Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

6

ОбычноеЛ . ВведениеК-преобразование

определяется следующим обра­

t, о

(.1

зом. Пусть

— любое фиксированное комплексное число,

s

и со — действительные переменные из J#1; положим

=

а + iw.

Как обычно,

К у

(z) будет обозначать моди­

Если / (<) — соответствующим(.1

образом выбранная

обыч­

ная функцияs,

=определенная па 0

t

<] оо, то ее

К -

пре­

образованием порядка С Оназывается функция комплексной

переменной

<у

+

гео,

заданная равенством

Можно показать, что

О

F

(s)

аналитична в полу­

функция

плоскости {s:

R e s ^ > & >

0

}, причем

абсцисса

b

зависит

от функции / (г). Известно, далее, что

Ку. {st)

— К _у {st)\

1

поэтому мы не потеряем общности в формуле ( ), если

будем считать, что р удовлетворяет условию 0

Re р

эо.

и каждого

tдействительного<С. 0 0 1

положительного

числа

а мы

строим 0пространство

основных функций ер (<), глад­

ких на

которое замкнуто по отношению к диф­

ференциальному

оператору

(определенному ниже фор­

мулой (3))

бесселевского

типа,

причем

функции

ф (

t)

стремятся к нулю при

t

—>

оо не медленнее,

чем

е ~ а Ч ' ! г~ ^ .

Можно показать,

что

ядро

У st

/щ

isi)

принадлежит

при Re s

а.

Сопряженное пространство

СК^. а

состоит

из тех обобщенных функций,

к которым мы можем приме­

нить /{'-преобразование порядка

р.

Преобразование

F (s)

обобщенной функции

/ £Е

Ж\і,а

задается

формулой

F

(s)

=

{/ (г),

У st

/{(л (sf)>,

R e s > a .

нян [9].

еще

одно преобразование,

преобразова­

ниемСуществует

/-

аналогичное

//-преобразованию;

его обычно называют

и определяют

равенством

(2)

F

(s)

=

</ (<), / st У {st) >,

ференциальный оператор второго порядка:

SpAt-v^l'Dtw+Wl-v-*/.,

=

(3)

S y .,

/Ф ( t ) =

a 2i;t ot 2кЦ> +

a 2 k ,it ~k+1D (p

ß2fc, г л ^ 2|сф»

где

Oajt,,j

— постоянные,

зависящие

от p.

°2fc, 2k =

( 4 )

Аналогичные

выкладки

показывают,

что

Поэтому

= S-yіФ.

(0

=

£ 2Ф +

ф-

(5)

Следуя нашей обычной практике, мы при рассмотрении0

многозначных функций, аналитических всюду в z-пло-

скости,

за исключением точек ветвления z =

и z =

оо,

ограничимся

их

главными ветвями,

потребовав, чтобы

—я

arg z

я, если явно не указаны другие условияЛ 1..

Как обычно, Г (z) обозначает гамма-функцию. На протя­

жении всей главы/снова обозначает интервал ( 0 , оо) в

6.2. Некоторые классические результаты

Пусть

z — комплексная

переменная и

рly— фиксирован­

ное комплексное число. Как и раньше,

(z) обозначает

модифицированную функцию Бесселя

первого

рода

по­

рядка

[і , а

К у

(z) — модифицированную

функцию

Бес­

селя третьего рода и порядка р.

Эти функции аналитич­

ны в z-плоскости,

исключая возможно,

точки

ветвленияl

b z K=y (

0z )h z =

oo. При принятом условии выбора главных

ветвей,

для которых —я

arg z

я,

обе функции

y

(z)

и

принимают действительные значения, если р

действительно, а z действительно и положительно.

Эти

функции

обладают следующими

разложениями

Для произвольного

р

Z№+H-

7

h {Z)

=

“

'

, {1)

ièo А І ^ Ц А + І + р )

__

it

Г ^

__________z2!i ^________

2 sin prt

L ~ 0

А! 22К~^ Г (к + 1 -— |Х)

где

С =

ег,

а у

— постоянная

Эйлера (у = 0,5772...).

Асимптотическое поведение этих функций при z -> оо,

справедливое0 і

для любых значений ц, описывается следую­

щими формулами (Ватсон [1]). При любом фиксированном

е ]>

и

I

I

—*■ оо асимптотические

формулы

V I

К * (*) =

У

\

е-* [1 +

О ( Iz Г1)],

—

~Т~

“I"

8

< аг£

2

< “Т — е>

(4)

h ОО =

- у = - ( е

*

Ѵ %

+ * в - ^ ) [1О (+ I z П ] ,

/ц (z)

=

— -|- +

& < arg z < - ^ - — 8,

(5)

- у = -

(е* -

іе-2-Ѵ*) [1 + 0 ( 1* Г1)],

_

"Г" +

8 < arg Z < - f - - 8.

(6)

Приведем

некоторые

формулы

дифференцирования

(Бейтмен и Эрдейи [1], т. II):

DzV-Ky.

(z)

=

(z),

D P I»

(z) -

(z),

(7)

DzrV-Ky.

(z)

= —г-^-йГц+х (z), O z + ^

(z) =

г+Дц.х(г),

8

( )