Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

д2ѵ

дѵ

д2ѵ

удовлетворяет волновому

уравнению

9rä +.

r _і

~ ~ д Р

при

0

< г <

о о ,

I F

__

считаемt

скорость

—

оо

<

f

< Мыо о .

волны равной 1.

Дифференцирование по г является обоб­

ut (г) =

У г vt

— параметри­

щенным, тогда как дифференцирование по

и =

(г) и сформулируем

ческим. Сделаем замену

и,

(/•);

тогда

задачу

Коши

для

волновое

уравнение

M 0N 0u

приобретает

вид

=

0

<

г <

оо,

— оо < f <

оо,

(1)

где

M 0N 0u

=

r-v.

Начальные

0

g

Ж0,Ѣ

tусловия имеют следующийЖвид:

h (г)

(b)

если

t

dut

r)/dt

в

Ж й

(a)

->- 0, то и, (г)

сходится

в

к

(г) £Е

GE

ЕЕ

Ж'0.

если

1

0,

то

(

сходится

к

Ж0-

Решение,

которое мы найдем,

будет удовлетворять

U t

равенства в

уравнению ( ) в смысле0

0

Чтобы формально получить возможное0 2решение, по­

ложим

(р)

=

ф

[ы, (г)],

применим ф

к

дифференци­

альному уравнению (1)

и,

переставив ф

с 3 /3ü2, получим

Отсюда

- P ^ ( P ) = - S ^ ( P ) -

Ut ( р ) ] =

А

( р )

в*«

+

В ( р )

е - К

( 2 )

А

В t.

А

В

G

где (р) и

=

не

(р) — неизвестныеtобобщенные функции,

зависящие от

Для нахождения\h

(р) и

(р)

мы исполь­

зуем

начальные

условия

при

0.

Положим

(р) =

=

Фо

(Г)І и Я

(р) =

фо

W L

Из

начального условия

(а)

следует

Я о ( р )

уравнениеА

( р )

+

Я(р)

-

G ( Py

( 3 )

d/dt,

=

0

если формально

переставить ф

и

Начальное условие (Ь),

jf U , ( р ) |,= о

ірА ( р ) ірВ ( р )

Я

( р ) .

(4 )

приводит■

к уравнению

А

В

=

—

2

=

(р),

(р) и под­

Решая уравнения (3) и (4) относительно

1

Ut

G

pt

pt.

ставляя полученные результаты в ( ), -получаем

(5)

(р) =

(р) cos

+

Я

(р) р

sin

Щ ( г ) -

© Ö[1U i ( р ) ] .

решение

Убедимся в том, что

(6) — действительно

уравнения (1).

Сначала мы покажем,

что при любом фик­

сированном значении і функция

U t

(р) принадлежит

Ж 0

на

О

< р

<С°°-

Поскольку

g (г)

и

h (г)

— элементы

Ж 0,

то

G ( р )

и

U ( р )

— также элементы

Ж 0-

ТакимÖ

образом, нам

нужно просто показать,

что при любом фиксированном

і

функции cos

р t

и

р - 1

sin

р

і

принадлежат

—

пространству

мультипликаторов( py

в

Ж\з.

(см. п. 5.3). Но в ряд Маклорѳна

для cos

D входят только четные степени

р

і ,

так что функ­

ция

p i

cos

ограничена

на

при любом

р - 1

p i

0 < р

ѵ

и

< С 1

і.

неотрицательном

целом

любом фиксированном

С другой стороны,

вычисления показывают, что

1

=

О

(p-v)

(p- Z)p)v cos pi

при

p ->• oo.

Поэтому

функция

-1 D py

cos pi

ограни­

(p

чена

на

0

<Cp <C oo,

и,

следовательно,

cos pi — элемент

О .

Аналогичные

аргументы-1приводят к тому же самому

заключению

относительно р

sin pi.

6

В

соответствии

с

этими результатами

( ) — обобщен­

ная

Жфункция0

в

Ж 0

на

0

</• «<оо, параметрически зави­

сящая от і. Мы будем рассматривать ее как функционал

на

,

определенный

равенством

<Щ (г), Ф ( г ) >

= (G ( р )

c o s p i +

Я

( р ) р -1 s i n p i , Ф ( і ) > ,

где

фut— произвольный

элемент из Ж 0 и Ф =

$ 0Ф-

Теперь мы приступим к доказательству того, что функ­

ция

(р), заданная равенством (7),

удовлетворяет урав­

нению

(1 )

в смысле равенства в

Ж 0.

Пусть

ф ( г )

— любой

элемент

Ж 0

и

Ф (р) =

ф

0[ ф

(г)].

В

силу

равенства

8

(

)

п .

5

. 5

<■ M 0N 0ut ( г ) ,

ф

( г ) >

=

<

— р 2 Я

,

( р ) ,

Ф

( р ) > .

С другой стороны, из определения дифференцирования по

параметру

В ,

=

d/dt

(,см( .

п.

2.7)

=мы получаем

=Df < u

< Я ? и ,( г ) , ф ( r ) >

г ) , ф ( г ) >

=

(U t ( р ) , Ф

(р)> =

D] <G ( р ) , Ф ( р )

D] f\H

( р ) ,

Ф

(cos рі> +

.

(9

Предположим

теперь,

+

р )

что

справедлива

Л е м м а

5 . 9

. 1 . При

F

( р )

е=

Жц,

Ф

( р )

€Е

Жу.

w

п,

,

равном

1

2

выполняются равенства

В]1(F или(

( р )

— <F

( р ) ,

Ф

( рВ) ?

c o s р і >

( 1 0 )

р ) , Ф

c o s р і >

и

= < ^ F ( р ) , Ф ( рD) ?

D ? ( F ( р ) ,

Ф ( р )

. ( И )

В соответствии с этой леммой правую часть (9) можно

(Gпереписать в

-виде

ty + у н ( р ) ,

Ф

( р )

(

-

р 2) ^

>

>

=

( р ) , Ф ( р ) (

р 2) c o s р

=

<

- рги 1( р ) , Ф ( р ) > .

Сравнивая полученный результат

с

8

мы видим,

что

( ),

1

и, (г) действительно удовлетворяет уравнению ( ) в ука­

занном

выше смысле.

лемму 5.9.1.

Нам10осталось доказать1

только

фор­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Мы

установим

мулу (

) для / г =

, доказательство остальных утвержде­

ний существенно

иное. Так

как

F ( р )

— элемент

Ж^,

то

функция

(pi +

р

А

і )

— c o s pi] — D t

c o s

pij , kt=f=0,

Ф ( р )

[ c o s

рицательном целом числе ѵ выражение

pi] —

D t

pi (12)

(1 +

р 2)- 1

(p- 1.Dp)'’

[ c o s

pi -f-

р

Аі) —

c o s

c o s

сходится равномерно к нулю на 0

< р

<С°°

при Аі -ѵ 0.

-гг

[При любом фиксированном і

pi =

c o s

(pi -Н

р

А

A t

pi] — D t

c o s

і ) — c o s

T

=

4

r

05dx \0D* c o s

+

pT])dr{ =

A t

T

=

— IF

S dT S 008 (p/ —

0

0

Поэтому

при

V =

0

выражение (12)

ограничено

величи­

ной

р2

At

2

2I At |

^

dx

cos (pi -[- pp)

dt\

I<

(1 +

р») I At I

0

P

оо

( + P 2)

стремящейся

равномерно к нулю

на

<

1

при

0

р <

Ді

0. С другой стороны, при ѵ

мы можем повторно

дифференцировать под знаком интеграла и написать

~lD py‘

[cos (pi +

рДі) — cos pi] —

D t

cos pij =

(р

A t

-c

= —

At dx

T

1

)v_1

cos (pi +

pT|)

+

J

j I2v (P- ^p

0

0

Вычисления показывают0

,

+

P2(p~lD py cos (pi + pp)] dx\.

что —для1

любого< 1

неотрица­

тельного

целого

числа

к

функция

1

pp)

<

(p- Z)p)k cos (pi +

ограничена12

при

< р

оо

и

< р

некоторой

постоянной

B h.

Поэтому

при

0 <

I т I

^

I

Ді I

1

вы­

ражение

(

)

ограничено величиной

+ р55ѵ) At

z (1 +

pS)

0

которая также стремится к нулю равномерно на

< р

<;

<

оо

при

At

->■

0.

Этим

закапчивается

доказательство

формулы (

10

для

п = 1

.

)

ut (г)

ТеперьЖмыо

проверим, что наше решение

удовлет­

воряет начальному условию (а), т. е. покажем, что при лю­

бом

ер ЕЕ

и і|

— 0,

ф

<g

ф

(/•)>•

( 1

Если,

как

и

< “

W

( г ) ) - »

- ( г ) ,

раньше, положить Ф (р) =

£)0 [ф (/•)],

то

левая часть (13) в силу формулы (7) принимает вид

(14)

<G (р), Ф (р) cos рі> +

</// (р), Ф (р)

і

■

В следующем

абзаце

мы покажем,

что

при

0

функ

ция

Ф”1(р) cos pi

сходится

в

Ж 0

к Ф (р);

аналогично

Ф (р) р

sin pi сходится

в

Ж 0

к нулю. Соотношение (13)

вытекает непосредственно из этих результатов и того фак­

та, что

G

(р)

е

Ж'о

и

Н

(р)

е

X

-