Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

Re

При

любом

фиксированном

s,

таком, что s

=j=

0 и

s а

мы имеем

Y

si

(si)

£= <^Ѵ, а- Действительно,

из аналитичности

Y z

Ä’ii (z)

при

z Ф

0

вытекает гладкость

функции

Y st К у

(st)

на

20 <(

t

<[

оо6.

2Кроме того,

из фор­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

{срѵ}^=і — последо­

вательностьО t

Коши в

о,

и хпусть

Q

обозначает произ­

вольное

-компактное1

подмножество

интервала

I

=

{£:

в /, а Й

оо}. Пусть

также

— фиксированная

точка

обозначает

оператор

интегрирования:

I

^ . . . dx.

Тогда для любой гладкой на I

функции £ (/)

Оператор

D - ' D t

(t) =

£(*)

— £ (т).

задается

выражением

S y . cp, (t) =

t - v - 'h D t iv - ^ D t - v - 'l- - фѵ(г);

(1)

и

(2)

=

фѵ (t) —

( - ^ )'І+Ѵгфѵ (г) + и (t)

D -. т-іх- ,/г(рѵ(t), ((3)

где

I

(2p)-1 t'kr It-VxW — №],

R e p > 00,

^^

l'!tx[\nxI

— lnij,

P = .

ра, о-

Так как

U

(О

Ф

0, то из формулы (3)

мы получаем

равномернуюDсходимость последовательности

D xx-v~'k

срѵ (г)

Dприt

V

оо.

Формула (2)

показывает теперь,

что последо­

вательность

t

а поэтому и последовательность

D 2фѵ ((0і)і

сходятся

равномерно

на

каждом

компактном

множестве. Далее, из равенства (5) п. 6.1

следует, что

фѵ

также равномерно сходится на каждом компакт­

ном

множестве

Q.

рассуждения,

заменив

фѵ

на

££фу,

а

Повторим

эти

1

что при любом не­

5[лфѵ — на <5^,+ фѵ. Мыкполучим тогда,

отрицательном целом

последовательностьI, состоящая из

функций

D kq>v (t),

равномерно

сходится на

всех £2. Су­

ществует,

следовательно, такая гладкая на

функция ф (t),

для которой при любых

к

и

t D*

фѵ (it)

-»■

D

t

при v -* оо.

Kф ( )

ЖуМожно-.а’

дать

другую

формулировку

предположенияк

о том,

что

{фѵ}

является последовательностью

Коши

в

для

любого0

неотрицательного

целого числа

и

произвольного е

найдется такое действительное число

N k,

что при всех ѵ,

ц >

N k

будет

p£fc (фѵ — фч) <

е.

Поэтому,

перейдя к

пределу

при ц -» оо,

мы получаем

для

всех

V

N k. Ра,ft (фѵ — ф) <

8

при

-ѵ ->

с»

0

для

Другими

словами,

Pa,ft (фѵ — ф) ->

всех

к.

С к,

{фѵ}

Из

сходимостик.

последовательности

вытекает

существование Стакой

постоянной

не зависящей от ѵ,

ЧТО

pa,ft (фѵ) <

Поэтому в силу формулы (4)

pa.ft (ф) <

Ра,ft (фѵ) +

pa,ft (ф — фѵ) <

С к

+ 8.УСхі. а

Таким

образом,

ф

принадлежит

пространству

и

является

пределом

в

последовательности

{фѵ}.

Доказательство

закончено.

I ,

что

—

Полученные

результаты

показывают,

пространство основных функций на

поскольку выпол­

нены все

три условия

п.

2.4.

странства

обобщенных

функций.

Ниже мы перечислим некоторые свойства пространств

I. Очевидно,

(Г)

является

подпространством

25(I)

а сходимость

в 25

влечет сходимость в

УС^а-

Следова­

тельно, сужение любой обобщенной функции

/ (=

на

25

(Г)

принадлежит

25' (/).

в

Кроме того,

сущест­

При этом 25 (I)

не плотно

вуют два различныха Ь,(Г)элементаСКу.>ь

пространства^ v .a ,

СКх^а,

суже­

ния

которых

на

25

то

совпадают

(см.

задачу

6.3.1).

II .

Если

<

£№\>.,а-d

причем

топология

пространства

сильнее

топологии,

индуцированной

на

ЛГ|х,ь пространством

а,Это

свойство

вытекает из

леммы

1.6.3

и

неравенств

р

к

(ф) ^

рі>д- (ф)>

^V.i»

к =

0,

1,

2, . . .

Поэтому

сужение

любого

элемента

/ GE

а

на

принадлежит

не плотно в

Можно

Однако пространство

показать,

кроме того,

что

существуют два

различных

элемента

пространства

Жхх<а,

сужения которых

на

Жу.,ь

6.3.2).

совпадают (см. задачу

и

а

8

Ж\х,а

I I I .

При

любом

выборе

р

пространство

являетсяЖу.,а

плотным

8подпространством(і).

(/).

В самом деле,

25 (/) CZ % а

а

% С О .

35 00

плотно

в

8 {I),

поэтому

в

и

плотно

Кроме

того,

при

доказательстве

8леммы(Г).

6.3.1 мы установили, что из сходимости8' Г)

любой

последовательности в ^\і,а вытекает ее сходимость в

Поэтому

в

силу

следствия

1.8.2а

(

является

а

Ж у ,

а

при всех

допустимых значениях

подпространством

и

р.

рассматриваемом

нами

сейчас

случае теоре­

IV . В

/ ЕЕ Жу^0

ма 1.8.1 формулируется следующим образом: для любого

г

С

элемента

найдутся неотрицательное целое чи­

сло

|</.Ф>1!<С max ра,;с (ер)

такие, что

и положительная постоянная

при

всех

ф Е:

0</і<г

могутSy

зависеть от /,

Здесь

С и г

по не от ф.

Ж у ^ а

Ж у , а ',

V .

Дифференциальный оператор

задает непрерыв­

ное линейное отображение

в

непрерывность

вытекает

Ра,к (5цф) =

Ра, к+ 1 (ф),

из формулы

ф Е ®1

<ß'yf, ф> =

</, -ѴР>-

(5)

Поскольку S_y = Sy (см.

равенство (5) п.

6.1), то

вается

как

обобщенный

оператор

(т.

е.

сопряженный

к

обычному).

а

t

а

V I.

Пусть

— произвольноеt) e~allдействительноеfy

число,

/ (Z) — такая локально

интегрируемая

на 0 <

< Е оо

функция,

что

выражение

/ (

(<)

абсолютно

инте­

грируемо

на

0 <

t

< оо

(функция

fy

t

определена в

( )

о *

(6)

</, Ф> = $ / (О ф (<) dt, ф е Жу а.

о

8 Л. Г. Земанян

225

а </.Ф >І<Ра,0 (Ф)$

-а7/(О

dtj cp ЕЕ Ж I

(7)

Если

/|х W

условиям

Р,а-

О или

0 и

р.

удовлетворяет

р =

О <[ Re р <

1,

то

Жуіа

можно отождествить

с

подпро­

менты

Ж [х)0, отличаются друг

от друга.

Поэтому если

а Д> 0,

то при р = 0 или 0 <

Re р <( 1

пространство

З а д а ч а 6.3.1. (а) Показать, что пространство 3)

(/) не плот­

но в Ж у а. У кааание. Пусть Re р >

0 и X (t) — гладкая

функция на

О < t < оо, заданная формулой

0 < «I < 1 ,

м о =

О,

2 <[ <Е оо.