З а д а ч а 6.8.1. Функция и = Y~t |
(t) |
ниляется |
решением |
однородного дифференциального уравнения |
+ 1)и = |
0 в смыс |
ле обычного дифференцирования. Доказать, что это верно н в смысле дифференцирования н равенства в Sö' (/), но не справедли во, если 5р. понимается как обобщенный дифференциальный опе
ратор в пространстве |
а (а > 0). Показать также, что У 7 / (JL(I) — |
регулярный элемент Ж^.а при любом а > 0.
За д а ч а 6.8.2. Описать метод решения системы дифференци альных уравнений вида (1), основанный па использовании Ä -иреоб- разовапия обобщенных функций. Указать, какие условия нужно наложить на дифференциальные уравнения, чтобы обеспечить воз можность применения этого метода.
За д а ч а 6.8.3. Пусть ß — комплексное число, не равное
нулю. |
Найти Др-п реобразуемую |
обобщенную функцию и (г), |
удовлетворяющую im I дифференциальному уравнению |
Указание. Использовать |
формулу |
|
— ß) и (0 = |
ОО |
|
|
|
^ |
(z) dz = 2р-аГ |
) Г |
, Re р > Re р. |
О |
|
|
|
6.9.Прішенешш к некоторым электрическим цепям
спеременными параметрами
13 этом пункте мы используем /^-преобразование для исследования трех электрических цепей с переменными
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ljit) |
|
|
Ѣо(І} |
параметрами. G точки зре |
|
|
|
|
ния теории |
интегральных |
__ пггѵЧ___ _ |
|
|
|
|
|
|
|
|
преобразований |
эти |
при |
vltjC^) |
|
|
- -Cd) |
|
меры, |
а также некоторые |
|
|
|
|
другие, впервые были рас |
|
|
|
|
|
|
смотрены |
Асельтином [1] |
|
Lj(t)= а і2^ ' гн |
|
и |
Жерарди |
[1]. |
Рас |
|
І г (і)=Ы2^ г н |
|
|
П р и м е р |
6.9.1. |
|
С(і)=с-1і~г* - ’ф( |
смотрим |
|
электрическую |
|
|
|
|
|
|
цепь, |
изображенную |
на |
|
|
Рис. |
6.9.1. |
|
|
рис. |
6.9.1, |
в |
интервале |
|
|
|
|
|
|
времени |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < L^t)< , ооL.t(t)Эта |
|
С |
t |
v(t), |
двух |
цепь |
состоит из источника |
напряжения |
|
индуктивностей |
|
|
и |
емкости |
|
( ). |
Индуктивности и емкость |
изменяются во |
времени по законам, указанным |
на рисунке. |
Символами |
а, Ь и с обозначены действительные положительные по стоянные; р. — любая действительпая постоянная (мы
могли бы допустить |
и комплексные значения р,, одна |
ко это физически бессмысленно). |
Пусть |
qx(t) |
и |
q2(t) |
— переносимые в цепи заряды (см. |
|
|
рис. 6.9.1). Из законов Кирхгофа получаем систему диф
ференциальных уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
[Lj. |
(l) Dqx (t) |
|
|
|
|
|
|
= I/ (0. |
|
|
d'i |
|
v |
|
|
|
|
+] + |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
Ы О - М О |
|
|
D l L2(i)Dq2(t)l = 0 . |
|
|
Полагая |
|
= |
Ü1+1'*g, |
|
qx |
= |
|
|
|
|
|
|
t~v-4*u2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и д г =L x(t), L 2(t)подстав |
ляя явные выражения для функций |
|
|
|
и |
С (І) |
и умножая' |
оба уравнения на |
|
|
мы получаем систему |
|
|
|
|
|
aSy.ii! |
+ |
|
с ( |
— |
и2) |
= |
g, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с (и2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
их) |
|
mj |
bSyii« — |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
Эти уравнения имеют вид, |
|
удобный для решения с помо |
щью /^-преобразования, если предположить, что |
g |
явля |
ется ^-преобразуемой обобщенной функцией. |
|
|
|
Если р |
|
|
0, то нужно применить преобразование |
если р < 0, то используем |
|
|
|
Это приводит к системе |
уравнений |
|
(as2 + |
С) а д |
- |
с а д |
= |
а д , |
|
|
|
|
|
|
— cLj(s) |
+ |
(bs2 |
+ |
c)U2(s) = |
0, |
|
|
|
где символами |
|
G, U |
j |
|
и |
|
U 2 |
обозначены/^-преобразования |
обобщенных функций |
|
g, |
|
их |
|
и |
и2 |
соответственно. Все нули |
|
|
|
|
|
|
определителя матрицы, составленной из коэффициентов
системы |
уравнений (3), лежат на мнимой оси в s-плоско |
сти. |
Решая |
(3) относительно |
Ѵ х |
и |
U 2, |
получаем |
|
|
|
U |
i(s) |
_____ 1-11_________ |
G(s) |
|
R |
es^> |
max (0, |
ag), |
|
|
(s) |
abs* + с (а + Ь) s* |
|
K h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
U г |
abs* -f- с (я -|- Ъ) s2 |
|
|
|
|
|
|
|
<jg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G(s). |
|
— абсцисса определения для преобразования |
|
Теперь мы можем, используя формулы обращения, найти (хотя бы в принципе) два распределения их и и2, удовлет воряющие системе (2) в смысле равенства в пространстве З)'(І). Таким образом, qx и q2 удовлетворяют системе (1) в смысле равенства в З)'(І).
Вообще говоря, мы могли бы получить другое решение, добавив к паре glt q2 функцию, описывающую свободные
колебания— |
в цепи, изображенной на рис. 6.9.1 (т. е. лю |
бое решение однородной системы, получающейсяѵ |
из |
(1) |
при |
V |
|
0). |
|
Однако |
такие |
свободные |
колебания |
можно |
исключить, потребовав< it , чтобы напряжение |
|
|
и |
перено |
симые заряды были равны нулю на некотором начальном |
интервале |
вида 0 |
< Г . Действительно, согласно ре |
зультату, |
сформулированному |
в |
задаче 6.7.1, |
если рас |
пределение |
V |
равно нулю на 0 <С |
t |
< |
Т , |
то |
|
G, |
а поэтомуqx |
U i и |
|
U* |
также удовлетворяют |
условиям |
|
|
задачи 6.7.1. |
|
|
|
|
|
L |
|
|
ЯШ |
С |
|
Следовательно, |
|
решения |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
<7а, |
полученные |
в |
предыду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щем |
|
абзаце, |
также |
равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нулю |
|
па |
0 |
<Ct |
< Г . Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если переносимые заряды то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
же обладают этим свойством, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то в цепи не может быть сво |
|
|
|
|
|
Рпс. |
|
6.9.2. |
|
|
бодных колебаний. Это объяс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
няется тем, что любая обоб |
|
<Ct |
|
|
|
|
|
|
|
щенная функция, описываю |
щая свободное колебание и обращающаяся |
в нуль |
при |
0 |
|
|
|
< |
Г , |
равна пулю и на 0 |
< |
£ <1 оо (см. Шварц [11, |
т. I, стр. 130 и Гуревич [1], стр. 46).ЗВ)'(результатеІ), |
заряды |
qx |
и |
q |
полученные |
нри помощи ЛГ-преобразованияt , яв |
|
|
*, |
ляются |
единственными элементами |
|
|
удовлетворяю |
щими системе (1) и условию равенства нулю на 0 |
< |
< |
Г , |
если предположить, |
что |
ѵ |
удовлетворяет этому условию. |
|
|
Отметим, |
|
наконец, что тем же самым методом можно |
исследовать любую цепь, состоящую только из индуктив ностей и емкостей, изменяющихся во времени пропорцио нально <2!Х+1 и £~2“_1 соответственно, и соответствующим образом выбранного источника напряжения. Сделав ука
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
занную выше замену переменныхSy. |
, мы получим |
тогда |
дифференциальные уравнения, содержащие |
только |
диф |
ференциальный оператор |
|
|
|
|
|
v(t), |
П р и м е р 6.9.2. Рассмотрим контур, |
изображенный |
на рис. 6.9.2 |
и состоящий пзRисточника напряжения |
С |
|
постоянной |
индуктивности |
L, |
постоянной |
емкости |
и |
переменного |
сопротивления |
|
(t) = |
r/t. |
Мы считаем, что |
L, С |
и г — фиксированные действительные числа и снова |
ограничиваемся интервалом |
времени 0 < £ |
< о о . Из за |
конов Кирхгофа получаем для переносимого заряда урав
нение |
LD'-q + ^ - D q + ^ = v . |
(4) |
|
|
Полагая |
q (t) |
= |
u{t), |
g = |
L~1^-iA+V«y (t) и r/L — |
= — 2p + |
1, |
мы можем переписать это уравнение в виде |
|
|
|
S * u + Т с |
= |
g ' |
Предположим, что g является ^ц^-преобразуемой обоб щенной функцией; тогда можно применить ^-преобразо вание порядка | р | и получить
U (s) = > і//_с . Не s > max (о*, + Re / — LC).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прописными буквами обозначеныog, как обычно, преобра |
зования |
соответствующихg. |
обобщенных функций, обозна |
ченных строчными буквами, a |
— это |
абсцисса |
сходи |
мостии (t |
дляЮ'(Г)- |
|
Применяя одну из формул обращенияq t) = , |
приведенных в пп.6.6 и 6.7, мы находим |
распределение |
= |
|
) Er |
|
|
Отсюда мы находим распределение |
( |
|
|
|
|
|
|
удовлетворяющее |
уравнению |
(4) |
в |
смысле |
равенства в |
SD'{I). |
Здесь мы снова могли бы добавить лю |
бое |
свободное |
колебание в цепи, изображенной на рис. |
6q |
.9t).2, |
и получить другое решение уравненияТ , |
(4). Но если |
наложить условия равенства нулю распределений |
ѵ |
( |
t) |
и |
|
( |
на некотором интервале 0 |
< ; £ < |
то никакие сво |
SD'(I)бодные. |
колебания существовать не смогут, |
и |
q (t |
|
|
|
|
) будет |
единственным |
решением уравнения (4) в пространстве |
|
|
П р и м е р |
6.9.3. В качестве последнего примера рас |
смотрим систему, изображенную на рис. 6.9.3, в интер вале времени 0 < с ю . Она может быть приближенно реализована с помощью подходящим образом соединен ных компонентов аналоговой вычислительной машины. В эту систему входят два идеальных усилителя напря жения с меняющимися во времени коэффициентами уси ления р2/і и 1/t, два идеальных интегратора, емкость С и индуктивность L; при этом р2, L и С имеют фиксирован ные положительные значения. Входное напряжение пред полагается известным. Мы желаем найти заряд, проте кающий через индуктивность L и емкость С за интервал времени 0 < £ < о о . Падение напряжения между точкой
А |
и землей равно |
L D 2q + ^ L . |
(5) |
|
|
|
|
С другой стороны, напряжение между точкой А и зем лей, обусловленное остальной частью системы, имеет
253
I
J
