)

“ (*) = & T j S f i ■

(3)

где

Ф =

О

решение единственно в Жу-

Полученное

G (уДействительно)/ у2)

, любое решение (1) должно иметь в каче­

стве

преобразования Ганкеля

обобщенную

функцию

Р

(

—

(докажите

это),

а

является

взаимно

однозначным отображением

Жу

на себя.

х —

0

Если

Р (х)

имеет нуль кратности

п

0, но

в точке 1

не имеет нулейgна —оо

< , то указанная операцион­

ная техника все еще применима для решения ( ) при ус­

ловии,

что на

наложены несколько другие ограничения.

В частности, пусть обобщенная функция

g

такова, что су­

) имеет решение, которое, однако,

в

Жу

уже не един-

(Івенно, как

мы увидим ниже.

Q

Q

ст Запишем

Р (х)

в виде

х

Р (х) — хп

(х

),

где

(х)

не

имеет корней на — оо < ;

0. Тогда (1) принимает вид

(MyNy)nQ MyNy) и =

g.

(4)

Применение фц к

(

У(4) дает

(у) =

(у).

(5)

( -

2)71Q (~ У г) и

G

По лемме 5.3.2 обобщенная функция

(6)

n - i f ) U { y ) = ( - i f r ' G ( y )

<

принадлежит,^;

в силу свойства II и. 5.2 она также удов­

летворяет уравнению (5) в смысле равенства в

Ж^..

6

Однако результат ( ) не единствен, существуют и дру­

гие элементы

Ж],.,

удовлетворяющие уравнению (5) в смыс­

ле равенства в

Ж

ц. В частности,

6

мы можем добавить к ( )

любое решение

Н (у)

£Е

Жу.

однородного

уравнения

{ i f f

И (у)

0

Такое решение имеет вид

—1

= .

Н ( ѵ ) =

П

(7)

Sav^v(y),

< і №

{у),

{у),

I/*п

[у^у-ѵ-Ч.ф

Ф (г/)> = <ЕѴ

« -ФЧ -o(у)> =

( у ) ] = 0

при 0 ^

V ^

=

l i m Q r 1D ) v

п — 1.

6

Таким образом, мы можем добавить (7) к правой части

( )

и получить уравнение для всего класса решений (5).

Операционное исчисление показывает теперь,

что

—1

П =

G (у)

П

{у)

(8)

Q ( - v 2)

(— у г)п +

2

« л

ѵ=0

что а ѵ —

является решением уравнения (4); напомним,

произвольные постоянные.

Р

(х

.і

Еще сложнее случай,

когда

)

имеет

корни на

— оо

< 0 .

Он приводит к проблеме деления, заклю-

7 А , Г , Земанян

193

■

чающейся в том, что нужно найти' обобщенную функцию

U у

( ), удовлетворяющую уравнению (2) (см. Земанян 18]).

Отметим, наконец,1

!

что дифференциальное уравнение

вида

_-:кист ііь<і &.Ѵ. .п

г-атэйоиэ yr.i-

тіг.к-чт.вп'!ГГь:

где

Л у

I. !.я т.ю і‘>«.і о .Р

і/?ѵ ).V =

'Ui.oa. (9)■

то'ѵатач.щу. .інктошіг.а он (Ш -!й.-.?гѵ«.»і. .-яви..О

!Г

tum.

x~hD

— J rV a,

' ■ MTi‘

!

ш/

.нтлоіі ••

ѵ

,

aiTiaiO- и: - Hoi-

■

--t

можно решить, если предварительно .умножить

и /

на

, Г -

ГТ - : , І

•'

1.

\-.. — ' . ' \

• U lli U l -

У X

поскольку

• Действительно,

f у-*-

у Ѵ являётся изоморфизмом

Жр

на

Ж^..

Развитые

выше методы позволяют найти решение

ѵ

£Е

Жу.

уравне­

тора П ^ і)„,;который может, быть, преобразован в

M 0N 0

на

умножением

рассматриваемых

обобщенных

функций

у х .

Кроме того, Меллер [1]ч,обобщила этот результат на

дифференциальные

операторы

вида

x^D xV+W ,

где

— 1

< р

< 1 , а Димовскис[1] сделал то же самое для бо­

лее общих операторов^, более высокого порядка.

З а д а ч а

5.7.1.

Пусть полином Р (х) ие имеет корней

на

— оо < X

0.

Доказать, что в

преобразование Ганкеля любо­

го решения уравнения,(1) равно G (у)/Р (— у2).

.?п

.■

З а д

а ч а

5.7.2. Н ай ти вІ^ р , р. ; > — 1/2, решения двух следую­

щих дифференциальных уравнений

'

и

оі;

нении

.ОШПІГ. Эьі.

„а miqoH

u, + ”P12 ( M ^ J

щ = gl,

-Ob пая

( М ^ )

и* = ft,