Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

тп

Следовательно,

существует

такое число

т0,

что

при

тп0

правая часть

ограничена величиной 2е/3.

Итак,

мы показали, что при

m

т0

и т Д>

Т

выполняется не­

равенство

I

Н

(т,

тп)

I < е.

Т .

о

Рассмотрим, далее,

полуинтервал

0 <

т

Если

фиксированоТуказанным выше образом, то ( )1*

(st) —

равномерно непрерывная

функция

st

(т,

со)

переменной

при 0 <[ т

и

—г

со ^

г.

Действительно,

функция

К]х

(z)

аналитична

при

Re

z )> 0.

Кроме

того,

из

разло­

жения

в

ряд

вытекает,

что

(sx^Ky.

( )

стремится

при

т -V

+

0

st

к 2ід~1Г (р), где Re р Д> 0, причем равномерно на

—г

со

г.

Поэтому

наше

утверждение

следует

из

известной

теоремы

о

том,

что

функция,

непрерывная

на в этой области.

Полученный результат в совокупности

с формулой (4) показывает, что существует такое число

тп,

для которого при всех

тп

Д>

m^ \Н

(т,

тп)

\

е также и

на 0

т

Т .

Итак,если

тп

Д>шах

(ma,m^j

, то |

Н (хрп) \

< '

< е при 0 <[ т

оо.

Этим

завершается

доказательство

леммы 6.6.1.

Предположим,

что

и что

Л е м м а

6.6.2.

ср ЕЕ 2> (/)

либо

р = 0

либо

Re р

0.

Для произвольного действитель­

ного

а

значение

о

s

так,

что

числа

>

0

зафиксируем

=

Re

а )> а.

=

о +

іа

и

М г (т) =

Положим s

- ^ - ^

У

s t

ЙГц (s t ) О

cp(i) Y s t Д а (st) dt da.

(6)

Тогда М Т (т)

сходится в Х ѵ.<а к

ср (т)

при г

- у

оо.

—Г

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Ввиду

гладкости подынте­

гральной функции в выражении

(6) и того, что ср se 25 (/),

грала и, использовав равенство (9)CO

и (10) п. 6.2, написать

Sy-, -M t

(t ) =

r

Y s t K y .

(s t ) (

cp

(t) Y st Ip (st) dt da

■ГiSji, T

0

=

^

Ysx

(st) ^ cp (t) s2k Y st (st) dt did =s

—r

ö

Г

со

=

- i-

J / 5 t

^ (st) J Ф (0 sjü,, / s f Tp{st) dt da. (7)

—Г

0

j

/ st

(ST) U / s i

(si)

I ф (<) dt da.

—r

0

интегрирования и, используя

Теперь мы меняем порядокСО

равенство (11) п. 6.2, окончательно получаем формулу

где

Si, М т(т) = $ L T{t, X) Si, tф(£) dt,

(8)

О

=

in

(t»- та) Ѵ У 8*

И

/ st

KV-

(ST) +

L r

Чтобы

упростить

+ T /s£ Ip {st) /

ST Kp+1(st)]

.

обозначения,

мы в дальнейшем

будем

писать ф* (і)

вместо

Sp,t

Ф (£).

Предположим

теперь,

что носитель ф (£) содержится

в замкнутом

интервале

[А , В ],

где

0 <1И < .6 <[ оо.

Возьмем некоторое действительное числот —5 б, т0-f-S<( боо< [ И ,

и разобьем интеграл (8) на сумму интегралов:

Sp, Мт{х)

=

Ѵг

(т) +

Ѵ2

(т) +

Ѵ3

(т) = 5 + т

$ + $ >

і

Ѵ2

Ѵ3

где

и

обозначают

0

—5 х-|-Б

Ѵ ,

t

соответственно

интегралы

по

интервалам 0 <( і <( т — б,

т — б <( і <( т + б

и

т +

б <

<( оо. Сначала мы покажем,

что функция

N r

(т) = еаЧѴ (т)

[Ѵ2

(т) — фл (т)]

г-*-

оо.

равномерно сходится к нулю на 0 < т

оо при

АЕсли

т +

б < ;

А

или т — б >

В ,

то

Ѵ2

(т) =г 0 и фй (т) =

= 0.

Поэтому

достаточно рассмотреть

лишь интервал

— б <( т <( Z? + б-

Кроме того,

мы можем ограничить

область интегрирования

в

(8)

интервалом

А

< т

< ^ В .

Поскольку

s =

о

+

а

іг,

где

а >

0 фиксировано,

о

и

г

->

оо, то I

st

I >

I

±

ir

I

А

оо и I

sx

| > |

+

іг

|

(-<4— б ) -> о о ,

Поэтому

можно

воспользоваться

асимп­

тотическими разложениями

(4), (5) и (6) для оценки

N T

(т)

(действительно,

если s =

а +

гг,

то применима формула

(5) п. 6.2, а если

s

= а —

іг,

то применима формула (6)

всех

значениях

r >

1,

если

б

выбрано

достаточно

ма­

лым,

например,

б =

ба.

Рассмотрим теперь сумму первого и последнего сла­

гаемого5

в (10). После некоторых преобразований эта

сумма запишется в виде

8г

dy — l] ,

^

н

(х, х) sin гх сіх +

е“ЧѴ СО фя- (т)

^

_ Б

-Б г

(11)

где

Н (х ,

т) =

4>к (я + т) еах — фк (Т)

Функция

Я

(х,

eaT;V(f)

(х,

т)

при

х

+

х >

0

т)

непрерывна по

и т > 0

(мы предполагаем,

что

в

точке

х

=

0

она до­

определена по непрерывности). Т ак как supp ф (х) С М

Л

,

то Я (х,

т)

ограничена в области

< В

{(я,

т): -

A I2

< х

< A I 2 ,

АІ2

< т

+

И/2).

Отсюда следует, что абсолютную величину первого

слагаемого

в

(11)

можно

сделать

меньше е/3 при всех

г )>

1,

выбрав

б достаточно малым, скажем,

б = 63.

Да­

лее

в

этом

доказательстве

мы

будем

полагать

б =

= тіп(бі, б2,

б3).

со

Очевидно, второе слагаемое в (11) равномерно сходит­

ся к нулю на 0

< х

< ;

при г —> оо. Таким образом, мы

доказали неравенство

1ішіѴг ( т )^ б .

(12)

Поскольку е >

г-н»

0 — произвольно, то мы можем заключить,

что

N r

(х)

равномерно

сходится

к нулю

на

0 <

х <

оо

при

г —> оо.

Исследуем теперь функцию

т —Б

х) ф* (t) dt.

Р т(х) =

("0 У і (т?) =

е"т/Ѵ СО

S L r {t,

При

X — б ^

А

имеем

Р т

о

нужно

рас­

(х)'= 0.

Поэтому

смотреть

только область

х — б >

А .

Здесь

снова

мы

можем использовать

асимптотическую формулу, так как

И I >

I

±

ir I И - » оо