Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

яз которых вытекают

формулы

S^ tV siK v, {st)

=

Куst),

(9)

(

(s<) =

& Y st ly. {st).

10

( )

Нам понадобится также следующий неопределенный

интеграл:

st)}

^ t іф. (zt)

(st) dt = z2

s„ [z/^+x (zt) K)x (st)-\-sI\X (z Q K ^ ( 11)

(см. Бейтмен и Эрдейи [1], т.

II,

формулы

7.14.1(9),

7.2.2(12)

и 7.2.2(15)).

обращения

для

6

Одна

из формул

/^-преобразования

только выполнения неравенства Re р >

—1/2, тогда

как

Майер

налагал

условие

|

Re

р | ^

1/2.

стиТ е о р е sм а

b6.2.1.

Пустъ

фиксированное комплек­

функцияр —F

(s) аналитична и удов­

сное число,

Re р ;> —Ѵ2.

Предположим, что в полуплоско­

летворяет

{s: Re

]> 0}

|

(s) |

| s |-Q,

—

Тогда

для

неравенству

F

M

где M

и

q

любого

действительные

постоянные,

причем

q

Re p +

3/2.

с )> Ъ

фиксированного

действителъноео числа

и

при Re s )> с

^ /

Äp.

где

F (s) =

(t) Y

st

(st) dt,

12

( )

о

с+ іо о

(13)

C—[ІОО

F ( z ) Y n I v.(zt)dt.

П ри

этом функция f

(t)

не зависит от выбора с.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Последнее

утверждение

вытекает

непосредственно

из

теоремы

Коши, условий

на

F

(z)

и

того факта,

что

при

любом

фиксированном

0

t

функция

Y H l» ,

(zt)

ограничена в

каждой

полосе

вида

Хі

Re z

х 2,

где 0 <[

хг

<[

х 2

<С °° (см. (5)

и ( )).

6

т

Далее, пусть s фиксировано и 1

Т <( оо; рассмотрим

равенство

О

Т

c-f-ico

=

~

5

y j t

Кр {st)

5

F

(z)

Y T t ly. {zt) dz dt.

(14)

•Пусть

А

0

C— ZOO

{(t, Im z):

0 <( t < T,

обозначает

область

— oo <( Im z< ( oo};

зафиксируем Re z = c )> 0 .

Из разложения в ряд

и

асимптотического

поведения

/(X

{zt)

получаем

тогда,

что

I

Y i t l p {zt)

I <

Cj I

{zt)V+'h

I

I У stК у. {st) У

ztly. {zt) F

(z) | < C , | 2~ч+^+'/= I {t

-f

|'*wi I)

С 2

—

в области Л, где

другая постоянная. Правая часть

абсолютно интегрируема в Л .

Поэтому по теореме Фубини

мы можем

изменить

порядок

интегрирования

в

(14) и,

используя

(

11

),

получить

. ...

С -{-ісо

__ _

:

' О

/ 'Ѵ Ь 'і

$

F { z ) - J ^ r

[ztIv.+1{zt)Kv.{ st) +

1’

/ •

’»

{

С— Іс о

+ stly. {zt) А,х+1 (si)]lz0T dz.

(15)

Разложения

(

1

2

), ( ),

(3) и тождество

^)я

.го

показывают,

Г (1 +

!і) Г .(— ѵ) =

sin ( і +

что

выражение

(15)

равно

C-f-^oo

za i . sa

tZ Y z T

I\4-l {zT) У sT К Ц {st) +

in

c— üzoo

(16)

+

s У zT 7|j. {zT) У sT A|x+1{sT) — s’/HV/s+^] dz.

I Y W

Ky.(sT) I

Ne~ncsl,

I У Т Г

Ä w

( ^ | < J V r S " r ,

I

V

_

I

/

_

(zT)

|</VecT.

(17)

W ly.(zT )\<^N e^,

zT

Поэтому

I

z у ZT

1 ^

(zT) V jT

K y (sT)

+ _

2

s V zT

Iy (zT) V

K y n (sT)

+

sT

| < /V

(I

| +

I

s

I). ‘

В силу

предположений

F z(z)

наших

относительно

инте­

грал (16) сходится равномерно на 1

Т

оо

для любого

фиксированного

s

при

Re s

с

0,

так что

мы можем

перейти

к

пределу

при

Т

—<•

оо

под

знаком

интеграла.

Поскольку Re s )> с =

Re z, неравенстваc-j-

(17) показывают,

что

V st

К у (st) dt =

s'lr*

гоо

F (г) г‘',+^

dz.

(18)

о

ІЯ

с—stoo

2

^ / (<)

(18),

5- — Z

Чтобы определить правую часть

вычислим интеграл

*

F (z) z1/l+(X

dz,

(19)

s3 — z3

проходимымiY , Y

вiYположительном, Y iY с

направленииiY , Y

прямоуголь­

ником. Углы этого прямоугольникаs.

расположены в точках

с —

—

+

и

+

где

— действитель­

ное число, большееiY ,ReY

ПоiYтеореме), (Yо вычетахiY , YвыражениеiY)

(19)

равно

—insV"'l'F (s).

Кроме того, интеграл по трем

(с —

сторонамF

—

—

+

и

(Y

+

iY , c

+

iY)

стремится к нулюF при У

-> <х> в силу

свойств

(z). Объединяя полученные результаты, мы на­

ходим, что правая часть (18) равна

(s

Доказательство

).

закончено.

З а д а ч а

6.2.1. Пусть / (х)

— непрерывная

функция

на

О <

X < оо,

имеющая непрерывную первую производную и ком­

пактный носитель на 0 х

оо.

Определим ее /-преобразование

порядка |і формулой

Используя связь между /(А (xs) н

(Xs), вывести формулу обраще­

ния для этого преобразования.

<комплекснымС t <С

числом,

удовлетворяющим неравенству

Re р > 0.

Пусть

h

(

— непрерывная функция на 0

оо,

заданная

формулой

Определим функционалы р £ к, к = 0,

1, 2, . . ., на глад­

ких функциях ф (г)

равенствами

R e p > 0

р£д(ф )Д

0sup

I еаЧѴ-'/=S$.q> (t) |,

<i<co

Если мы положим функцию уф (2) равной

при Re р

нормой {ра,к}Т=о-

0 является особым, поскольку

Отметим, что случай р =

полунорма р2,

к

имеет вид,

отличный от р£

к

(Re р ]> 0).