Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

Д о к а з а тКе л ь с т в о .

Прежде

всего напомним,

что функция

Ф (л(z) аналитична всюду, исключая точки

z — 0 и z =

оо.

При доказательстве

мы будем предпо­

лагать, что z

0 и —я <

arg z я . В силу разложений

(2) и (3) и.

6.2.

К *

(z) I <

В5,х,

| z | < l ,

I z^

при некоторой постоянной

ц.

G другой стороны, из асим­

№ (Z) I = I zH-V* 11

/ г

/*+ (z) J < C(iI z I

e-Re *, | z | > 1.

Следовательно, при

всех допустимых значениях z

I zM<+ (z)

I <

Ep

( 1 + 1 z I^R)

e~ReZ,

I еа' (СО1* Яц (СО I

<

^< Е(1 +

I

^

Г й) e'a-Re^ '

<

Поскольку

>

р (

1

+

I С Г Л)

(1 +

^ R)e(“- Re« '.

Ъ

а, функция (1

+

<liR) e(“-Re£)‘

ограничена

на 0

t

оо равномерно по всем Re

£ >

Ъ.

Лемма до­

казана.

Пустъ а и

фиксированные дейст­

Л е м м а

6.5.2.

е —

вительные числа,

причем

е

0.

Еслп |£

| >

е, Re £ >

а,

— я <

arg

z

я ,

0 <

f < о о ,

то

(2)

ealK0 (£t)

где А 0 не зависит от

и t, а функция< -'+i h

t

определена в на­

£

М О

( )

чале п.

6.2.

у

асим­

Д о

Кк

0а з а т е л ь с т в о .

Разложение (3) п. 6.2,

птотическая при z —

оо формула (4) п.

6.2

и аналитич—

ность

(z)

приводят

к неравенству

Ko(z)

< C e - RM z + 0,

я <

arg z <

я,

(3)

М М )

где

С

определения

h t)

— постоянная.

Кроме

того, из

(

вытекает,

что

(4)

МІСІО

< В ,

|С|>8,

М О

«“'*>(50

eatK 0£t)

Ä (1Е 10

<

С В = А 0,

k(t)

A(ISI0

h(t)

чтоТогдаи Fтребовалось(s) функциядоказать, аналитическая.

в

и

Т е о р е м а

6.5.1.

Пустъ

F

(s)

=

® yf при sEz Clf.

Qy

—

< /

(t),

D s V Jt K y (st)

>,

(5)

D s F(s) =

s E ß , .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

s — произвольная,

но фиксированная

точка области

СІ/.

Выберем действи­

тельные положительные

числа

а,

Ь,

г

и

гх

так,

что

а/ <С

а

Ь

s

—

Re

s

— г <[ Re

s.

С= Re

s

Обозначим через

круг с центром в

и с радиусом, рав­

ным гг.

Наложим на (и тем самым на

b

и

г)

дополнитель­

ные ограничения, потребовав, чтобы круг

С

Aлежал цели­

ком в

Cif

(т. е.

чтобы он не пересекался с действительной

неположительной

осью).

Пусть,

наконец,

s

— ненуле­

вое комплексное приращение, такое, что

j A s |

г-

рас­

смотрим выражение

D s /FF К у (st)) =

</ (t), фд, (f)>,( 6 )

где

-

</ (О,

показывают, что

D SY s t К у (st) принадлежит Щ х ,а) по­

этому равенства

(5)

и (6) имеют смысл.

и

ПосколькуS y , і Y s t

K y

(st)

s2H K y (st),

S y , , D s / F F

K y

(st) =

Dys* / F F K y (st),

=

x ( c - > _ Д .

£ = г ) — ( £ - 0 * ] ^ “

As

^ V Z t K ^ t )

2rei

J

(C — *)* (C — *— A*)

Ö £-

I

°

и пусть

Q^.

— посто­

Далееt , предположим, что Re p )> О,

K\i

янная,

ограничивающая

функцию

eal

(££) при

О <С

<(

оо и при всех

^

Е С

(см.

лемму 6.5.1). Тогда мы

можем написать

I As I Qp

^fc+V.-H'

d Z <

I

К

j| (£-*)* ( C - * - A * )

■

s —>

<

ГХAs I Qu

•2Л+‘/і-і*

О,

A

0.

(rx — r)

sup I с,'

Ф g

Л е м м а

6.6.1.

Пустъ

% /

=

F (s)

при s e= ß/,

2 ) ( / )

u

oo

R e s > 0 .

®(s) =

§

cp (i) T^st 7tx (si) di,

Тогда

для

любогоо

фиксированного

действительного

числа

г

из

интервала

0

г <[ оо

Г

§ Ф (s) </ (т), У st Ку. (st)> dco =Г

а

=

<\/ (т)> 5

ф (s)

^

sx K v-

так’ , чтоW

фиксировано(st)

где

s =

+

іи

и число

— Г

ст =

Re s

а

^> max (0,

бу) (как обычно, б/ обозначает абсциссу

сходимости ДЛЯ

t% і/ ) .

Наше

утверждение

оче­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

видно,

если

cp

( ) =

а,0.

Предположим

поэтому,

что

Ф (г) ^ 0.Ot)Мы<^асначала< ^ а ,

покажем, что

для

любого

дейст­

вительного

числа

удовлетворяющего неравенству

max (0,

выражение

(2)

Ѵ ( х ) =

§

Ф (s) У sx Ку. (st) dco

мы можем внести оператор 5 ^

под знак

интеграла

в (2)

и написать

Г

st

da

I

ea\ ^

s l V

(т) 1=

(st)

| <

I 5 Ф (s) s^'+VHV- ( )I1

—Г

Г

< В § I Ф (s) &*'/*■¥■ I dco <

oo,

(3)

—Г

еах

K\i

где

— постоянная,

ограничивающая

(st)іг

В

іг(st)^

на

при

0

t <( oo

и при значениях s, лежащих

от­

резке

прямой,

соединяющем

точки а —

и а +

J

(т,

т)

=

р

S

ф [а + ^ ) Ѵ а Х + 1 і ! г Х

= —т ѵ

'

другую сумму

Римана, которая сходится к левой части

равенства (1) при

т —*■

оо в силу непрерывности подынте­

на

гральной

функции

—г

со ^

г.

если

т Поскольку

/

J іл,о)

то

лемма

будет доказана,

мы установим,

что

(т,

т)

сходится

в

Жу.,а

к (2)

при

оо. Мы снова проделаем это лишь для случая Re р

)> 0 и предоставим читателю

самому

внести изменения,

необходимые в случае р = 0.

Положим

Н (т, 7п)==

t ^ ’S ^ [V (т) — J (т, /тг)] =

= еах Г

(s)

^'+V-

( )^ К и. (

) ds —

^ Ф

s

j h st

st

—Г

7 П = 0

— еат “«/*•т*p =S—m ф (s) sU+i/l~* (SXT к ѵ-(ST) Is=

ipr ■

(4)

oh', - m ■

ватдаЛ+./г-ц^)^ (st),

(5)

равномерноs

стремится к

нулю

на

—г

со

г

при

т

ооТ ,в силу асимптотической

формулы

(4) и условия

а

=

Re

)>

а.

Следовательно, по любому е )> 0 найдется

такое

что при т ) > Г и

—г ^ с о ^ г

функция (5) огра­

ничена выражением

т> Т

0