Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 198

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

(а именно,

с1 равенством (4)

п. 5.5), поскольку в этом слу­

чае

совпадает с

преобразованием

заданным

формулой

( ).

не

будем опускать

значок штрих

В этом пункте мы

в обозначении §р. преобразования Ганкеля обобщенных функций. Раньше это можно было делать, так как при

р > —Ѵ 2 выражение фц/ отождествляется с (1) при не­ которых подходящих ограничениях на / (например, / €Е Жф)- Но теперь, при р < —х/2, такое отождествление невозможно.

Формула преобразования операции

 

& ( В Д д / ) =

- y % f ,

 

 

8

 

 

 

 

 

—(х )

которая

была ранее установлена

лишь

для

р >

/2

при­

(см. теорему 5.5.2), остается справедливой, если р

нимает любые действительные значения,

а равенство по­

нимается

в смысле

Ж у,-

Как следствие,

получаем,

что

наше расширенное

преобразование

Ганкеля

^ также

порождает операционное исчисление, на основе которого

можно решать8

некоторые дифференциальные уравнения,

включающие обобщенныеПустъфункции.любоеДля доказательствафиксированное

действительноеформулы ( ) намчислопонадобится, а к полоэюителъпое целое число,

Л е м м а 5.10.2.

Тогда

дляр —любого

 

ЕЕ Жу.

не меньшее

—р — Ѵ 2.

 

—

Jfo*

 

Ф

(9)

 

 

Ф =

( ~ у Щ .

 

M vN ^ , k

 

 

 

 

Доказательство этой леммы довольно скучно и не вклю­ чает ничего, кроме интегрирования по частям и дифферен­ цирования под знаком интеграла. Детали мы предостав­ ляем читателю в виде задачи 5.10.2.

Т е о р е м а 5.10.2. Формула (8) справедлива в смысле

равенства в Ж р. при произвольном действительном зна­ чении р.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Ф е= Ж р. и к удов­ летворяет условию, сформулированному в лемме 5.10.2.

Тогда в силу определения

и обобщенных

операторов

M^Np.

и умножения на

у,

а также в силу леммы 5.10.2

мы

 

 

можем

написать

 

Фи,* Ф > = </.

Ф) =

< £ > Ж л у ,

Ф> = < Л М У ,

=

</.

2

 

2

Ф>.

(— /аФ)> = <©р/> —У Ф > = <—

что

и требовалось.

 

 

 

"209

Операционное исчисление, порожденное формулой (8), применимо к дифференциальным уравнениям вида

 

 

g —

 

Р ( І В Д Л

 

U =

g,

 

 

(10)

где

данный элемент

Ж ^, и

— неизвестная функция, от

которой

мы требуем, чтобы

 

она

принадлежала

Ж ѵ,

а

Р

(s) — полином, не имеющий корней на неположитель­

ной действительной полуоси —

со

<(

z

^

0. Однако, в от­

личие от ситуации, рассмотренной в п. 5.7,

р теперь можно

придавать10

любые действительные значения. Действуя

точно так же, как в п. 5.7, находим решение уравнения

( ) в виде

“ =

 

 

 

 

 

 

 

(И)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или, подробнее: если к — положительное целое число, не меньшее —р — 1/2, ф Е Ж». и Ф = ф^ср, то и яв­

ляется элементом Ж іл, ставящим в соответствие каждой функции ер €Е Жи. числом

ч > > = < ( & ) -

 

 

ч> > =.

< G ( # ) ,

=

Заметим, что если р — отрицательное целое число, то

каждый элемент

g 6

Е

Жу.

согласно

свойству

II п. 5.2

является также элементом

Ж

В силу того,

что

МДѴ,.

=

D * ~

 

=

М -

рЛГ-р,

 

 

 

 

 

 

 

мы можем применить ф_]л к (10), чтобы получить решение

вЖ-у.. Использование §|л ведет к более сильному ре­ зультату. Это происходит потому,' что Ж\х содержит Ж-у.

вкачестве неплотного собственного подпространства,

ипоэтому равенство в Ж \л сильнее, чем равенство в Ж -іл. Таким образом, решение уравнения (10) в Ж\х сильнее, чем решение в Ж~\л- Другими словами, если и удовлетворяет (10) в смысле равенства в Ж\х, то оно удовлетворяет ему

ив Ж~\л, но обратное не всегда верно (см. по этому поводу

последнее утверждение свойства II п. 5.2).

Вслучае, когда р — отрицательное, но не целое число,

вЖ\х существуют элементы, не принадлежащие Ж~\л-

210

Например, функционал g, определенный на Жу. (р <( О) формулой

 

 

<8, Ф> =

ЗHmС - Ч - 0

x~1Dx-v~'f*cp{x),

 

(12)4

очевидно, принадлежит

Жр

 

в силу леммы 5.2.1. Однако

g

не является элементом

 

Ж-у.,

если

— 1

 

ц <С

0

 

 

 

 

 

 

 

; действи­

тельно, выражение

12

 

 

 

 

существует,

 

если функция

( ) не

 

 

Ф (х) ЕЕ Ж -у.

равна

У

х/.у.

(х)

на

0

х

1, что вполне до­

пустимо. Таким образом, если ц < 0

и ц ^

 

—1, —2, . . .,

то )р-р не порождает

операционного исчисления для урав­

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

g

Жр.

 

 

 

совпадает

бомненияположительном( ) при произвольномцелом числе к преобразованиееЕ

 

З а д а ч а

5.10.1.

Показать, что при любом р <

— 1/2 и лю­

сиа основных функциях Ф (у) g Жу., удовлетворяющих усло­

вию Ф (у) =

0

в некотором интервале 0 < і/ <

е.

 

З а д а ч а

5.10.2. Доказать лемму 5.10.2.

Указание.

Диффе­

ренцируя под знаком интеграла н нсиользуя

равенства

(6) н (7)

и. 5.1, преобразуем левую часть уравнения (9) в

 

ОО

 

 

 

 

( - 1)к 2к $ /

и '+а [(у -*/!/ у-*-'Ьф (у)]

(ху) dy +

 

оI- ( -

 

оо

 

 

l)t+1 $ У ^ Ш K u -4 \ )U у - Ѵ °-Ф Q/)l * - * +1% + н (*!/) dy.

интегрируя первое слагаемое по частям п намечая, что внепнтегральные члены равны нулю, получаем

 

со

 

 

< Ѵ Ѵ * Ѵ . Ьф =

( - l)k+1 S y*i+fc+1 [2А (y -W /^y -V -'/’Cb (у) +

 

 

О +

У2 (y ~ lD v f У ' 11- ’ 2Ф( у ) J * ’ / И с /

^ кdy(..т у )

Далее прямые

вычисления

показывают, что jgy (— у2Ф)

также

равно последнему выражению. Докажите законность всех шагов

вэтом рассуждении.

За д а ч а 5.10.3. Вывести следующие формулы преобразова­ ния операций, где р — произвольное действительное число, к —

положительное целое число, не меньшее — р — 1/2, Ф Е Е ЗѴу. и

/ 6 Ж Р+1-

іѴр^р, /,-ф = 4>р+і, к ( - ?/ф ).

и+1, к (і^рф) =

кф і

£ р (M v.f) = ?Д>р+]/.

^рфр+і/ = і?р И ).

211

5.11. Преобразование Ганкеля некоторых обобщенных функций произвольного роста

Преобразование Ганкеля, рассматривавшееся до сих пор,

определялось на обобщенных функциях / (х) из

Ж^.,

ко­

х

 

торые не могут возрастать слишком быстроX

хпри

 

-^оо.

X(Действительно, они являются распределениями медлен­

ного роста па любом интервале вида

 

оо,

где

)> 0; см. задачу 5.2.3.) В этом пункте мы хотим обра­ тить внимание иа тот факт, что преобразование Ганкеля может быть распространено на некоторые обобщенные функции, на рост которых при х —' оо не наложено ника­ ких ограничений. Мы только коснемся теории такого обобщения; относительно подробностей читателю пред­ лагается обратиться к работам Земаияна [5] и 17]. Наш метод аналогичен методам, использованным Эренпрайсом

[1]

и ГельфандомЪ

и Шиловым [1], т. I, для обобщения

преобразованияЪ

Фурье иа все распределения.

 

 

 

Пусть

[А и

— фиксированные действительные числа,

причем

0.

Определим 53р, ь

как

линейное

прост­

ранство гладких

 

комплекснозначиых

функций ф

(х)

на

0 <[

X

<[

оо,С <такпхе о

, что ф (а-)

= 0

на

Ъ х

оо

и

 

 

 

 

Тк

(ф) =

0 Сsup I

(x~lD)l!

аг^'чр

(х)

I <

оо,

/г = 0 , 1 , 2 , . . .

 

 

 

 

 

 

 

Введем в 53р.,, топологию, порожденную счетной мульти -

нормой {y£}£L0Можно показать,

что 53р, ь полно. Если

Ь < ^ с ,

53р., ь С

53р, с

и топология,

 

индуцированная

.,ьто

 

на 53р пространством 53р,с, совпадает с топологией 53р,ь.

Выберем

далее

последовательность

 

действительных

положительных чисел {öfl}n=i’

 

монотонно стремящуюся

к бесконечности, и определим

 

53

 

строгое

счетное

 

СО

р. как

объединение пространств:

53р =

7

(J1 = 1

53р ьп

. Пространство 53р

не зависит

от выбора последовательности

Про­

странство 53р, сопряженное к 53р, является пространством обобщенных функций, на которое и будет распространено

преобразование

 

Ганкеляb .

 

НамЬнужно еще одно пространство основных функций

^р.,ь. Здесь снова р, и — фиксированные действительные

числа,

30. Пусть у и со — действительные переменные;

положим

)

=

у

-f- ІО).

в том и только в том

Функция

Ф

 

принадлежит

случае, когда трі)"-,/г Ф (ц) является четной целой функцией

Смотрите также файлы