Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 179

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

вид

L п

.

L\i*

.

|х2

 

^

" г

Н

+

Ѵ -

(6 )

 

Приравнивая (5) и (6) и разделив на L , мы получим диф­ ференциальное уравнение

^

+ 4 - ^ ( т 7 Г -- Й - ) 9

V .

(7)

Li*

 

 

t ~ ' 1 \ L C

t* I v

Р2

 

Простая выкладка показывает,

что оператор

 

совпадает с

£>а + -{■ -£? — ц2Г 2

ц можно считать

оператором

где

Рис. 6.9.3.

положительным числом. Следовательно, полагая и (t) = = V t q { t ) , мы можем переписать уравнение (7) в виде

+ - ^ = « " Mo - (8)

Мы снова получили уравнение, которое можно исследо­

вать

при помощи

^-преобразования

Gпорядка

р., если

предположить, что

Г 3/»

ѵ (і)

является

^-преобразуе­

мой

обобщенной функцией.

Полагая

 

(s)

=

[Г*Ігѵ

(і)]

 

 

 

254

при Re s <^0g, получаем

U (*) =

> Re s > max (0, Og),

(9)

 

 

где U(s) = -&.J. и. Применяя к (9) какую-нибудь формулу обращения, находим распределение и (t) и, следователь­ но, распределение q (f) = t~'!i и ((), удовлетворяющее

(7) в смысле равенства в 3)' (/). Как и раньше, получен­ ное решение будет единственным в 3)'{І), если мы потре­ буем, чтобы V и q обращались в нуль на некотором ин­ тервале вида 0 < t <с Т .

З а д а ч а 6.9.1. Проверить, что любая цепь, состоящая толь­ ко из источников напряжения и переменных индуктивностей и

емкостей, изменяющихся во времени пропорционально г2'А+1 и 1 с00тветсхвенн0] порождает (после указанной выше замены

переменных) дифференциальные уравнения, содержащие только оператор S^.

255

Г Л А В А 7

ПРЕОБРАЗОВАН И Е ВЕЙЕРШ ТРАССА

7.1. Введение

Обычным преобразованием Вейерштрасса называется вы­ ражение

F ^

д

“p W

“

ехр

~ Т)*МІ^т,

(1)

=

—Üот ^

где / (т) — функция,

удовлетворяющая соответствующим

ограничениям

на — оо < т < о о ,

и

s — комплексное

число. Это преобразование было в

определенной степени

исследовано

Хиршманом

и Уиддером

[1], гл. V I II .

Оно

известно также

под

названиями преобразования Гаусса

(Руни [1],

[2]), преобразования Гаусса — Вейерштрасса

(Хилл и Филлипс [1]) и преобразования Хилла (Гонзалес Домингес [1]).

Функция Грина для одномерного уравнения тепло­

проводности

 

0

 

0

 

0

2

=

и = и (х > > — э °

 

< о о , < f < о°,

( )

где X — положительная постоянная, имеет вид

 

 

 

 

 

 

- х Щ х(

 

 

 

* «

' • " >

"

 

Т Е Г

 

 

Если заменить х на s — х и положить xt = I , то выра­ жение (1) преобразуется к виду

оо

F (s) = \ / (т) к (s — X , 1) dx.

(4)

—оо

 

Поэтому преобразование Вейерштрасса естественно воз­ никает в задачах, связанных с уравнением теплопровод-

256

пости (2). Этому вопросу посвящен п. 7.5, где решается задача Коши для уравнения (2) с обобщенной функцией в начальном условии.

Отметим, что выражение (4) представляет собой сверт­ ку. Действительно, преобразование Вейерштрасса явля­ ется частным случаем преобразования свертки (Хиршман и Уиддер [1], стр. 196), которая рассматривается в сле­ дующей главе. Наш способ распространения формулы (4) на обобщенные функции (Земанян [10]) совершенно ана­

логичен методу,

использованному

в гл.

3 для

двусто­

роннего преобразования Лапласа.

Основная идея состоит

в построении пространства основных функций

W

(о>і, а2),

которое является

счетным

объединением пространств и

содержит ядро

к (s

— т, 1) приW

о г

<

Re s <

о2. При этом

 

 

F

преобразование

Вейерштрасса

 

к) (sлюбого1

элемента /

сопряженного пространства

 

(щ,

ст2) получается пос­

редством применения / (т) к ядру

 

— т,

):

^

F ® ^

 

^

ехр

 

^ — ^)2/4)).

 

 

 

Res<[a.2.

 

 

 

Оказывается, что преобразование Вейерштрасса может быть связано с двусторонним преобразованием Лапласа; поэтому некоторые свойства последнего можно перенести на преобразование Вейерштрасса. Действительно, в п. 7.3 мы получим теорему аналитичности, формулу обращения и описание преобразований Вейерштрасса с помощью соответствующих результатов, относящихся к преобра­ зованию Лапласа. В п. 7.4 выводится вторая формула об­ ращения, которая представляет собой обобщение комп­

лексной формулы обращения (Хиршман

и Уиддер [1])

на случай обобщенных функций. Существует еще третья

теорема обращения для преобразования

Вейерштрасса

обобщенных функций (Куин [1]).

Она

обобщает форму­

лу Руни [1], [2], но пригодна

для

менее

широкого

класса обобщенных функций, чем

формулы

обращения

пп. 7.3 и 7.4.

Спомощью указанного метода можно определить и

гс-мерное преобразование Вейерштрасса, где т £Е

и

s

%п.

Его свойства совершенно аналогичны соответ­

 

 

ствующим свойствам рассматриваемого ниже одномерно­ го преобразования (см. Куин [1]).

9 А. Г. Земанян

257

7.2. Пространства W а, ь и W (w, «) основных функций и сопряженные к ним

Пусть

а

b

— фиксированные числа в

 

т — перемен­

?1п

 

 

ная в J

и ра>ь (т) определяется формулой

О ,

 

 

 

f e-ax/2j

— оо <

X

<

 

 

ра- ь(т) = { е-ьх/2,

0 < т < о о .

Обозначим через Wa,b линейное пространство всех комп­ лекснозначных гладких функций ф (т) на интервале

—оо <;т < оо таких, что для каждого р = 0, 1 , 2, . . .

Хр (Ф) =

ХаЬ, . Р (ф ) =

— о о <SUт < Pо о I вт,/4Ра. Ь СО Д Р ФСО I < 0 0 •

Мы снабдим W a, ь топологией,

порождаемой последова­

тельностью

полунорм

{Хр)Г=о-

Так как Хо — норма, то

{Хр}р=о — мультинорма в W a,bi и W'o,ь ~ счетно-мульти- нормированное пространство. Обычным образом (см., например, доказательство леммы 3.2.1) можно показать, что Wa,b является полным и, следовательно, пространст­ вом Фреше. Заметим еще, что дифференцирование явля­ ется непрерывным линейным отображением W a,b в себя.

Всюду в этой главе к (ѵ, t) будет обозначать функцию

 

 

 

 

 

 

 

к ^ѵ,і) = Те-®Ѵш4<

 

’

 

 

 

(1)

где

V

 

1

t

 

J

/?1

при

 

0 <

t

 

 

 

 

 

ЕЕ fë и

1

ее

 

 

 

 

1. Основной резуль­

тат состоит в том, что для любого фиксированного s

e

 

ядро

к (s

— т,

 

) как функция т принадлежит

W a,b

тогда

и только тогда,

когда

а < .

Res

•<

Ь.

Действительно, вы­

что

 

 

 

числения показывают,

у — Pp

 

т, — j ,

 

(2)

 

 

 

D-zk (s

 

X, t) =

 

 

где Pp (s — г, 1It) — полином р-го порядка относительно \!t и s — т. Поэтому

Хр [к (s

X , <)] —

 

 

 

= sup

е-»*/4( - j - T'(1-1/,)

 

 

 

4лг

Р а .ь С 0

e^' Ppl s

(3 )

— о о < т < о о

V

 

258

Полагая в (3)

 

t

— І и

 

принимая во внимание определение

Ра,ь(т))

мы

получим

 

 

наше

утверждение.

Равенство (3)

также

показывает,

что

 

для

любого

фиксированного

t,

такого,

что

0

<

і <

1

,

 

и

для

каждого

 

фиксированного

 

 

ядро

 

к (s

■— т,

t)

как

функция

т

принадлежит

Wa,b

ПРИ любых

а

и

Ь.

 

 

пространство

 

 

 

> сопряженное

 

 

 

 

 

 

Ш а,ь

В силу теоремы 1.8.3

 

 

 

 

к пространству

 

W a,b,

 

также

полно

в обычной

(слабой)

топологии.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.5

определим дифференцирование

В соответствии с п.

 

(обобщенное)

на

 

W

а,ъ

 

следующим образом:

 

 

 

 

 

<£>/, ф> =

</, — Пср>, f <=W 'a,b, 4><^жа,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<Ша,ь

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

d

Ъ,

 

Такое дифференцирование является непрерывным линей­

W c, d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W a, ь

 

 

 

<

 

W c, а

< W ато, ь-

ным отображением

 

 

 

 

 

в себя. Если

 

 

с и

 

 

— подпространство

 

 

 

 

и топология

 

 

сильнее

топологии%,а,ъиндуцированной,р %c,d,p

на нем пространством

 

В самом деле,

 

0 < р а, ь (т)

 

рс, d(х) при — оо

 

< о о ,

так что

 

 

(ф) ^

 

 

 

 

 

(ф); этот факт и лемма 1.6.3 до­

казывают справедливость

нашего утверждения.

 

Следова­

тельно, сужение любой f^ W 'a , ъна W c,d есть элемент W'c,d-

Ш а,ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следуя общей схеме, использованной в случае преоб­

разования Лапласа, мы построим теперь из пространств

 

 

 

счетное объединение пространств.

Пусть ш,

как и ра­

нее, обозначает действительное конечное число либо —

оо,

и z, либо

действительное

конечное

 

число,

либо

 

-foo.

Выберем две

монотонные

 

 

 

 

 

 

 

av

 

w

 

0

 

 

последовательности

действи­

Ьѵ

 

 

 

 

 

 

 

{av}^Lx

 

W (w, z)

 

 

 

что

 

 

 

+

 

 

и

тельных чисел

и {ftv}SLi такие,

 

 

 

 

 

 

 

—*■ z — 0.

Мы определим

z)

 

 

как счетное объеди­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W w

 

 

образом,

последова­

нение пространств U ^ = i^ av,bv; таким

 

тельность сходится в

 

( ,

 

 

W av,b4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тогда и только тогда, когда

она сходится в одном из прстранств

 

 

 

 

 

Нетрудно по­

Wказать( w ,

, z)что это определение не зависитW '(w ,отz),выбора последо­

вательностей

W

w

и {Ьѵ}.

Согласно

 

п. 1.7 пространство

{а ѵ}

 

 

 

 

 

 

 

полно.

 

к (s

 

 

 

 

 

 

 

 

сопряженное

 

 

 

 

 

Пространство

 

 

 

 

 

 

 

 

W (w,

z)

 

(

 

, z),

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

 

 

 

 

 

 

пространству

 

 

также полно в соответствии с тео­

ремой 1.9.2. tЯдро

 

 

 

— т, 1)

как функция0 <c.tт принадле1

­

к (s

 

 

 

t)

 

тогда и только тогда,

 

 

W

 

 

<

Res

<

 

z;

жит

 

 

 

 

 

когда

 

 

далее,

если

фиксировано1 в

 

 

w

 

 

 

 

<

 

,

то

интервалві

(га,

 

 

 

 

— т,

 

как функция т есть элемент

 

 

z) для каж­

дого фиксированного s е= fé

и любых

 

 

и z. Отметим, что

9* 25Ѳ

Смотрите также файлы