Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

cos

pi

1

(15)

1 + Р

1 +

Р

1

pt

->

0

(16)

(p- Dp)'' cos

,

0

<

р <

где в обоих случаях сходимость равномерна на

оо.

Результат

(16)

следует из

равенства

z,

z —

pt,

1

г2и

(z~1D v)

(р- і) р)ѵ cos pi =

-cos

и из того факта, что функция

(z

1 D )v

cos z

ограничена

на — оо < ;z <

о о .

С другой

Rстороны, для доказатель­

ства формулы (15) заметим сначала, что по любому за­

данному е

0 найдется

такое

< С °°,

для которого при

всех

р

R

и

— оо < (

< ptс о

2

К <

8.

1

0

<

1 — cos

^

Зафиксировав

1 +

р

+

В ,

мы

можем

при

указанным

образом

О < р <1

В

и I

t

I

< .л / В

написать

О ^

1

7"+°рР< ^

1 — cos

Bt

—> 0,

t

—»■ 0.

t

Т

Поэтому существует такое

Т

0,

что для всех

|

|

<

0

<

1'-^

р—

<

е >

0

<

р

<

о

с .

(p- 1Dp)v р-1 sin р£ = i2v+1 (z~xD zy z_1 sin z,

0

1

,

2

pt,

и из того, что

функция

1 2 -1

V =

,

, ..., z =

на

(z- Z) )vz

sin

z

ограничена

— oo<^z<^oo.

Этим завершаются

наши

рассуждения,

показывающие,

что

ut

(г)

удовлетворяет

начальному

условию (а).

b

Справедливость начального условия (

) прямо вытекает

теперь из уже

установленных результатов.

ограничена в области {(р, т|): 0 <

р < оо,

— 1 <

Ц <

1).

и (11)

З а д а ч а

5.9.2. Доказать

формулу

(10)

для

п = 2

для п = 1,2.

5.9.3. Показать, что обобщенная функция

щ (г),

З а д а ч а

определенная

формулой (7), удовлетворяет

граничному

усло­

вию (6).

5.9.4. Сформулировать условия, которые

иужно

З а д а ч а

(г) =

1 +

V X

р р

(— MoNo)p ^ C ^

C°apPt У rP J o(rP) dp +

ных

значениях

р,

исключая

р =

—

1

, —

2

;

—3, . . .

На протяжении этого пункта

х

обозначает действитель­

ную переменную, соответствующую

(основным или обоб­

щенным) функциям ф, /,

и

и

g,

в то время как

у

обозначает

независимую переменную, соответствующую их преобра­

зованиям Ганкеля ф,

F ,

U

и

G.

—1/2

Сначала мы определим два преобразования в прост­

ранстве J/’n основных функций; при р

они будут

совпадать с

обычпым

преобразованием

Напомним,

что

это

преобразование

определяется

формулой

( £ W ) (У) =

\

К х) V ХУ J |J- (ху) dx.

(1 )

Пусть р — любое

О

действительное число

фиксированное

и

к

— любое

положительное

целое

число,

для

которого

р +

к

!> —

1/2.

Мы определим

преобразование

па

любой функции ф £Е

Ж'у.

формулой ■

Ф ( х ) Ж ^ к [ф (г / ) ] =

( —

. . . Л ^ п / У ,л Ф (1 / ).

Аналогично,

определяется

на

любой

(2)

функции

,ф Е=

Жц.

формулой

( —

. . .

W j 2 k _ і $ | х +*а :к ф ( z ) .

Ф‘(у) Ж

[(фх)}

1 )k Л ' Д Л ^

,

задано

(3)

В (2) и (3) ' преобразование

формулой (1),

йде р заменено2

на р +

/с.

определенное

иЛк ё м м а " '5.10.1.

Преобразование

формулой

и удовлетворяющее указанным

условиям на

р

является сівтоморфизмом на

при любом действи­

тельном

значении

Обратным к нему служит преобра­

( )

заданное

равенством

Преобразование

зование

р.

совпадает с преобразованием

определенным фор­

мулой

если

и

действует в Ж ѵ..

(1),:

р

— Ѵ2'

(3).

. .

. N [X+i : N [x

'Жу.Д о к а з а т е л

ь 'с т в ’о.

Первое утверждение следует

из того,

что 'Ф >4-

Ф — изоморфизм

на

Ж ^ k

,

Ф I-* tv+/i

Ф — автоморфизм

на

Ж

ц+/, и

cp I-»-, afk Ф — изоморфизм &£ц.+к'№

(см. леммы. 5.3.2,.

5.3.3

и теорему 5.4.1).

;

Следов атёльно, второе

По

условию р Ч"

к

)> —

1/2.

на

ffliL+h

преобразование

обратно

самому"к

себе. _

Чтобы доказать третье’ утверждение/предположим,

что

Ф (у) €=

р >

—Ѵз“ / • и

рассмотрим

Случай.1 I .

,

=.

.

.1:

: і Л

Ф|х,іФ = —

іО С

J)•;

'

оо '

• ’

. O l

Д Іс

^

•. i i ’

.

;,

‘ ’

I- ’

I

*

Л

x

yVW

Руу-ѵ-'ЬФ (у)] Y

ху

1 (ХУ) dy •

=

—

о •

л

•

euoP.

■

/р+

"15

I

оточтье '"»■

(ху)

г

DyyV+'Jv+i (ху)

х у ^ 1

Интегрирование

по частям и формула

(4)

дают

.О !

=?

со

/ц

■

.

•

;

— аг

1 У х у

І\х,л (ху)

Ф

(у)

|"=0°° +■ ■.

Ь

(У) Ѵ * У

JA W ) dlJ-

•

5 ;ф

В

силу леммы 5.2.1

(у)

внеинтегральный член равен нулю;

У ху Jyx (ху)

у

а функция

действительно, функция Ф

быстро^убывает,

у

(у) =

О (уА*іг)

У х у

J.\^i (xU)

мя

остается ограниченной при

оо,

в то вре­

Окак при

— + 0 - Ф

и

.. .

=р

=

(/•+•/.),

где р ^

Таким образом, ^ .

г .

. н т и г .

©(X, 1ф =

—.

■ Ч О Н К р 0 "

.

Т Т П П .

‘

■ - ■

Лфф =

у ф (у) У ху

Jy, (ху) dy.

• і)

°

. -Л. -о

к

Общее утверждение для больших значений

следует по

0

результата. Лемма доказана.

индукции из полученного

—} !

=

=

Следствием последней леммы является равенство

< ^ р, справедливое,

если положительные‘целые числа

/сир имеют значения, не меньшие —р

2. Действитель­

но, предполагая, что /с)>ре,=

Ж \ х

по­

мы получаем Согласно

следнему утверждению леммы 5.10.1

равенство

.

> ЦТ

=

§|Х + Р , И

П О ЭТО М У

Д Л Я Ф

ЛИ '.'

p

ijl p

Ж ^

©]х, ісф =

(— 1)ра:

© + ,к-р^р+р-і • • • А^Ф =

$іх,рФ-. ^

\ х ,

:

,

,

.

:

чь:-. .

Лемма 5.10.1

Жвлечет также совпадение §|Дк- с,

па

фц

если

р >

—1/2-

В

самом

деле,

поскольку

и

совпадают на

=:.§*•

то они должны иметь одно и то же обрат^

ное

преобразование;

поэтому"

•КР0$?,

того,

©^*я

ие

зависит от выбора

к,

если только

р +

+ /с >

—Vs

и

©J^k действует

в

Ж^-

Это следует из того,

что

в

силу

предыдущего

абзаца

©^я- =

©р,,,,

если

к

и

р

не

меньше — р — Ѵ2;

следовательно,

операторы,

обратные

указанным,

должны к

совпадать.

В

связи с этими замечаниями имеет смысл рассматри­

вать

отображение

©ц.

где

—

любое положительное

число,

не меньшее

— р — 1/2,

как обобщение на все дей­

Ганкеля

©^ (р ;> —1/2). В качестве обратного отображе­

ния

р

берется обобщение на все действительные зна­

чения

обычного

обратного

преобразования

Ганкеля

©Д (р >

—1/2). Как

и в предыдущих пунктах,

прямое и

обратное

преобразования совпадают

(т. е.

©р.^ = ©|Г,\-)>

если

р >> —Ѵ2; однако это не верно

при

р

—Ѵ2.

Впрочем, мы имеем возможность выбирать, какое из

отображений, ©рік или ©jl|fci

мы назовем прямым, а ка­

Ганкеля

произвольного

действительного

порядка р

в пространстве

Ж^-

Как

и

раньше,

к

обозначает

любое

положительное целое число,

не меньшее —р — Ѵ 2. Пре­

образованиеЖуГанкеля.

©р обобщенных

функций

опреде­

ляется на

как сопряженное к ©p)fc

на

Ж\х-

Другими

словами,

преобразование

Ганкеля ©р. любой обобщенной

функции / ge

Ж)?,

задается как функционал

на

Жу.

фор­

мулой

<©р./, Ф) =

</, ©цдФ>,

6

( )

кает

5.10.1.

Преобразование Ганкеля

©р

об­

Т е о р е м а

общенных

функций

является автоморфизмом

на Жу.

действительном

значении

р.

при

любом

6

также

Равенство (

) определяет

оператор, обратный

к ©|х, как

сопряженный к

©рД-; в

частности,

полагая

F

=

Sh.f

и

ер =

©а я-

Ф) мы

получаем

СР\'©і£к Ф> =

<(©^)_І F , ф>-

(?)