'теоремы 6.2.1. Следовательно, при R e s > - |
д > b |
s~mF (s) = |
со |
|
^ g (t) У st Кр (st) dt, |
|
где |
о |
|
g(t) = ± |
С —5Ісо |
z-mF ( z ) V 7 t I v. ( z t ) d z ± ^ cz-mF(z). |
Здесь g (t) |
не зависит от выбора с, если с > |
Ь. |
Рассмотрим теперь выражение |
|
g t) |
— 4 — |
С + ІС© |
e-ci (zt)-v- Ip |
zt) dz |
|
2 |
( |
|
lit |
c—ioo |
|
( |
|
|
(J |
-тЦі+ѵ.^ (z) |
|
(где либо Re p > 0, либо р = 0). Из равенства (1) и. 6.2 вытекает, что функция]
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\e~“ |
|
(zt)-»Ip(zt)\ |
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
ограничена2 |
при |
\zt\ |
^ |
|
1, |
0 |
< it |
< о о . |
То |
|
|
|
|
|
|
|
|
же самое |
верно |
|
и |
в области, |
ограниченной |
условиями |
| |
zt |
| > 1, |
Re |
Ар= |
с, |
0 |
< |
|
t |
|
< оо; |
действительно, из формул (5) |
и (6) |
и. 6.2 мы получаем, что при достаточно большой постоян |
ной |
|
|
|
функция (5) |
ограничена выражением |
|
|
|
|
|
|
e-cl |
I |
(zt)~W* |
I |
Арв^ |
|
= |
Ар |
I |
zt \~'xR~'heіиу! —. |
< |
Ape'**'"1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‘ ' |
2 |
|
|
|
|
|
IКроме того, |
|
|
|
|
рн =4= Re p, |
|
px =^= Іш p. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I Z р |
+^ |
+,'Ѵ ^ І п/2р (I z |)/| z |m~<2 ^ |
|
|
|
|
|
|
Z~m+W *F (z) | < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< C | z |
|-ч+^ +,/*, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где С — другая постоянная. Поскольку — q +g |
рн(t)e~clt~^~'^+ 1/з<С |
< — 1, то все это доказывает, что интеграл в (4) |
сходится |
равномерно |
при 0 <17 <С 00 и чт0 |
функция |
|
|
|
|
|
|
непрерывна и ограниченаg (t)ë~dll]pна(t)0 |
|
< о о . |
Таким образом, |
при любом d > |
|
с в обоих случаях (т. е. при Rep |
< 0 |
|
или |
р = |
0) |
функция |
|
|
|
|
|
|
абсолютно |
интегрируема |
на |
0 |
|
< |
t |
< о о . Поэтому |
в |
|
силу свойства |
V I |
п.6.3 |
g (t) |
|
|
|
|
|
порождает регулярный элемент пространства Жруа.
Итак, мы заключаем, что (2) представляет собой К - преобразование обобщенной функции, область определе
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния |
которого |
содержит |
полуплоскость |
{s : R e s > |
|
d}. |
Положим / = |
S™1* g. |
По |
теореме |
6.4.1 |
|
|
— |
d |
|
|
Ь, |
= |
F |
(s) |
по крайней мере при R e s > |
d. |
Поскольку |
с и, |
следовательно, можно выбрать как угодно близко к |
|
полуплоскость |
{ s : R e s > |
Ь} содержится |
в области |
оп |
ределения |
/. Доказательство закончено. |
|
К - |
|
Первоначальное |
утверждение, |
характеризующее |
|
|
|
|
преобразование, получается теперь при объединении тео рем 6.7.1 и 6.7.2.
|
Доказательство теоремы |
6.7.2 приводит |
еще к одной |
удовлетворяетформуле обращенияусловиям(см. , |
нижесформулированнымформулу (6)). |
в теореме |
|
С л е д с т в и е |
6.7.2а. |
Предположим, |
|
что |
F s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
6.7.2. |
|
П ри любом |
(фиксированном |
ц |
ограниченном |
обыч |
образом |
) |
возьмем такое |
|
( |
|
|
|
|
|
ным |
|
четное целое число т, что |
т — |
Re ц — 3/2 |
превосходит |
степень |
Р |
(| |
s |
|). |
Положим |
|
|
|
f = S™/2i ^ |
cs-mF(s)}, |
|
|
|
где |
|
|
b,® |
|
определяется формулой |
) , a S ^ |
обозначает |
|
с > |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3 |
|
|
|
|
обобщенный дифференциальный оператор. Тогда при лю
бом |
Ъ f является элементом |
|
|
и не |
|
зависит от |
выбора |
с > |
Ь; |
кроме |
того, |
f |
= |
|
F (s) |
по крайней |
мере |
при Re |
Ъ. |
|
|
|
|
|
|
F |
(s), |
|
|
|
t), |
|
Из теоремы 6.7.1 и следствий 6.6.1а и 6.6.2а вытекает, |
что мы можем налагать условия не на |
|
F (s) |
а на / ( |
|
и |
получить следующее |
утверждение: |
если |
= |
Ці/ |
при |
R e s > |
о/, |
то соотношение |
(6), |
справедливо |
|
по |
крайней |
мере в смысле равенства в пространстве 3)' |
|
|
|
|
|
З а д а ч а |
6.7.1. |
Доказать |
следующее |
предложение: |
F |
(s) |
является //-преобразованием порядка р обобщенной(/)функции. |
/ (г), |
сосредоточенной |
на |
полуинтервале Г ^ |
|
< со |
( Г > 0), |
в том |
и |
только в том случае, |
если 1) F (s) |
— функция, аналитическая в не |
которой полуплоскости {s : Re s ^ |
Ъ > |
|
0}, и |
2) |
существует такой |
ПОЛ И НОМ |
Р (I s|), |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\F ( s ) \ ^ e - ResT Р (\s\, |
|
R e s > ö . |
|
|
|
(7) |
Указание. Чтобы доказать необходимость, примените свойство |
IV п. 6.3 к выражению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
(s) = </ (г), |
к [ I * I (г - |
Т)] |
Y J t K ^ |
(st)>, |
|
|
|
|
|
где k (t) — гладкая |
на |
— оо < |
t< оо функция, |
к (t)= 1 |
при |
— 1/2 < |
t< |
оо, |
к (г) = |
0 при — оо < г < — 1. |
Для |
доказательства |
достаточности |
возьмите q, т и g (£), как |
в теореме 6.7.2. |
(т. е. |
так, что / (t) = |
S ™ 1* g («)); затем, замыкая в |
(3) |
контур интегрирова |
ния справа, докажите, что g (t) = |
0 при 0 |
< |
t < Т. |
спра |
З а д а ч а |
6.7.2. Показать, |
что теорема |
6.6.1 остается |
ведливой, когда верхний и ншкннн пределы в интеграле, входящем в формулу (21) и. 6.6, стремятся к « + іоо и о — і оо независимо друг от друга.
6.8. Операционное исчисление
Пусть Р — произвольный полином; рассмотрим диффе ренциальное уравнение
где g — заданная ^-преобразуемая обобщенная функ ция, а оператор 5^ понимается в обобщенном смысле, ^-преобразование порождает операционное исчисление, на основе которого можно найти решение и уравнения
(1). Применяя к (1) и используя теорему 6.4.1, мы получаем
где |
|
(s) = |
|
%■ “ = |
Щ |
|
■ |
|
|
|
<2> |
G |
R pg |
ag. |
|
ap — |
|
|
|
|
при Re s > |
|
Пусть |
|
наибольшая |
из действительных частей корней многочлена |
Р |
(s2). |
Тогда из теоремы 6.7.1 вытекает, что |
(2) удовлетворяет |
условиям |
теоремы 6.7.2 в |
некоторой |
полуплоскости {s : |
Res > |
Ь > |
max (0, Op,Og)}. Поэтому |
в силу теоремы 6.7.2 |
выражение (2) является /^-преобразованием порядка ц. Мы можем применить формулу обращения (21) п.6.6 или
(6) п. |
6.7 и таким |
образом найти обобщенную функцию |
и |
по |
крайней мере |
в принципе — вычисления по этим |
|
формулам в частных случаях могут представить значи тельную трудность. Тем самым решение и задано как рас
пределение на /, удовлетворяющее уравнение (1) в смыс ле равенства в 3)'{І).
Обобщение этой техники на системы дифференциаль
ных уравнений вида (1) очевидно. |
|
|
|
|
|
|
Если |
|
обобщенная функция |
g |
сосредоточена на |
по |
луинтервале |
|
Т |
t |
< ° о , |
где |
Т > |
0, |
то |
выражение |
G(s)IP ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s2) удовлетворяет условиям, сформулированным в |
задаче 6.7.1. Отсюда следует, |
что мы можем |
|
применить |
указанные выше формулы обращения либо формулу |
(24) |
п. 6.6 к |
G |
(и |
|
(s2) и найти |
и |
как элемент |
З)'(І). |
Это расп |
|
s)IP |
|
|
будет |
|
|
|
|
|
°о. |
ределение |
|
также |
|
сосредоточено |
на |
Г ^ |
|
|
|
|
|
|
|
Кроме того, к |
и |
можно прибавить любое решение |
ѵ ЕЕ |
ЕЕ 3)' (I ) |
однородного уравнения |
Р (S^) = |
0 и получить дру |
|
|
гое решение уравнения (1); однако такое (ненулевое) ре
шение |
V ЕЕ З)'(і ) |
не |
будет сосредоточено |
на |
Т |
t |
< оо |
(см. Шварц [1], т. I, стр. 130; Гуревич [1], стр. 46). |
|
Сравним 5?(х-операционное исчисление с ^-операци |
онным |
исчислением, |
рассмотренным в п. |
5.7. |
^ -опера |
ционное исчисление применяется к тому же типу диффе ренциальных уравнений, что и ^-операционное исчис ление. Однако преобразование § 1Д. определено только для действительных значений р (относительно случая р <
—Ѵ2 см. п. 5.10). В то же время преобразование ^ опр ед е лено для всех действительных и комплексных р (мы ис
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пользовали |
соотношение |
К ^{і) |
= |
K ^ (t) |
для того, чтобы |
ограничить |
множество значений р областью Rep > 0 |
без потери |
общности; относительно |
случая |
Re р = |
|
0 и |
р |
0Р см, . |
Земанян [10]). В настоящем случае |
мы |
не на |
кладываем |
также никаких ограничений на корни |
поли |
нома |
входящего в уравнение (1), |
в то время как в §н- |
операционном |
исчислении требовалось, |
чтобы |
Р |
х) |
не |
|
( |
|
имел |
корней |
на действительной |
полуоси — оо |
<^х |
< 0 . |
Кроме того, допустимые решения в ^.-операционном |
исчислении |
могут быть |
обобщенными функциями экспо |
ненциального |
роста при |
t |
-» о о , |
тогда |
как |
в ^-опера |
|
ционном исчислении они должны иметь рост не выше поли номиального. Следовательно, если речь идет о поведе нии решений при t —■- о о , то ^-преобразование является расширением ^-преобразования в том смысле, в каком преобразование Лапласа является расширением преоб
разования Фурье. |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С другой стороны, при рассмотрении поведения допу |
стимых решений при |
|
|
—*• -f- 0 |
ситуацияЖ\>. |
несколько меня |
ется, что видно из следующих |
фактов. При |
t |
+ |
0 |
ос |
новные функции из |
пространства |
|
ведут |
себя |
|
как |
функция |
В противоположность |
этому основные |
функции из |
при |
t |
-» |
0 имеют порядок |
Y 'tK ^ . |
( |
t). |
Заметим, что(.1 |
функция |
Kpty) |
при |
t |
+ 0 |
неограниченно |
возрастает, в то время как |
(t) стремится к нулю, |
если |
0 или |
= —1, —2 ,—3, . . ., |
|
и стремится к 1, |
если |
Ц = 0. Отсюда следует, что при этих условиях на р, |
до |
пустимые обобщенные решения в ^-операционном ис числении должны удовлетворять значительно большим ограничениям при t —» + 0, чем обобщенные решения в
.^-операционном исчислении.
