и |
|
I |
ST I |
|
> |
|
I a ± |
|
I (A |
+ |
6) |
|
OO |
|
|
|
|
|
|
|
|
ir |
|
|
|
|
|
при r —► oo. При этом, как и раньше, мы полупим |
D , . |
е а ^ |
і |
|
( г ) |
|
| min< ^ |
- 8) |
еч ф |
(t) |
sin (rt — rt) dt |
Pr (т) = ------------- [ |
|
УЛ |
(/) |
t _ |
r |
|
min (fВ, г—Б) |
_ a,‘cp.. |
|
(rt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
Фк |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
« |
|
|
|
|
rx |
|
|
|
dt |
|
|
— |
|
|
|
t _^T— cos |
|
|
+ |
— ря) |
-1- |
|
|
|
min (B, т—5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
5 |
[ e^ - x |
|
s i n r( t ~ r t ) + |
|
|
|
|
|
|
e~al<Pk |
(0 |
'(rt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H----- |
j p |
p |
+ |
|
rt — ря) X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— COS |
|
|
|
|
|
|
|
х Ит^) + 0 (т^)+ °(т^ИтУа |
]Л- <13) |
Прежде |
всего |
|
отметим, что, |
поскольку |
|
<С сг, функ |
ция е<а-°)т/(і (т) ограничена при |
т — б > |
А . |
Аналогично |
величина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
е°'ср.. (0 |
|
(rt |
|
|
|
е~0,ф.. ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
- t _ |
T |
sin |
— гт) + |
—Г Р І |
— cos ( |
+ |
г* — |
ЦЯ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rt |
|
|
ограничена в области
Ѳ = {(і, т) : А < т — б, А < £ < min (В, т — б)}.
Поэтому последний член в скобках в формуле (13) (т. е. тот, который содержит символы порядка) равномерно схо дится к нулю при г —* оо, если А < т — б.
В качестве следующего шага проинтегрируем по час тям первое слагаемое в скобках в той же формуле; при »том получим
ealq>k (г) cos (rt — nr) min (В, т-5)
rt — гт +
А
min (В, т—5) лаІ
+ -у- |
^ |
Dt — |
cos (rt — rT) dt. (14) |
Слагаемое, соответствующее нижнему пределу, обра щается в нуль. То же справедливо относительно верхнего
предела, |
если В |
т — б. |
С другой стороны, если |
т — б С |
-S, то |
слагаемое, |
соответствующее верхнему |
пределу, |
ограничено величиной |
(гб)-1 sup |е“'<рк(0|.
A < t < B
Следовательно, это слагаемое сходится к нулю равномерно
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на |
А |
< т — б при |
г |
-> оо. Кроме того, функция |
е (ф,. (/) |
D t |
t _ x |
|
|
|
0 |
гтакже ограничена |
|
в области |
Ѳ, откуда вытекает, |
что и |
второе слагаемое в (14) равномерно сходится к нулю при |
—> оо, если |
А |
< |
т — б. |
использованным при |
интег |
|
Аргументы, |
аналогичные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рированииР гпо частям, могут быть отнесены и ко второму°° ■ |
слагаемому |
в |
(13). Все |
это доказывает, |
что при г —> оо |
функция |
(т) равномерно сходится к нулю на 0 < т <С |
Исследуем, |
наконец, |
выражение |
|
|
|
|
Qr (*) = |
|
|
|
|
|
оо |
L r (t, т) cpfe (f) dt. |
|
eOT/V (Т) V s (т) = еат/,х (т) $ |
|
При |
X |
+ б !> |
В |
имеем |
Qr |
(т) = |
x+ 5 |
Поэтому |
достаточно |
|
|
|
0. |
ограничиться |
|
рассмотрением |
области |
0 < т |
<СВ |
— б. |
|
|
Положим
Qr (т) = Ql, г М + <?2,Г (т) — <?3,Г М — Qi, г (т)>
Qi, г |
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
(т) = |
еат/|і (т) |
|
st Ajx (st) X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X - j^ |
|
|
A |
- ^ W - V 7 a ,x t l (s 0 * |^ o +ir, (15) |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
<?2, Г ( t) = |
|
|
|
max ( |
, x+5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
еат7,х (t) T У |
ST A ,x +1 (ST) x |
|
|
|
* и + ІГ, |
(16) |
|
|
|
|
|
X -ST |
|
|
\ |
|
- ^ _ / І Г / , г ( Я0 |
|
|
|
|
|
|
max (Л, x+5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
ir. |
получаются из |
QljT |
и |
@2, r заменой |
a + |
ir |
@a, r и |
(?J)r |
|
|
на |
a — |
|
|
лемме |
6.5.1 |
при |
|
Re s = ст> |
a > 0, |
|
Согласно |
|
I е °7 ц |
(г) У |
s r /Cx |
|
|
I = I s V .- i V " |
|
K? |
|
| |
< |
|
|
p,R = |
|
Re |
[i. > |
0, |
|
Im |
s = r > |
1 и 0 < т |
< |
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(st) |
|
Яц I s |№ |
(st)»4 |
|
(st) |
|
C(X У 7 , |
(17) |
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
(1 + |
|
IS Г н) < |
где |
и Сц — достаточно большие |
постоянные. Анало |
гично, при тех же ограничениях на |
s, |
а, |
а |
и т, но при |
ц = О, лемма 6.5.2 показывает, чтоі |
( |
s t |
) |
|
|
|
I е“ т/о (*) V sx Ко (ST) |
аХК д |
|
|
< C o V ~ r , |
|
h ( T ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
где С о — также достаточно большая постоянная. Из этих
результатов |
при Re s = |
ог> а |
О, lm s = r > l , p |
= 0 |
или Re | і > |
О и |
(Г0) Ѵж< х |
< о о (sвытекаетI Cp+iVr,неравенство |
(19) |
|
I е°Ѵ Ѵ |
|
т) |
< |
поскольку /ц(т) т = /(i+1 (т) при Rep > 0 и | /0(т)т| < | ]\(т)].
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
Теперь мы покажем, что интеграл в (і5) имеет порядок |
|
(г-1) при г -> оо равномерно на 0 < х |
— б. В силу |
(17) |
и (18) отсюда будет следовать равномерное стремле |
ние функции |
|
Q |
1іГ к нулю на 0 |
< х < оо |
при г —>■ о о . Так |
как |
I |
st |
I > |
I |
а |
+ іг | |
А |
-> о о , |
то мы можем использовать |
|
|
|
асимптотическую формулу (15) п. 6.2. Тогда интеграл в (15) запишется в виде
i/" |
max (JЛ, т+S) |
1 |
У |
1_ |
5. |
АJi |
|
|
2я |
max ( |
В области
{(t, т) : 0 <
tw. (t)
^ ^ - i e - ^ n d t - V |
|
, т+5) |
*2- * 2 (est — ie-o'+^") О |
dL (2°) |
т < |
В — б, шах (А , т + б) <Lt |
• < В ) |
подынтегральная функция во втором слагаемом выра жения (20) ограничена, если Re s фиксировано. Отсюда следует, что это слагаемое имеет порядок О (г-1) равно мерно на 0 < х — б при г —* оо. Мы можем прийти в результате аналогичных рассуждений и интегрирования по частям к тому же заключению относительно порядка
первого слагаемого. Таким образом, |
|
|
(т) |
равномерно |
Qсходится^T |
к нулю на 0 ■ < г < оо при г —> оо. |
|
Q 3,r |
(т) и |
Qr Такие же выкладки в применении к (?2, г (т), |
|
|
|
|
Р г |
и, |
следовательно, |
(т) показывают, что эти величины |
(х) также сходятся к пулю равномерно |
на 0 < |
т < оо |
при г ->■ |
оо. В силу свойств Â r (x), |
|
(х) |
и @г (х) |
лемма |
QlyT
6.6.2 доказана.
Формула обращенияПустъ, и выводуF (s) =которойR y f примы sтеперь |
подготовленыТогда в смысле, |
сходимостидается следующейв пространстветеоремой3)'. |
(Г) |
Т е о р е м а |
6.6.1. |
ЕЕ й/. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (в)Уst Iy(st)ds, |
|
|
(2 1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
о—гг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где о |
|
любое фиксированное действительное положитель |
ное число из Q f. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) (Г). |
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
Ф ЕЕ |
Пока |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
|
|
жем, |
что |
|
|
о-|-гг |
F (s ) У st ^ |
ds<ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ |
|
( * C > |
|
|
|
|
( 2 2 ) |
|
|
|
|
|
о—гг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q f |
</, ф> |
при |
г |
-* |
|
|
|
(t) |
|
|
F |
(s) |
стремится к |
|
|
|
оо. Из аналитичности |
|
что |
в области |
|
|
и компактностиt |
|
носителя ф |
|
|
следует, |
(22) на самом деле представляет собой повторный интег |
рал по переменным |
|
и м , |
причем подынтегральная функ |
ция непрерывна в замкнутой ограниченной области ин |
тегрированияГ |
. ПоэтомуООмы можем изменить порядок ин |
тегрирования в (22) и получить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У sx Ку |
(st))0 |
^ Ф |
(t) У stly (st) dt da, |
s = а |
|
-f- |
ia. |
— Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 - $ </(т), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это выражение в силу леммы 6.6.1 равно |
|
|
|
|
|
|
|
<(f (т), |
|
Г |
|
|
|
|
оо |
|
ф (t) У st ly (st) dt da^>. |
|
(23) |
|
|
^ У sx Ку. (sx) ^ |
|
|
|
|
|
|
—г |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выберем теперь число а таким, что max (0, af) < а < ст, где af — абсцисса сходимости для Ryf. Тогда / принад
Cлежитf C |
пространствуг -* |
УСу,а, |
и согласно |
лемме 6.6.2 основ |
ная |
функция, входящая |
в выражение (23), |
сходится в |
|
к ф (£) при |
оо. Поэтому (23) |
стремится к </, ф>, |
и теорема доказана. |
|
|
|
|
Непосредственным следствиемПустътеоремыF (s)6.6.1 RявляетсяH при |
более слабый вариант теоремы единственности. |
|
С л е д с т в и е |
6.6.1а. |
= |
|
s |
Qf, |
G (s) = Ryg |
при |
s ^ Q g и |
F (s) |
G (s) при |
s GE |
Qj |
Г) |
Тогда f |
— g |
в смысле равенства=в З)'(Г). |
ЕЕ |
|
|
|
|
|
|
Существует еще одна формула обращения для ^-пре образования. Она является обобщением результата, по
лученногочто обобщеннаяБоасомфункция[1], и формулируетсясосредоточена следующимна полуинтероб |
разом. |
Пустъ F |
(s) |
= |
/ |
при |
s £ ß / |
и предположим, |
вале вида |
|
|
|
/ |
|
Тогда |
|
Г < « < о о , Г > 0 . |
|
|
|
|
|
Ht) = lim |
j |
/ |
|
Ä |
(4, ,Р (») | ,,да] (24) |
в смысле сходимости в 3)' (I) (относительно доказательства см. Земанян [9]; условие Rep ^ 1/2, принятое в указан ной работе, в этом доказательстве нигде не используется).
Задача 6.6.1. Доказать лемму 6.6.1 для случая р = 0.
6.7. Описание 1Г-преобразований |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом пункте мы докажем, |
что любое i f -преобразование |
можнонием порядкаописать |
некоторойследующимобобщеннойобразом. |
функции, определен |
|
|
Для |
того чтобы |
функция |
|
F |
s) |
была К-преобразова- |
ным формулой |
|
|
|
|
п. |
|
|
необходимо и достаточно, чтобы |
(1) |
|
6.4, |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
0}, |
|
|
|
|
рой |
F |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(s : Re |
|
|
|
|
в кото |
|
|
|
|
|
|
|
|
полуплоскость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
существовала р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
аналитична и удовлетворяет неравенству |
(1) |
|
|
|
|
|
i) |
— |
|
|
|
|
\F(s) |
\ ^ P b (\s\), |
\s |
|. |
|
|
|
|
где P b (\s |
|
полином относительно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ъ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как мы увидим, |
Р ьможет быть любой действительной |
положительной точкой из области определения i f -преоб |
разования. |
|
Однако |
|
( I |
s |
I) |
в общем случае будет |
зави |
сеть |
от выбора |
Ъ. |
Мы сначала |
|
докажем |
необходимость |
в более общей формулировке, где |
Ъ |
может быть неположи |
Ь |
|
Т е о р е м а |
|
|
6.7.1. |
Пустъ F |
(s) |
|
= |
|
f |
при s |
|
€Е Q/ |
и |
тельнымb любоечисломдействительное. |
|
число, удовлетворяющее условию |
|
— |
|
|
Пусть |
|
А ь обозначает |
|
подмножество |
|
|
опреде |
|
> |
|
Ст/. |
|
|
Q/, |
|
ленное |
формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
А ь = |
|
{s : |
s |
|
ЕЕ £2/, |
|
Re s > |
Ъ, \s |
| ;> |
Ъ |
— |
а,}. |
|
|
|
F |
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
удовлетво |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аналитическая |
в А ь |
|
функция, |
ряющая |
|
неравенству |
(1). |
|
Полином |
P b (|s |
|) |
в общем слу |
чае |
|
|
|
|
( ) — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зависит от выбора Ъ. |
|
|
Теорема |
6.5.1 |
^утверждает, |
что |
ДFо к а з а т е л ь с т в о . |
|
|
(z) — аналитическая функция |
при |
s e |
Q; и, |
сле |
