Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 174

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Здесь,

как и выше,

а1л

и з2— точные нижняя и верхняя

грани

 

 

 

 

абсциссами сходимости

для

Л?; они называются1

 

 

 

ЗВ/. В п.7.2мы отмечали, что для каждогоW ' (о фиксированного

s

 

Cif

к (s

 

 

 

 

 

есть элемент

Wее

 

ядро преобразование— т, ) какВейерштрассафункция т

 

(зь

б2). СледовательноF,

если /ЕЕ

і,

о2),

мы можем

определить

 

 

 

s

 

ЗВ/

функции

/ как обычную функцию

 

 

 

 

( ) на Q/ формулой

 

(1)

 

 

 

F ( s)^ (3 B / )(s)=^</(t), A:(s -

t , 1)>,

s e ß / .

В дальнейшем везде,

где мы будем писать ЗВ/,

под / сле­

дует понимать преобразуемую по Вейерштрассу обобщен­ ную функцию, которая продолжена указанным выше образом.

1

 

Обычное преобразование Вейерштрасса (п. 7.1, ра­

венство

(4))

является

частным

случаем

преобразования,/4

( ) обобщенных функций, если

/ (т) — такая

тлокально

интегрируемая

функция, что

выражение / (т)/е

pU)b

(т)

абсолютно интегрируемо на

— оо < ; т <

оо для каждого

а

<

щ

 

и

каждого

b

<

о2.

Это

утверждение непосредст­

венно следует из свойства V п. 7.2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Связь между преобразованиями Лапласа и Вейерш­

мойтрассапоустанавливаетВейерштрассу

обобщенной функцией с областью

 

 

Т е о р е м а

7.3.1.

Функция

/ (т)

является преобразуе­

определения

(s :

< Res

<

а2}

для

 

(ЗВ/) (s)

 

тогда

и

обобгценная

 

 

 

 

 

2/2

 

только тогда,

когда e~~‘Af

 

 

преобразуемая по Лапласу

 

 

 

z

 

 

функция с областью определения {z

 

случае

<

 

Re

<

— 3]/2}

для

 

(т) —

 

 

 

В

ътом

 

 

 

 

[2е~т!/‘/(т)] (z).

°і <

 

: — з

 

(2)

 

 

(ЗВ/) (s) =

 

 

[Ü e -^ f (т)] ( -

i p ) ,

 

 

Re s <

а,.

 

2

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Первое

 

утверждение следу­

ет непосредственно из теоремы 7.2.2.

 

С другой

стороны,

( ) можно получить непосредственным вычислением с использованием равенства (7) из п. 7.2.

В силу этой теоремы ряд свойств преобразования Лап­ ласа может быть перенесен на преобразование Вейершт­

расса. Например, теоремаПустьаналитичностиF

длядля преобразо­

вания{s :

Вейерштрасса имеетТогдаследующийфункция F вид.аналити чна в

Т е о р е м а

7.3.2.

(s) = ЗВ/

s £ ^ =

=

<С Ros <

а2}.

(s)

264

области определения О., и

D mF (s)

=

</(т),

D f = k{s —

т, 1) >,

s

GE й л

іи

= 1 ,2 , 3, ...

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Функция

F

s

(3)

 

 

( ) аналитична

в области й/, так как правая часть (2) в ней аналитична согласно теоремам 3.3.1 и 7.3.1. Равенство (3) может быть получено из (2) и равенства (5) и. 3.4 посредством

несложных

 

выкладок.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично, теорема 3.5.1 преобразуется с помощью

теоремы 7.3.1

в теорему2

 

обращения для

преобразования

Вѳйерштрасса. Действительно, полагая

z =

—

s!

2,

мы мо­

жем переписать^f(x)](z) =

(V)^вe *видеF ( - 2 z ) ,

 

 

- f <

R

e

z

<

- ^

- ,

(4)

[2e-F = ЗВ/.

 

Применяя2

 

 

 

 

 

где

 

 

 

s —

 

 

 

формулу

обращения

 

(теорема

3.5.1) к последнему равенствуПусть ЗВи/

 

производяF (s) при

замену пере­

менной

 

 

 

—

z, мы приходим к следующей теореме.

 

Т е о р е м а

7.3.3.

 

 

 

 

 

 

=

 

 

Тогда

<С R es <

<С

а2

и

г

—

 

действительная переменная.

в смысле

сходимости в 3)'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г-*оо і У 4 я

o-j-ir

 

 

 

 

 

ds

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ (т) =

 

о^

J .F

(s) e(s-x)2''4

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

—

 

 

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—гг

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

lim

 

\

F (а

+ ісо)

к

(со +

іх — іа,

1) dco,

 

 

(5)

где

а

 

 

 

 

 

 

 

Г —» о о

 

—Г

 

 

 

 

 

действительное число,

та­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

— любое фиксированное

 

кое,

что

 

<

 

а

<<

 

а2.

Вообще говоря,

мы можем перейти

к пределу

при

г

 

 

оо

независимо в верхнем и нижнем

пределах интегралов; см. задачу 3.5.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СледствиемF s) притеоремыs

7.3.3.и h

являетсяН (s) при

s

 

 

 

 

 

Если

множествоТ е о р е мQfа

 

 

 

 

(теорема единственности). Пусть

Q7.3.4h не пусто и F

s)

 

H(s)

при s

 

 

 

 

33/ =

 

то(

 

 

 

 

к

в

 

6 Е

 

£2/

 

 

33

=

 

 

 

 

 

 

ЕЕ £2/,.

 

 

р|й,„

 

 

 

/ =

 

 

 

смысле равенства в W' (w, z),

 

 

ge

 

 

 

 

 

 

 

 

где интер­

 

 

 

 

zП образован

пересечением множества

Й/ П

вал

w

 

а

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

■ <

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Й/ (~|

ПЙЛ с действительной осью.

До к а з а т е л ь с т в о . Согласно формуле обраще­

ния (5), в которой мы выбираем

а

так, что

w

■ <

а

< z, оба

элемента / и

h

должны соотносить одинаковые значения

 

 

 

 

 

 

 

 

265

каждой функции cp е 25. Но 25 плотно в W (w, z), и по­ этому / и h должны соотносить одинаковые значения каж­ дой ф Е # (w, z).

Окончательно мы можем охарактеризовать преобра­

зования Вейерштрасса Дляна основетого ихчтобыростафункция, сформулироF s)­

вавбыласледующуюбы преобразованиемтеорему. Вейерштрасса обобщенной функ­

цииТ (есогласноо р е м аопределению7.3.5.

1

 

и чтобы соответствующая(

облаетъ определения имела вид Q,j —

{s : зх <

Res < б2},

на на

 

Q] и для

каждой

выбранной

 

 

 

 

 

чтобы F

 

 

была

аналитич­

необходимо и достаточно, ( ))

 

 

(s)

 

 

 

{s :

а

В такой, что

6

 

6

 

 

 

 

 

 

<5 R е s ^ і } Й/ ( t < а <

 

< а2)

 

подобласти

 

 

сугцествовал

полипом

для а

 

I F

(о

-I- іо)

I <

е“*-ч

В (I

со

I

)

 

 

 

^

Re s ^

Ъ.

 

 

 

 

 

 

 

 

Полином В , вообще говоря, зависит от

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

выбора а и Ъ.

Эта теорема получается также при объединении тео­ ремы 7.3.1 с аналогичным результатом для преобразо­ вания Лапласа, а именно, с теоремой 3.6.1.

Теоремы 7.3.4 и 7.3.5 доказывают, что при любом вы­ боре öl. и з2 обобщенное преобразование Вейерштрасса есть взаимно однозначное отображение W (ог, з2) на пространство функций, аналитических в области {s : с1<; Re s <С о2) и удовлетворяющих условиям роста, сформу­

лированным в теореме 7.3.5.

За д а ч а 7.3.1. Показать, что преобразуемая по Вейерштрас су обобщенная функция может быть продолжена способом, описан­ ным в начале этого пункта.

За д а ч а 7.3.2. Доказать теорему 7.3.2 непосредственно, не прибегая к теореме 7.3.1.

За д а ч а 7.3.3. Доказать теорему 7.3.5.

За д а ч а 7.3.4. Пусть х СЕ ЗѴ- — фиксированная точка. Дока­ зать, что отображение ср (т) і—» ср (т -f- х) осуществляет изоморфизм

t^'a+x,b+x.HSLt?â'a, b. Далее, полагая, что 2В[/(т)] = F (s) при s е Q/,

вывести следующую формулу преобразования операции:

2В [/ (т — х)] = F (s — х), s — X е . Sif.

З а д а ч а

7.3.5.

Полагая, что 2В / =

F (s) при s 6Е Q/, выве­

сти следующую

формулу преобразования

операции:

Ж [Л ?/ (т)] =

(.), s е fi7, т = 1, 2, 3, . . .

З а д а ч а

7.3.6.

Доказать, что дифференциальный оператор

т— 2 является непрерывным линейным отображением Iff" (іо, z)

вW (ш, z). После этого установить следующую формулу преобра-

266

зовапия операции, в которой F (s) = ЭЕ/ при s £Е Qf.

 

 

[SB (х -

2jDt) / (X)] (*) =

sF (s),

s e

ü #.

 

 

Опишите применение

операционного исчисления для решения диф­

ференциальных

уравнений

вида

 

 

 

 

 

 

 

 

Р (t

— 2 £ т) u (t )

= g (X), — оо <

X < оо,

 

 

где Р — полином, g е

Iff"

(сц,

о2) и и — неизвестная функция.

З а д а ч а

 

7.3.7. Используя операционное исчисление, ука­

занное в предыдущей задаче, найти преобразуемую по Вейерштрас-

су обобщенную

 

функцию и (х), которая удовлетворяет дифферен­

циальному

уравнению:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ (х — 2Д ,) а + а 2] и (х) = б (х),

 

 

 

где а — комплексное

число. Можете ли вы найти другое решение?

З а д а ч а

7.3.8. Сформулируйте

необходимые и достаточные

условия того, чтобы функция

F (s) была преобразованием Вейѳр-

штрасса

преобразуемой по Вѳйерштрассу

обобщенной

функции

/ (t), которая сосредоточена на полуиптервале Г

 

£ < оо (Г >

— оо).

З а д а ч а

 

7.3.9.

Доказать следующее

утверждение.

Пусть

2В / = /•' (s)

при

s éE &/•

Выберем

три фиксированных

действи­

тельных

числа

а, а и Ь в Qf таких, что а <

а <

Ь. Возьмем поли­

ном Q (s), который не имеет нулей при а ^

Re s ^

Ь и удовлетворяет

при некоторой

постоянной К

неравенству

 

 

 

 

 

 

 

?{»)<?

к

 

а <

Re s <

Ъ.

 

 

 

Q(s) ^ I

S

I2 ’

 

 

 

 

 

 

 

Тогда в смысле

равенства в W

 

(а, Ь)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о-ріоо

I M . eU-rg/4 d

 

 

f{ t) =

Q { x - 2 D x)

 

 

а —stoo

 

 

 

 

Q (*)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

представляет

собой

обобщенное дифференцирование

в

W (а,Ь),

а интеграл

сходится

в обычном смысле к непрерывной

функции,

порождающей регулярный элемент W

(а, Ь).

 

З а д а ч а 7.3.10.

я-мерное

преобразование

Вейерштрасса

мо­

жет быть построено на основании результатов п. 3.11.

 

В этой задаче мы используем обозначение:

 

 

еаг2 = ехр (яг2 + . . . + аг2),

еа” = ехр (ягіХі + . . . + ягпХп),

где г е <#n, X е д і п и о £ Ä х. Мы говорим, что / — преобразуе­ мая по Вейерштрассу обобщенная функция и что ее преобразова­ ние ЯВ / имеет область определения Qf а с8п тогда и только

тогда, когда e~T^4/ (х) является преобразуемой по Лапласу обобщен­ ной функцией, причем область определения для / (х) имеет

267

впд { s :

—s /2

6E ß/}.

В этом случае определим (2В /) ( s )

формулой

 

 

(SB/)

(S) =

e-s’M

[2 < гт='4 / (t ) ]/-----[ 2s~ ]\’

5 e

ß/.

 

 

 

Воспользовавшись

результатами п. 3.11

и

особенно

задачей

3.11.9,

определить гс-мерные аналоги теорем 7.3.2, 7.3.4

и 7.3.5.

7.4. Другая формула обращения

равенством

(5) в

Формула обращения,

определенная

ц. 7.3,

показывает,

что любая преобразуемая по

Вейер-

штрассу обобщенная функция / (т) является пределом в

3)'

при г —V оо

обычных

функций, зависящих от параметра

г

и имеющих видТ

 

 

 

1) dco.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—^Г F (а -f- ісо) к (со + іт — із,

 

 

 

Здесь F (s) = 2В/ при s G Й/ и о — любое действительное число из Q/. Теперь мы вынуждены использовать поня­ тие обобщенного предела, так как интеграл не всегда сходится в обычном смысле, когда г стремится к оо.

Можно получить і (т) и другим способом, а именно, как предел в 55' направленного множества обычных функ­ ций. Для этого нужно заменить интеграл, приведенный выше, интегралом

 

СО

F (о -f- ісо) к (со + іх — іа,

 

 

 

 

—^оо

t) da

 

 

и затем

перейти к

пределу при

t

1 — 0. Последний

интеграл

сходится

для каждого положительного

t <Z 1

,

 

что следует из условий теоремы 7.3.5 и определения ядра

к. Наша цель в этом пункте состоит в том, чтобы дока­ зать следующую формулу обращения для нашего преоб­

разования

Вейерштрасса

обобщенных функций, в

кото­

рой под сходимостью понимается

сходимость в

3)':

 

/(т) =

(-lim

----- ___ ■

а-{-іоо

 

 

 

=

 

 

 

о

(— ioo

 

 

 

 

 

 

 

»i-о

i

\

 

J

F (s) e ^ -W d s

 

 

 

 

 

V 4лі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

F

 

-\- іа) к

 

 

іа, t) da.

 

 

 

=

lim

 

\

(з

(со Д- іт —

(1)

 

 

 

1—0

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(-*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

268

Смотрите также файлы