Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 200
Скачиваний: 0
где |
fi |
|
— |
l/2j |
ri |
g2 |
— |
заданныРе пэлем( |
енты |
|
|
|
|
— |
П О Л И Н О М Ы > |
|||||||||||||
п |
|
|
|
|
gj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sfß'y., Р ц |
|
||||||||||||
|
определитель |
|
|
|
|
2.1 |
х) |
P'2‘2- (х) |
|
|
|
|
,, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-PРц‘ |
,((ж) |
|
х) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не |
имеет корней |
на — |
сю < ^ |
0. |
Н ай т и |
Рп а(р у |
реш енигй и |
и2 |
||||||||||||||||||||
в |
|
|
|
Единственны ли |
х они |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
— |
|
|
|
|
|||||||
3ß\s.. |
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і |
|||||||||||||
|
|
З а д а н а |
5 .7 .4 . |
|
Д о п уст и м klt, нто. |
полинок |
м |
х ) |
|
имеет |
|
н есколь |
||||||||||||||||
ко |
корней |
на |
> |
—оо < ; |
< оо; н априм ер , |
в т о ч к а х |
|
.-г- |
|
|
. . . |
|||||||||||||||||
■ |
|
|
|
Р (Eq( |
0). |
|
с х |
кратностям и . |
|
. , |
соответственно. |
|
Т огда |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
Q (х) |
Q |
(х) |
( |
+ |
І»)?* + |
|
|
|
+ |
+ . ф' |
t |
.«,■ |
!» |
|
|
|
|
'•:п* •= |
|||||
|
|
|
|
|
х) |
= |
|
|
' |
' ^ J* ■ |
( X |
|
•JJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
полином |
|
|
в 3 6 ^ |
равен |
|
»' |
|
|
|
< |
|
0, |
П о к а |
||||||||||||||
|
|
не |
|
нулю , нигде |
н а |
оо— |
|
|
|
|||||||||||||||||||
зать, |
|
что решение |
|
|
однороднаго |
уравнения. |
(ІИціѴ Д |
ис |
= |
|
0, |
|||||||||||||||||
р. ^ |
|
— 1/2, |
имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
“ «(*)=■ |
р2 2 с рЛ |
і* V yJ v.l*u)]u=zp,''' |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—1 ѵ=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
Г* |
— |
|
' tl ri’ |
|
|
произвольны е постоянны е. |
||
|
|
|
I • |
п ор яд к а, |
дифференцирование ѵ -го |
DЗдесь |
обозначает |
обычное |
|||
|
а [ |
D \ ; |
, |
где |
у 'ф и к |
* |
|
||||
|
Y x y j ^ { x y ) ) , |
|
|
сировано, |
обозначает |
р егулярн ую обобщ енную функцию ..в |
|
|||||||||
|
З а д а ч а 5 .7 .5 . Н ай т и в |
|
|
|
|
|
3â\i |
|
||||
|
|
реш ение дифференциального ур гав |
||||||||||
нения ( W |
|
|
|
36\>. |
|
|
|
|
|
|
||
и - и |
= Б Щ х - |
1) + |
(і - П |
Г 1 |
) б (* - |
1), |
; гі |
|||||
где |
снова |
р ^ |
— |
1/2. |
М ож н о |
|
л и |
найти |
в7й?р |
другое |
реш ение? |
|
|
З а д а ч а |
;5 .7 .6 . |
П роверить |
справедливость |
ф орм ул ң |
(-1Q), |
||||||
считая дифференцирование обычным. |
|
|
|
|
||||||||
5.8. |
Задача Дирихле в цилиндрических координатах |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;,ПЯтгГ> |
|
Этот пункт посвящен применению предшествующей теории |
|
к задаче Дирихле в цилиндрических координатах, причем
вкачестве граничных условий берутся обобщенные функ ции. Задача формулируется: следующим образом: найти
обычную |
функцию |
v (r,\z) |
ів |
области |
{(г, г).: |
0 |
< ; ?• < ° ° , |
|||||||
0 |
< 2 |
< |
оо}, удовлетворяющую |
уравнению |
Лапласа |
|||||||||
в |
цилиндрических координатах |
___ |
« |
|
|
Ф |
||||||||
|
|
|
|
dr% |
1 |
d r |
, |
dz% |
- |
|
||||
|
|
|
, f |
д 2ѵ . |
r |
д ѵ |
|
Ъгѵ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(в предположении,, что |
Ѳ — фиксированный (параметр) й |
|||||||||||||
следующим граничным |
условиям: |
|
|
|
. |
|
7* .195
|
(а) |
Если z->- + 0 , то0 |
v (г, z |
сходится в некотором обоб |
||||||||||||
|
|
|
|
|
) |
|||||||||||
щенном смысле к распределению / (г) £Е |
Ш' |
(/). Здесь |
I |
|||||||||||||
обозначает0 |
интервал |
V |
< г |
< о о . |
|
|
|
|||||||||
|
Ь) |
Если z |
—у |
оо, |
то |
(г, z) |
стремится равномерно к ну |
|||||||||
лю |
(і |
>- |
|
|
||||||||||||
0на |
< |
г < |
оо, |
V (г, z) |
|
|
|
|
||||||||
z |
(c) |
Если г — оо , |
то |
стремится к нулю для всех |
||||||||||||
|
|
V |
|
|
||||||||||||
0. |
|
|
|
|
0, то |
|
|
(г, |
z) остается конечной для всех |
|||||||
|
(d) Если г -ѵ + |
|
|
z ]> .
Следуя нашему обычному методу, мы получим сначала решенпе формально, а затем докажем, что результат дей ствительно удовлетворяет дифференциальному уравне нию (1) и граничным условиям. Дифференциальное урав нение (1) допускает преобразование к виду, в котором оно может быть исследовано при помощи преобразования Ганкеля нулевого порядка, если сделать замену переменных
Здесь |
и |
(г, z) |
= У г ѵ |
(г, z), |
g |
(г) = |
|
У rf (г). |
|
g (г) |
|
|
|
|
|
||||
|
принадлежит |
$'(/). |
Согласно последнему аб |
||||||
зацу предыдущего пункта уравнение ( |
1 |
) принимает вид |
|||||||
где |
|
|
|
M 0N 0u + ^ |
= |
0, |
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
M 0N 0u |
= |
|
|
|
(г, z). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применяя §о к (2), формально переставляя І£>0 с d2/dz2 и полагая U (р, z) = § 0[u (г, z)J, мы превращаем (2) в
— Р2^ (Р, z) + -Jjâ U (р, z) = 0.
Отсюда
U (р, z) = А (p)e_pZ + В (р) ё~рг.
В силу граничного условия (Ъ) мы можем положить
В(р) = 0. Далее, из граничного условия (а) следует, что
А(р) = § 0 [g (г)], так что по теореме 5.6.3 мы можем написать
А (Р) = <ё (я)> У я р / 0(хр)>. |
(3) |
Теоремы 5.6.1 и 5.6.2 утверждают, что при любом фикси
рованном z 0 |
А |
(p)e~pZ — гладкая функция р из |
|
Ь 1 |
(0, оо). Поэтому мы можем применить обычное обрат |
||
ное преобразование |
Ганкеля и получить формальное |
'196
р е ш е н и е в в и д е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и |
(г>z) = |
$ |
(g іх), V х ? Jo |
e~pz V |
|
Ф Л (ф) dp, |
(4) |
|||||||||
|
|
|
0(ф)> |
|
|
|||||||||||
v {r,z ) |
= |
О |
|
|
< г < о о , |
0 |
< |
|
z |
< о о . |
|
|||||
r~'!* u ( r ,z ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
J x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e~pZ |
e~pZ |
|
/То0, что (4) есть именно то решение, которое мы ищем, мож |
||||||||||||||||
но доказатьZ z <следующимС °°, |
образом. |
Прежде всего, функции |
||||||||||||||
(гр) и |
|
|
(гр) |
ограничены на 0 < г р |
< о о , |
и |
и теоремы |
|||||||||
при |
|
|
|
|
|
0 < р |
|
<С |
Эти |
факты |
|
|||||
5.6.1 и 5.6.2 |
позволяют |
переставить дифференцирование |
в (2) с интегрированием в (4), так как на каждом этапе по
лучающийся |
интеграл |
сходится |
равномерно 0на каждом |
|||||||||
компактном |
подмножестве |
области {(У, |
z): |
< г < ; о о , |
||||||||
О < z |
< о о } . |
Поскольку |
функция |
e~pZY |
гр |
|
||||||
|
|
2/„и(гр) z)удов |
||||||||||
летворяет дифференциальному уравнению ( ) при любом |
||||||||||||
фиксированном р, то мы можем заключить, что |
(г, так |
|||||||||||
же удовлетворяет (2). |
Следовательно, |
v (г, z |
удовлетво |
|||||||||
|
) |
|||||||||||
ряет ( |
1 |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь мы докажем, что выполняется граничное усло |
||||||||||||
вие (а). По переменной р функция |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
<g |
(х), |
V XP J 0 |
(ф ) |
}e~pz |
|
(5) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гладкая и при любом фиксированном z^> 0 принадлежит Ьх (0, оо) в силу теорем 5.6Л и 5.6.2 (то же самое верно и
для произведения (5) на Y p i этот факт нам понадобится позже). Таким образом, (5) удовлетворяет условиям, при которых обычное преобразование Ганкеля является част ным случаем преобразования Ганкеля обобщенных функций (см. п. 5.5). Согласно (4) преобразование Ганкеля выражения (5) равно и (г, z), так что при любых среЕ^о и Ф = фоф наше определение преобразования Ганкеля обобщенных функций (равенство (4) п. 5.5) приводит к со отношению
|
<u(r, z), Ф (г)>= |
ОО |
|
|
|
|
||
|
5 < ^ ( х ),/ ф '/ 0(ф)> е-ргФ (р )ф . |
|||||||
Интеграл |
в правой |
О |
|
|
равномерно |
на 0 ^ |
||
части сходится |
||||||||
z |
< о о , |
поскольку подынтегральная функция |
ограни |
|||||
чена |
выражением |
|
0 |
|
0 |
|
||
|
\<g(x), |
]Л гр / |
|
(ф)> Ф'(р) I е А ( , об).' |
||||
|
|
|
|
|
|
|
197
Поэтому мы можем переставить переход к |
пределу z — |
||||||||||||||||||
—> -! |
0 |
и иптегрнровапие, |
|
получив при этом соотношение |
|||||||||||||||
|
2Гпп- + 0 |
(и (г, z), ср (г)) = |
I |
|
<g (.Г), ]Л ф /о (жр)> ф (р) dp. |
|
|||||||||||||
Б силу |
формулы |
(4) |
о |
5.5 |
правая |
часть |
равна |
<g (г), |
|||||||||||
п. |
|
||||||||||||||||||
Ф (/•)>. Таким образом, мы показалиЖ, что |
и |
(г, |
z) |
g |
(г) при |
||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
z - v + O |
в |
смысле |
сходимости в |
0- |
Другими словами, |
||||||||||||||
v(r, |
z) —»- / (г) в обобщенном смысле (т. |
е. |
в пространстве |
||||||||||||||||
|
упомянутом в конце/ 0предыдущего пункта). |
|
1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ъ |
|
|
Проверим выполнение граничного условия ( ). Пусть |
|||||||||||||||||||
число |
В |
ограничивает |
|
|
(гр) на О < Ф |
|
<Со°- |
При z )> |
|
||||||||||
из (г(4), |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
I у г) I |
II |
» (г, г) |
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р dp < |
|
|
|||
В |
|
|
|
/ 0 |
|
е-ре-р (^ 1) / |
|
|
|||||||||||
|
|
< |
|
5 I <g (а:), іЛср |
|
|
(тр)> I |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< 5 5 I <g (я), У хр J 0(хр)> I е-Р / р dp + |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
+ |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
|
|
|
Ве-ь^-и 5 I <g (X), )Лгр /0 (хр)> I е-р / р dp. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
s |
тем, что при |
z — |
1 |
произведение |
||||||||||
Воспользуемся теперь |
|
|
|
||||||||||||||||
(5) на ]/р принадлежит |
Ь х |
(0,6 |
оо). По любому заданному |
||||||||||||||||
е |
0 |
найдем настолько |
маленькое |
б )> |
О, |
что |
первое |
||||||||||||
|
слагаемое в |
правой части |
Z( ), не зависящее от z, будет |
|||||
меньше е/2. Фиксируем это б. Далееv, |
(существует такое Z, |
||||||
для которогог |
при всех z |
|
второе слагаемое меньше е/2. |
||||
Отсюда0 |
вытекает, что при |
z |
оо |
г, |
z) |
0 равномер |
|
но на |
< |
оо. |
|
|
|
|
|
Выполнение граничного условья (с) вытекает из сле дующей леммы Римана — Лебега для преобразования Ган-
6
келя (Ватсон [1], стр. 502): если |
h |
(р) Е |
(0, оо) и [і > |
)> —Ѵгі то ПРИ г -»- оо |
|
о |
|
^ h (р) У р (rp) dp = |
|
||
о |
|
|
|
Чтобы прийти к требуемому заключению нам нужно про сто взять (5) в качестве h (р) и положить р = 0.
198-
Ңакопец, выполнение граничного условия (d) следует непосредственно нз замечания в скобках, сделанного пос ле формулы (5), и из ограниченности функции / 0(ф) на
О < ф |
< |
|
оо |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
З а д а ч а |
|
|
|
|
5.8.1. |
|
Провести |
подробное |
доказательство того, |
|||||||||||||||||
что |
(4) |
удовлетворяет дифференциальному |
|
уравнению |
(2) |
при |
|||||||||||||||||||||
0 < г < о о и 0 < г < о о , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
З а д а ч а |
|
|
5.8.2. Решить задачу Дирихле для дифференциаль |
|||||||||||||||||||||||
ного уравнения |
|
вида |
(1) |
в области {(г, |
z): 0 < |
|
г < |
|
0 < |
z < 1} |
|||||||||||||||||
со |
следующими |
|
граничными условиями: |
|
|
|
|
к / (г) ЕЕ $'(/). |
|||||||||||||||||||
|
(a) |
Если z —> + |
0, |
|
то |
У гѵ (г, z) сходится в &£а |
|||||||||||||||||||||
|
|
оо, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
(b) |
Если z —>1—0, то У |
гѵ (г, z) сходится в |
|
к g (г) ЕЕ <£' (I). |
||||||||||||||||||||||
|
(c) |
Если |
г —> оо, |
то |
и (г, |
z) стремится к |
|
нулю |
поточечно |
на |
|||||||||||||||||
0 < |
z < |
1. |
Если г —> + |
|
0, |
то |
V (г, z) остается конечной во всех точках |
||||||||||||||||||||
(d) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
интервала 0 < |
|
|
z < |
1. |
|
|
|
|
|
Ѳ, z) — функция цилиндрических |
|||||||||||||||||
|
З а д а ч а |
|
|
|
|
5.8.3. Пусть ѵ (г, |
|||||||||||||||||||||
координат (г, Ѳ, г) в области |
|
< Ѳ < |
|
|
|
|
< z < оо}. |
|
|
||||||||||||||||||
Найти |
|
{(г, |
0, z): |
0 |
< |
г |
< |
оо, |
0 |
2л, |
0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
решение |
|
|
уравнения |
Лапласа |
|
Э2и |
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
дѵ |
|
_ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
д2ѵ |
|
|
|
|
д"-ѵ |
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
dr |
|
r |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
при следующих |
|
граничных условиях: |
|
ЭІ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
ЗѲ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(a) При z —* + |
|
0 и для любого фиксированного Ѳ У гѵ {г, Ѳ, z) схо |
|||||||||||||||||||||||||
дится в &£п как |
|
|
функция |
г к / (г) cos пѲ, |
где |
|
п — фиксированное |
||||||||||||||||||||
положительное целое число и / (г) ЕЕ <?' (/). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
(b) Если z —* |
|
|
то V (г, |
0, z) |
сходится |
равномерно к нулю |
на |
||||||||||||||||||||
Ѳ), |
0 < г < |
|
|
оо, |
0 < |
|
Ѳ < |
2я,}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(іd) Если г —► |
|
оо, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
{(г, (c) |
Если г —• |
|
|
оо,то V (г, Ѳ, z) сходится к нулю при любом выборе |
|||||||||||||||||||||||
координат Ѳ и z. |
|
|
|
|
|
|
|
0, z) сходится к нулю при любом вы |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 0, то у (г, |
||||||||||||||||||
боре координат 0 и г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Указание. |
|
Показать |
сначала, что |
замена |
|
ѵ (г, 0, z) = |
г~" X |
|||||||||||||||||||
X и (г, z) cos яѲ приводит дифференциальное уравнение к виду, в ко |
|||||||||||||||||||||||||||
тором к нему удобно применить преобразование Ганкеля порядка л. |
|||||||||||||||||||||||||||
Для |
граничного условия (d) |
использовать тот факт, |
что | J n (гр)| < |
||||||||||||||||||||||||
< К |
(гр)п при некоторой постоянной К и 0 < |
гр ■ < оо. |
|
|
|
5.9.Задача Коши для цилиндрических волн
В качестве другого примера применения преобразования Ганкеля обобщенных функций мы решим задачу Коши для цилиндрических волн. Пусть ѵ = v, (г) — обобщен ная функция в цилиндрической системе координат (г, Ѳ, 2), не зависящая от переменных Ѳ и z, но зависящая па раметрически от t. Кроме того, предположим, что она
199