Эта формула была выведена Хиршманом и Уиддером [1] для определенных классов обычных функций и мер, при чем предел понимался в обычном смысле.
Начнем с трех лемм.
|
Л е м м а |
|
7.4.1. |
Пустъ |
/ (т) £ : |
W a,b |
ф (я) — |
глад |
|
|
|
|
|
, |
|
кая функция па конечном замкнутом интервале А |
^ |
х |
^ |
В и |
|
х)Ѳ:(т, |
х) — гладкая функция |
|
|
|
пустъ |
|
в области |
причем |
{(т, |
|
— оо < |
т < о о , |
|
|
|
|
|
|
|
такая, что для каждого неотрицательного целого р |
|
|
|
|
1іга ехЩра> ь(т) D?0 (т, х) = |
0 |
|
|
(2) |
|
Тогда верны|т|-к» |
х |
В . |
|
|
|
|
|
|
равномерно на |
А |
|
|
|
|
|
|
следующие |
три утверждения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ) |
|
|
|
л |
5 |
'I’ (‘т )d0х (ет ’ х |
) |
ь» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2)</ (т), 0 (т, .т)> — непрерывная функция па А <1 х ^
<В ,
|
|
в |
|
|
|
в |
|
|
|
3) |
<(/(*), ^ ■ > { x ) Q { x , x ) d x y = i)j ^{x)<J(x),Q(x,x)ydx. |
|
|
А |
|
|
|
А |
сначала, |
(3) |
Д о к а з а т е л ь с т вво . |
Отметим |
что |
— гладкая |
I (т) = ^ ф (я) Ѳ (т, х) dx |
дифференци |
функция |
рт и 0поэтому, , |
ее можно |
ровать |
под |
знаком |
интеграла2 |
любое |
число |
раз. |
Кроме |
того, для каждого |
= |
1 |
, . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ха, ь, р Гl a5 Ф(*) Ѳ(И х ) d xj\ = |
в |
|
|
(И х ) d x < |
|
|
= |
sup |
ет1/4Ра,Ь (t) |
5 Ф (я) |
|
|
|
< |
—оо<Т<с© |
|
4 |
ъ |
(т) |
А sup | Н?Ѳ (т, |
х) |
|]. |
§ | ф (я) | dz sup [еТІ/ ра, |
|
|
|
|
—со<т<со |
|
|
|
< х < В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последнее выражение в силу условия (2) конечно, тем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
самым |
утверждениеАх, |
|
1) |
доказано. х |
ЧтобыАх |
доказать |
2), |
зафиксируем точку |
х в |
замкнутом |
интервале |
[А , В |
] и |
возьмем |
такое |
|
|
чтобы точка |
+ |
|
принадлежала |
{А, В ]. |
Мы установим, |
что функция </(т), Ѳ(х, т) > |
не |
прерывна на |
А |
^ |
X |
^ |
В , |
если докажем соотношение |
|
|
|
|
Ѳ (т, |
X |
-f- |
Ах) |
— Ѳ (т, |
х) |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в W а>ь при Ах 0. Принимая во внимание (2), мы при заданных е > 0 и неотрицательном целом р можем вы брать Т столь большим, что для всех |т| > Т и всех до пустимых Ах будем иметь
I в^ р „, Ь (Т) D? [0 (Т, X + Ах) - 0 (т, X ) ] I < L . |
(4) |
Зафиксируем это значение Т. Так как левая часть фор мулы (4) является функцией, непрерывной в (т, х)-плос-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кости, то при |
Ах — 0 она стремится кWнулю |
равномерно |
на |
— |
Т |
^ т |
Т . |
Таким |
образом, разность |
0 (т, |
х + |
+ |
Ах) — 0 (т, |
х) стремится к нулю в |
|
а,ь |
при Ах — 0. |
|
Утверждение 3) мы докажем используя суммы |
Рима |
на |
для |
|
рассматриваемых |
интегралов. |
Положим |
X |
= |
= |
В |
— |
А . |
F chh мы покажем, что при |
m |
— оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится в W а, ъ к I (т), то мы сможем написать
( і |
(*), |
і |
тп |
Щ |
Ѳ ( |
т |
, |
а |
+ |
Щ у |
-* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- > < \ / ( т )> |
в |
|
|
|
|
> m—> ос |
|
|
|
|
|
5 ф ( * ) ѳ (т-х) dxy |
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С другой стороны, мы можем применить / (т) почленно к сумме в левой части формулы (5). В силу утверждения 2) результат стремится к
в
$ Ф (*)</(т), Ѳ(т, х)> dx
А
при m —>“ оо. Утверждение 3) тем самым будет доказано.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Во |
|
всех |
дальнейших |
рассуждениях |
|
р |
фиксировано и |
X) ф |
0. |
(Если ф |
(х) |
= |
0, |
то доказательство |
очевидно.) |
Ф ( |
|
|
|
Положим |
(т, |
|
|
|
|
|
|
(г) - |
|
|
(т, ш)]. |
|
|
|
|
|
|
II |
т) А e**pa>bD l \І |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
Мы должны |
показать, |
что |
|
(т, |
т) |
|
стремится |
к нулю |
при |
т |
|
|
|
оо |
2равномерно |
па — |
оо < ; т < |
оо0. |
В |
силу со |
|
Т, |
|
отношения ( ) для любого |
заданного е "> |
существует |
такое |
|
|
что при І т І ^ Т и Л ^ х ^ і ? |
будем иметь |
|
|
|
I е ^ р а, ь (X) D*Q (т, X) I < |
I [ 51Ф (X) | dar] |
\ |
Следовательно,
sup I
Далее, для всех тп справедливо неравенство
sup I е^4ра, ь(т)вD l J (т, тп) I < |
|
|
М>т |
|
|
< І [ $ I 'l’ (*) I d x |
Ѵ2= 1 |
(6) |
Кроме того, существует такое тп0, что для всех т > т0 правая часть (6) ограничена величиной 2е/3. Таким об разом, для т > т0 и | т | > Т имеем | Н (т, тп) | < е.
Далее, пусть
К А sup Ів-'Ѵлр ь(тг)|.
|
Тогда при |
I т I ^ |
Т |
|
|т|<Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■ Н (X, тп) I < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
< К\ ^ф (X) DlQ (X, X) dx - |
|
- А 2 |
Ф ( Л + |
^ ) о Ц х , |
А + ^ ) . |
|
А |
|
|
|
|
|
Ѵ =1 |
(т, |
х) |
равномерно |
непре |
|
Поскольку |
функция ф (а:)D?0 |
|
|
рывна для |
всех |
(т, |
х), |
удовлетворяющих |
условиям |
|
тп > тп-х |
|
|
|
|
то существует такое |
тпг, |
что |
|
Т. |
|
|
|
|
|
правая часть (7) ограничена величиной |
|
для всехТ |
т |
|
е на — |
|
Это |
|
завершает доказательство. |
|
|
Л е м м а |
7.4.2. |
Пустъ |
ЗВ/ = |
|
F |
s |
|
при |
|
s |
ЕЕ |
~2/ |
= |
|
|
и |
|
|
|
0 |
( ) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ах |
|
|
|
|
a2} |
пустъ t |
и а являются |
фиксиро |
ванными действительными числами, |
|
|
t<C. |
|
|
|
|
а |
|
|
|
Для= (s |
любого: < Re ,s-< |
|
|
любого |
компактного |
|
подмножества |
S |
из |
|
можно |
выбрать |
|
положительные<; |
|
числа, < ; |
ші |
<и |
|
б2.>2 |
— ü ) I |
|
СО |
для8 > 0 |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
так , |
что |
|
всех |
|
і |
е |
З, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( $ |
+ |
\)k{a + |
ix — іа, t) |
</(т), |
/с(а + |
іа |
— т, |
1 |
)> dco| < е |
|
—ОО |
|
COj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и одновременно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— <л)« |
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/\ / (т), |
' ( j) + |
|
к |
(со + |
іх — іа, t) к (а + іа — х, 1 |
) |
d a \ |
< е. |
СО* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д оa к а bз а тo2,е л ь с т в о . |
Согласно |
теореме 7.3.5 |
|
(9) |
в, |
для |
принадлежащего |
полосе |
{s : |
а |
|
< |
Res |
|
= |
а |
|
|
b}, |
где |
Gi <C |
|
<C |
< |
|
|
|
имеем |
іа) | < |
|
|
|
|
e“* d-ь т в (I со |
I), |
|
I к (со + |
ix - |
ia, |
t)F(a + |
|
У 4nt |
где В — полином. |
|
Неравенство |
(8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 10) |
|
следует непосредст |
венно из (10). Чтобы установить (9), заметим сначала,
что мы— |
можем |
дифференцировать |
|
|
CÜJ |
+ |
ОО |
^ (ю + іх — іо, t) к (а -|- іа — X, 1) da |
(11) |
(' ----SСО |
(О5)* |
по т под знаком интеграла сколько угодно раз, так как при т, принадлежащем замкнутому интервалу, из соот
ношения |
(2) и. 7.2 следует неравенство |
|
(0 |
I |
к |
(со + |
ix — іа, t) D%k(a |
+ |
іа — x, |
Hq |
^ |
|
|
|
|
1) | ^ e“*(i-i/o |
|
где Q — полином, зависящий от х, t, а и упомянутого выше интервала изменения т. Таким образом, каждое дифференцирование по т выражения (11) под знаком ин теграла приводит к интегралу, который сходится равно мерно на каждом замкнутом интервале изменения т.
