обычное дифференцирование задает непрерывное линей
Wное' (w,отображениеz |
|
|
|
|
|
в себя; |
|
обобщенное дифференциW (р |
|
рованиеW w |
|
|
|
|
W (р , z) |
|
|
|
|
|
|
линейнымwlотображениемX ' |
|
является непрерывнымX |
|
—wl |
( |
) в себя. Мы свяжем |
теперь пространства |
|
|
|
|
.z) |
и |
|
, z) с пространствами |
|
(— z/2, — |
|
|
|
2) и |
(—z/2, |
|
|
2) соответственно. |
Как мы увидим в следующем пунк |
те, это приведет к связи |
|
Отображениемежду преобразованиями Лап |
ласаосуществляети Вейерштрассаизоморфизм. |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
wl |
|
|
|
на W |
{w, |
z). |
|
Т е о р е м а |
|
|
7.2.1. |
|
|
|
|
(—z/2,_с/2 |
|
|
|
|
|
Ѳ (т) н->- е-і:,''4Ѳ (х) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— 2) |
|
|
|
|
|
|
с~р> w |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть 0 е= |
X |
|
(—z/2, |
—wl |
2). |
Это |
означает, |
что |
|
Ѳ €= SLd/г, |
|
|
|
для |
|
некоторых |
|
|
|
|
|
|
и |
d |
< |
z. |
|
Выберем |
а |
|
и |
Ь |
удовлетворяющими |
|
|
нера |
венствами |
w < і а < і с я d <СЪ <Zz. |
Докажем сначалаD ve~x'14, что= |
|
Х-вц, ~сц |
|
|
W a,ъ- |
|
|
|
|
отображение Ѳ (т) ы- е_т,/4Ѳ (х) |
|
|
линейно |
|
|
и |
непрерывно |
отображает |
|
(р |
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
Заметим, |
|
|
что |
|
|
|
|
|
|
= |
е~х,‘А Р р |
(х) |
= 0Х,1а,,2ь |
, |
.W. |
а.),,ъ |
|
где |
Р р |
|
— многочлен. |
Кроме того, весовые функции ка>ь (х) и ра>ь (х) в полунор |
мах для пространств |
(х) |
|
= |
|
и |
Х _ М |
|
, _связаны соотношением |
|
|
|
|
|
|
|
Р а . ь |
|
|
|
|
|
/2 |
а(х). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4 ) |
Следовательно, |
можно написать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-т!/4- |
,ь(х) D U е~^е(х)] |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ра. |
|
|
|
|
|
|
|
У- - Ь , 2 , |
-а/2(Т) |
Pp_4(x)x_d, .-,/2(t) D qQ (х). |
Но функция |
|
|
|
У--Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/2,~сІ2І^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
/2 |
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х—)/2, —п2 |
|
М |
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ограничена на — |
с »^d/ .-c/ (^) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B p- q, |
|
|
< х |
|
|
<С °° |
постоянной, скажем, |
|
|
|
|
так |
как |
а |
< с |
и |
d <^Ь. |
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ха, ь. Р [е -Т!/4Ѳ (т )] |
< S ( f ) |
Sp-,T-d/2 , —с/2 ,, [Ѳ (O l |
|
|
|
|
(5) |
Поэтому наше отображение, |
которое, очевидно, линейно, |
также и |
непрерывно |
|
из |
|
Х~а% |
|
/2 |
в |
|
W a,b |
• |
Отсюда |
|
не |
|
|
|
|
|
|
_с |
|
|
X |
|
|
|
|
|
медленно |
|
следует, |
что Ѳ (х) |
|
|
е~х,/4Ѳ (х) — также |
|
|
непре |
рывное |
|
линейное |
отображение |
|
из |
|
|
|
(— z/2, — |
wl |
2) |
в |
W |
(w, |
|
z). |
Обратное |
|
отображение |
ср (х) |
|
>-»■ |
ет,/4ф (х) |
су |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ществует и |
|
единственно. |
Выбирая |
опять |
w С |
а |
< с . и |
d <Zb |
< z |
и проведя аналогичные рассуждения, мы |
можем заключить, |
что |
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТГ-Ь/2, —а/2, р |
[е-Ѵ4ф (Т)| ^ |
2 Ср,QXc, d, , (ф), |
|
|
(6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фe |
f |
c. j, |
р = |
о, 1, 2, |
|
|
|
|
|
|
где СWрc,d,5— постоянные%-Ы2 , |
, не зависящие от |
ср. |
Следовательноz) ъ X 2, |
ср |
1 |
|
ет2'4 ср |
(т) |
есть |
|
непрерывное |
линейное |
отображе |
|
(г) -»- |
в |
|
|
ние |
|
|
|
|
-e/г Иі следовательно, ^ ( ш , |
|
|
|
(—z/ , |
-- Ы7/2). |
е~х'!і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эти результаты, вместена. с тем фактом, что отображение |
0 (т) >->- |
|
Ѳ (т) взаимно |
однозначно, означают, |
что оно |
является отображением |
|
Этим завершается доказатель |
ствоe~x'Afтеоремы. |
|
|
пространствах |
отображение |
|
/ (т) і-»- |
і->- |
В |
сопряженных |
|
|
|
(т) |
определяется, |
как |
сопряженное |
к |
|
Ѳ (т) і-> |
і-ѵ е~т2/,4Ѳ (т). |
|
Это |
означает, |
что |
|
е-Ѵ40 (т) >, |
|
|
7 |
|
|
|
< е -2/*/ (т), Ѳ (т) > Д </ (т), |
|
|
( ) |
|
|
|
Ѳ е |
2 |
( -z / |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, —ы>/ ), / е г (Ш, z). |
|
|
|
Непосредственным следствием теорем 1.10.2 и 7.2.1 яв
ляется |
|
|
|
|
Отображение |
|
/ (т) >->- е-т2’4/ (т) |
Т е о р е м а 7.2.2. |
|
|
(w, z) |
на |
|
осуществляет изоморфизм W |
£ '( — |
2 |
, |
—w/2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z/ |
|
|
Приведем, наконец, несколько свойств построенных |
пространств. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
w |
|
|
w |
|
I. Очевидно, 25 есть подпространство |
|
|
|
( , |
|
z) для |
любых, ш и г, и сходимость в W25 |
влечет(w, z) сходимость в |
( , |
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z). Более того, 25 плотно в ‘Z/TW( ,(w,z) (z)докажите это). Тео |
рема 1.9.1 показывает, что |
|
|
|
— подпространство |
25'. |
Таким образом, |
элементы |
|
|
|
|
являются распре |
делениями. Кроме |
того, |
числа, |
|
которые |
fZEiW " (w, |
z) |
|
|
|
|
определя |
ставит в соответствие элементам 25, однозначно |
ют те числа, |
которые / ставит в соответствиеW (и, ѵ) |
|
элементамW w |
W (w, z). |
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
с |
|
|
( |
, z) |
Пусть теперь ш < и и і ; < г . |
|
|
|
|
W |
и сходимость |
в |
W (и, V |
влечет |
сходимость |
в |
(w, z). |
|
|
) |
|
|
|
|
Так |
как 25 d |
W {и, v) |
d |
W (w |
, |
z), |
то |
отсюда |
следует, |
что |
W (и, V) |
плотно |
в |
w |
(w, |
z). |
В |
силу теоремы 1.9.1 |
|
|
|
|
|
W(и, v) — подпространство W " (w, z).
II. W (w, z) — плотное подпространство $ , и сходи мость в W (w, z) влечет сходимость в <Е при любых ш л г
(докажите это). Поэтому из теоремы 1.9.1 следует, что
—подпространство W (w, z).
III . В настоящем случае теорема 1.8.1 утверждает
следующее: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W a, |
t, |
существуют положи |
|
|
Для любого заданногоW/ а£,Еь |
|
|
|
|
тельная |
|
константа |
С |
и |
неотрицательное целое |
число |
г |
такие, что для всех ср £Е |
0max |
|
Ха.ь.р(ф)- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|</, Ф > |< с |
|
|
|
W a, a |
|
|
|
IV . |
|
Предположим, |
что |
<р<Г |
|
|
|
|
|
|
на |
|
|
U |
|
|
|
|
/ — функционал |
|
|
|
U |
W b,b |
(а < |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
), имеющий непрерывные0линейные сужения1 |
на |
w a’ .a и |
W b,b- |
Пусть |
X |
(т) |
— |
гладкая функция |
при |
— |
|
оо < |
т < |
оо, такая, |
что |
X |
(т) = |
|
при |
|
т < |
— |
|
и |
X |
(т) = |
|
1 |
при |
т > |
1. |
Тогда функционал / |
|
может |
быть |
продолжен до |
элемента |
W a,ь |
посредством |
определения |
+ |
|
|
|
|
< / . |
Ф > |
= |
|
</, |
ср> |
< /,(1 |
|
- |
X)q», |
Ф < = |
Ж а, ъ- |
|
|
Выражение |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в правой части равенства имеет смысл, так |
как Я,ф е |
Wb,b |
и |
|
(1 |
- |
1 |
) ( р е |
W а,а, |
если ф е |
W а,ъ- |
Бо- |
лее |
того, |
это продолжение единственно; другими слова |
ми, |
два элемента |
|
Ш а,ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. имеющие одинаковые сужения на |
W а,а |
и |
W ь,ьі |
должны |
совпадать. |
Доказательства |
этих |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
утверждений, почти полностью совпадающие с доказа
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тельствами свойства |
IV |
п.3.2,4 |
мы также опустим. |
V . Пусть / |
(х) |
— локально |
|
интегрируемая функция, |
такая, что отношение |
/ (т)/ет,/ ра,ь (т) |
абсолютно интегри |
руемо на — оо < ; |
% |
< |
Wоо {w,приzвсех |
а |
и |
Ь , |
удовлетворяю |
щих условиям |
а |
|
w |
и |
Ъ |
<< |
z. |
|
Тогда / (т) порождает ре |
|
оо |
|
|
), |
гулярный элемент / в |
|
|
|
определяемый формулой |
</, ф> = |
\ |
/ (т) ф (t) dx, t p G f ' {w, z). |
—оо
За д а ч а 7.2.1. Доказать, что W a, ь полно.
За д а ч а 7.2.2. Доказать, что 3) — полное подпространство
'W (w, z) для любых w н z.
За д а ч а 7.2.3. Доказать свойство II.
За д а ч а 7.2.4. Доказать свойство IV .
За д а ч а 7.2.5. Доказать свойство V.
7.3.Преобразование Вейерштрасса
Как и выше в этой главе, наше рассмотрение обобщенных функций, преобразуемых по Вейерштрассу, вполне ана логично соответствующему рассмотрению в гл. 3. Обоб-
щепная |
функция / |
называется |
преобразуемой |
|
по Вейер- |
штрассу, |
если она обладает следующими четырьмя |
свой |
1 |
|
|
ствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
) / — функционал на |
некоторой области |
|
(/) |
обыч |
ных функций. |
|
|
ф, |
|
|
|
d |
|
|
|
|
2) / аддитивен, т. |
е. если |
|
|
Ѳ, cp |
-j- |
0 ее |
(/), то |
|
|
|
|
</. ф + |
Ѳ > = |
</, |
ф> + |
</, |
Ѳ >. |
|
|
|
|
|
3) Wа,ъ CI d (f) по крайней мере для одной пары дей ствительных чисел а и Ъ при а < Ь.
4) Для каждого W c,d C l d (/) сужение / па W c,d принад
лежитSt1, |
Ж сЛ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
Л / |
Для данного / существует единственное |
множество |
|
в |
определенное следующим |
образом: |
точка |
|
нахо |
дитсяй^ а а,ьав |
d |
тогда и только |
|
тогда, когда |
существуют |
2два |
|
|
Л / |
|
|
а„ |
|
Ъа, |
аа |
|
а |
|
|
Ьа, |
|
|
|
|
действительных |
числа |
и |
< ; |
< ; |
такие, |
что |
|
CI |
|
(/). |
Пусть |
|
Ö! — точная |
нижняя, |
а о |
— |
точная верхняя грани Л/. Значения |
|
= |
|
— оо и |
б 2 |
= |
оо |
допускаются. Используя свойство IV п. 7.2 и метод, |
описанный |
в начале п. |
|
3.3, |
мы можем |
|
расширить / |
до |
функционала(A) СужениеД |
d |
|
[J |
|
W (аг, о2), |
|
|
|
|
|
|
|
|
нана W(/) |
|
а2) есть элементобладающегоW (Оі, сле |
дующими двумя свойствамисовпадает: |
с |
|
|
|
|
|
|
|
а2). |
(B) |
Сужение |
Д на d(f)(о*, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это расширение единственно в том смысле, что не су |
ществует |
|
|
Д |
|
|
|
|
на |
d{f)/. |
jj |
W a„at, |
обла |
другого функционала |
|
|
|
|
|
|
дающего этими двумя свойствами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В дальнейшем мы будем всегда предполагать, что |
каждая |
преобразуемая |
|
по |
Вейерштрассу обобщенная |
функция |
/ |
может быть |
|
расширена |
указанным |
образом |
до функционала Д , но будем обозначать Д просто через /. При таком условии мы имеем следующее утверждение:
для каждой преобразуемой по Вейерштрассу обобщенной функции существует единственный непустой интервал
(ö i, |
g 2), |
такой что f имеет непрерывное линейное сужёние |
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на W |
|
|
|
|
и не определена на пространствах W (w, z), |
если |
|
либо |
и; < |
, |
Оі либо |
z |
> |
о2. |
|
преобразование Вейерш- |
трасса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ö j |
, <з2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь мы можем определить |
|
|
|
|
мой |
|
по |
2В |
обобщенных функций. |
Для данной преобразуе |
|
|
Qf- |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вейерштрассу |
обобщенной функции / областью |
определения |
|
|
преобразования 2В/ мы назовем множест |
во в |
|
|
определенное следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qf |
= {<s: О]. < Re |
s |
< |
a2} . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
