Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

(b) Показать, что существуют

два различных элемента про­

странства Ж у а,

сужения которых

на 3) (/) совпадают. Указание:

см.

пример 3.2.1.

Показать, что Ж у ь не плотно в

З а д а ч а

6.3.2. Пусть а < Ъ.

Ж у

и что существуют два различных элемента Ж у а, сужения

которых на Ж у ь совпадают. Указание:

для доказательства первой

части построить элемент

Ж у а,

тождественно равный функции

е-а<г-р+Ѵі на ИНТервале 2 <

t <

оо.

З а д а ч а 6.3.3. Пусть 0 <

Re ц <

1.

Определим функциона­

лы gh на Ж у а формулами

<*к, Ф> ^ lim Г ^ К у (t) D

(t) +

V t K ^ (t) J*<p («)■},

k = 0,

1 , 2 , . . . ,

tpe<5fjj,ia .

Ж у а.

Здесь а может принимать

любые действительные значения.

Указание. Пусть X (г) — гладкая

функция

на

0 <

t <С оо, причем

X (t) =

1 при

0 <

г < 1, и X (t) =

0 при

2 <

г <

со. Выполнить

два интегрирования по частям в выражении

ОО

5 Ѵ Г ^ ( 0 М 9 ^ +1Ф (*)Л,

8 > 0 ,

е

и использовать тот факт, что

=

5 _^ .

З а д а ч а

6.3.4. Пусть а — произвольное действительное чис­

ло. Определим функционалы hk на Ж 0 а формулами

<hk, ф> й. lim

{іКа (t) D [ г ’/ ^ ф (t)] +

t't'-Ki (і) sjfф (t)}.

t-H-o

Показать, что hk существуют и принадлежат Ж оа.

З а д а ч а

6.3.5. Пусть 0 <

Re р <

1. Доказать, что обоб­

от соответствующего обычного оператора.

Указание. Сначала заме­

тим, что в обычном смысле Sy Y < Ку (0

=

Y~i Ky(t) (см. равенство

(9) п. 6.2). Пуеть, с другой стороны, Y

t Ку (0 обозначает регуляр­

Показать, что /

действительно принадлежит Ж у а.

З а д а ч а

6.3.6. Пусть

а > 0 и, кроме того,

= 0

0 < Re ц < 1.

Показать, что

топологии,

топология Ж у а сильнее и

и л и

6.4.

JT -преобразование

преобра­

Мы будем называть обобщенную функцию /

зуемой обобщенной функцией

, если она является элементом

пространства

при некотором действительном значе­

нии

а.

Тогда

согласно свойству

II п.6.3

/ принадлежит

^ ( х ,а и для всех—

значений

Ъ^> а.

Отсюда вытекаета

суще­

ствование такого действительного числа о/ (допускается

значение

— оо), что

/ ЕЕ

при

всех

а/ и

/ é?É

% і,а при

всех

а < (

О/.

а,

Поскольку

V s t

Кц (st)

е ^ ц ,а при

любом

фиксиро­

ванном s, если только s

0 и Re s

то мы можем опре­

делить

К-преобразование порядка

р

обобщенной

функции

/ равенством

( V )

(s) =

</ (0, Ѵ й К *

(St) >, 5 е

П/,

(1)

F (s) =

При

а / <1 0 область Q/ представляет собой разрезан­

ную

полуплоскость,

полученную

выбрасыванием

всех

действительных неположительных

значений

s.

Определе­

ние

(1)

имеет смысл

как

результат применения /

(t)

ЕЕ

ЕЕ •'й’н.а

к функции

ss.i

К а

(st)

ЕЕ а•'Яці.а, где

а

может быть

любым действительнымобластьючислом,определенияудовлетворяющим нера­

венству О/ <[ а <! Re

Число

называется

абсциссой

сходимости, a Q / —

^-преобразо­

зывать

К-преобразованием порядка

р

обобщенной функции

/ также и операцию

F .

=

при s ЕЕ Q.{,

F

(s)

Как обычно, если мы пишем

то подразумеваем при

этом, что / является

^-преобра­

комплексному

числу с

положительной

действительной

частью,

и что

F (s)

задается формулой (1),

а ß , — форму­

П р и м е р

6.4.1. В качестве простого примера Ä -преобразова-

лойния обобщенной(2).

функции рассмотрим преобразование обобщенной

функции

б (t — т), где

к — неотрицательное целое число, а

[% ?£ , ,6 (і - -с)] (s) = <S*' ,ö (I -

т),

Ѵ ^ і К у (s<)> =

•= <6 (t -

т),

, / s i K y (*t)> = s2'1 V « tfp (rt),

s

—0 я,

<

a r g s < я .

щенных функций

содержит как частный случай обычное

t

такая локаль­

i f -преобразование. Например, если / ( ) —

t

e~al/jp t)

но интегрируемая функция, что выражение / ( )

(

абсолютно

интегрируемо

на

0 < ^ £ < ^ о о ,

то,

согласно

свойству V I

п. 6.3, / порождает в пространстве

Жу, а

регу­

лярный

элемент,

i f -преобразование

(1)

которого

имеет

вид

F

(s) =

оо

(t) Y

st Ку- (sl-) dt,

He

s

>

a.

^ /

то Т е о р е м а

0

Если

F

(s

при

s

6E П/,

6.4.1.

) = %і/

для любого

положительного целого числа к

Я?4 /

=

« А /

=

s-kF

(s),

s E fl/ .

6.3

и ра­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В

силу

свойства

V п.

венства (9) п. 6.2

st)y

=

(s),

S E= Q/-

RpSyf =

</ (t),

Sp V st i f p. (

Поскольку

=

</ ( O l

s2fc У st ifp (s0> =

Sp = 5_p,

то

доказательство закончено.

о,

0 < f <

7',

t|A+’/*,

7'<г<оо.

формулу (7) п. 6.2, что

Показать, используя/(о =

(sr)-

Re s > °-

для (Жр/) (і).

(V ) w =

Затем, применяя теорему 6.4.1 при к = 1 , найти другое выражение

З а д а ч а

6.4.3. Показать, что

VT t к Чі =

V m ' e - S>,

1+ (‘ — л)

°С1

^ st К\>- W — У ™ к ѵ-

(sa)

Ä p p /

t _ а

= )

TZZl

+

а

+ S V siK ^ st)

f

a+1

где P f

обозначает, как обычно, псевдофункцшо (см. Зсманян [1],

пп. 1.4 и 2.5).

З а д а ч а

6.4.6.

Пусть

/ е

(/).

Показать,

что для всех

s, не равных действительному неположительному числу,

(а)

I V 1/w) w =- •щг і(Ѵія м - (W)

(*)

ISI^D/ Ч (i)] («) =

- -j- KÄp-x/) (*) +

(Яр+1/) («)],

(c)

[Яр

(i)j (*) =

- *

(Яр_х/) (*),

(d)

[

Я

р

(/)] (*) =

- *

(Яр+1/) (*).

Л е м м а 6.5.1.

Пусть

а

и Ь —

и p ,H = R e p > 0 ,

Ъ,

действительные числа,

причем а

<[

Ъ. Тогда при

Re

£ )>

? ^ 0 , —я < arg

0 <

г < о о

(1)

I«“'

1 < Л р (1 + I £ І’И