Дифференцируя (11) по т под знаком интеграла р раз и используя снова равенство (2) п. 7.2, мы получим
— <*>1 оо
4 |
|
|
^—со + |
|
к {л + |
іх — |
іа, |
t) к |
(а |
+ |
|
т |
— т, |
|
l)da> < |
ет*' Ра,ь (*) Ö? |
jj) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
„ ( Х - П ) І ’4( |
|
|
|
|
ьМ 7?ѵ(I г I) X |
|
|
|
|
|
|
< |
еу — 2* |
|
|
|
|
|
|
(12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
— С01 |
+ |
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J е“2<1-1/')/4^(|й)|)^о. |
|
|
|
|
|
|
|
|
—оо |
|
5 |
|
|
|
|
R v |
|
|
|
|
|
|
|
Здесь 2* |
означает |
|
|
|
ü)a |
|
|
|
|
|
|
и 5 Ѵ обозначают |
2конечную сумму,от2 |
одночлены, |
а |
|
С\ |
— постоянные, |
зависящие |
от |
а. |
|
|
|
|
t При |
а і < я < б < й < а |
|
|
функция |
|
|
е |
|
|
ра ,ь |
М Л |
ѵ (| т |) |
ограничена |
на — оо < |
т < |
|
оо. Далее,Wесли |
0 < |
|
< |
1, |
то интеграл в правой части |
12(12) конечен. Поэтому выраже |
ние (11) как функция т принадлежит |
|
аЛ. |
Кроме того, |
интеграл02 |
в правой части ( |
|
) |
может быть сделанх |
|
произ |
вольно малым, |
если |
выбрать |
достаточно |
|
большие ші и |
) - К силу свойства III п. 7.2 |
и ограничений на |
|
это до |
казывает |
формулу |
(9) |
и, следовательно, лемму 7.4.2. |
со Л е м м а |
|
7.4.3. |
|
Пустъ |
х , |
а, |
|
t u |
|
x |
— |
фиксированные |
действительные |
числа, |
причем |
|
|
< |
|
t |
|
< |
1 |
. |
Тогда |
|
|
|
^ к (со -+ |
іх — іа, t) к (а + ісо — т, |
|
1) do = |
к (х — т, 1 — і). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13) |
Д о к а з а т есол ь с т в о . Начнем с хорошо известного |
преобразования Фурье |
|
|
|
|
|
(/4яе_І>,/4. |
|
|
|
|
|
(14) |
|
|
|
— ^СО |
е—І/Ѵ4е—і-чм/аdy = |
|
|
Земанян |
(Относительно |
вывода |
этой |
формулы см. |
[1], |
стр. 180—181.) |
Положим |
|
і4 |
і |
|
( ^ |
|
|
+ |
|
б - t ) . |
|
|
(15) |
^ = |
|
|
|
|
|
|
Л = ] / |
|
|
|
|
|
|
После умножения получающегося соотношения на |
|
|
4л V 1 — I |
ехр { і |
|
|
|
|
)2 |
|
|
(а - |
|
т)2]} |
|
|
|
|
|
■ (* — а |
|
|
|
|
|
|
|
и некоторых упрощений получим равенство |
(13). |
Теперь |
мы, наконец, готовы |
доказатьПусть Fформулуs) = |
|
|
|
|
|
1 |
обращенияпри s (Е Qf (=) |
для— |
преобразования ВенерштрассаПустъ а обобщенныхлюбое фиксированфункций. |
ное |
Тдействительноее о р е м а 7.4.1.число, такое, |
(что агЗВ/ |
|
|
|
|
Тогда |
|
|
{s : Oi <1 |
|
Res < |
ö2}. |
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
формула |
|
|
справедлива в смысле сходимости в 3)'] другими |
словами, |
для каждого |
ср |
ее |
3) |
|
|
< |
|
о < |
б2. |
|
|
|
|
|
оо |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
\ |
к |
(со + |
іт |
— іа, t) F (а |
4- ico) dco, ср(т)/= </ (т), ср (т)>. |
|
1-0 |
-со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
(16) |
'-* |
ДЪо, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
к а з а т е л ь с т в о , Формальноа а |
доказательствоЬ |
проводится |
следующим |
|
образом. |
Для 0 < |
t |
< |
1 |
|
и для |
|
и |
|
выбранных |
так, |
|
что сц < |
< |
< |
|
< |
б2, |
|
имеем |
|
00 |
|
(со -f- |
|
|
— |
|
|
|
|
-f- ico) dco, |
|
= |
|
|
|
|
|
(17) |
|
|
|
к |
|
ix |
іа, t) F (а |
x)y> |
|
|
|
|
|
|
—oo oo |
|
|
— ia, |
|
|
cp ( |
|
|
|
|
|
=-• |
|
----^СО к (со -f- ix |
t) </ (т), к (а ф- i:о — т, |
1)) dco, ср (х)^>= |
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(18) |
=<^<(^/ (т), ^ к (со -|- іх — іа, t)k(a -j- ico — x, 1) dco^>, cp (x)^>=
— oo
|
|
|
= <Ф |
(x), |
</ (t), |
k(x — X, |
|
1 — i) » = |
(19) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(20) |
|
|
|
|
|
|
= |
|
</(т), |
<ф(я), |
k(x — X, |
1 — 0 » - |
(21) |
Поскольку |
/ ЕЕ |
W'a.b, |
то для завершения доказательства |
достаточно |
показать, |
что |
X , |
|
|
|
t) |
|
|
|
|
в |
|
|
ПРИ |
<ср (ж), |
к (х — |
1 — > |
ср (т) |
|
W |
|
— |
|
0 . |
|
|
|
а , Ь |
t |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1выкладок на каждом |
|
Теперь мы докажем законностьt, 0 |
|
шаге этой формальной процедуры. Из формулы (10) видно, |
что при фиксированном |
|
< |
і < |
|
|
|
|
, интеграл |
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
іх — іа, |
t) F (а + |
ico) d:о |
(22) |
|
|
|
|
----^OO к (со + |
сходится равномерно по х на любом компактном множестве и является непрерывной функцией х. В силу теоремы Коши
из неравенства (10) вытекает также, что мы можем менять значение а в интервале ах < а < с2, не изменяя (22) как функцию X . Таким образом, выражения (17) и (18) имеют смысл как интегралы от произведения функций (22) и Ф (X). Далее, принимая во внимание уравнение (2) в п. 7.2 мы снова видим, что
І ^ Р а . ь ф D*k(0 + |
i:о - * , |
1)1 = |
|
|
|
Р р |
(о + і о - т, 1) |, |
и0)2, |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
ь (т) е” /* I |
|
|
так как а < а < |
Ъ, то эта величина стремится к нулю |
при |т I |
оо равномерно на — соі |
|
|
со ^ |
шг, где соі |
и |
|
— любые |
конечные положительные числа. Таким об |
разом, из леммы 7.4.1 вытекает соотношение |
|
|
|
W, |
к |
|
іх |
|
іа, t) |
|
|
к |
|
Ы |
|
х, 1 |
2 |
|
|
|
§ |
(со + |
— |
</(т), |
(о + |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)>с со = |
|
|
|
—ш, |
|
|
|
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
<(/ (т), |
Сі |
к |
(со + |
іж — іа, і) |
/с |
(а + |
ін — т, |
1 |
) |
• |
|
|
—^ |
|
|
|
Комбинируя это равенство с леммой 7.4.2 и вспоминая, что Ф (х) — фиксированный элемент 25, мы видим, что раз ность между (18) и (19) может быть сделана произвольно малой. Следовательно, функция (18) действительно рав на (19), если Оі < о ■ < а2 и 0 < t < 1.
То, что (19) равно (20), следует из леммы 7.4.3.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее, носитель |
ф |
(х) ЕЕ |
25 содержится |
|
в конечном |
етѴзамкнутом4ра, ь( т ) D^kинтервале(х — X,, например1 — t) = |
, |
А |
<1 |
х |
В . |
Кроме того, |
|
|
|
е-х«/4(1-0 |
ь ’( г ) |
|
|
|
|
|
|
((-1) іж> |
— т, 1 - і Г |
-14F 4ft (1= - <)pa |
е жт''2 Р - Р |
|
|
Так как t/(t — 1) < ; 0 для каждой выбранной пары а я Ь, то эта величина стремится к нулю при |т| -*• с» равно мерно на А X ^ В. Поэтому мы снова можем восполь зоваться леммой 7.4.1, которая утверждает, что (20) рав но (21) нри с1 < Е а < ; & < ; з 2 и 0 < і < 1. В качестве по следнего шага мы докажем, что при t — 1 — 0
<Ф (ж ), к (х — т, 1 — І) > ср (т)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B W'tnb |
ПРИ любых |
а |
и |
Ь. |
Положим |
х = % 2 y Y і |
— |
t |
, |
где т л |
( фиксированы (0 < |
t |
< 1). Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
v te i-ö |
I |
|
e |
|
i |
p |
|
I |
|
e" % = 1 |
(23> |
f |
|
' |
|
7 |
__г» |
|
|
|
|
|
--- OO |
|
диф |
Используя пэто |
равенство и то, |
что ср GE 25, можно |
ференцировать |
|
под |
знаком |
интеграла |
и интегрировать |
но частям |
|
раз; при этом мы получаем |
|
|
|
4 |
ь |
|
D l |
|
|
|
|
к (.X |
|
|
ф |
|
|
|
|
етѴ Ра, |
|
2'4 |
|
|
|
|
00 |
|
— т, |
1 — — ср (т)] = |
|
|
(•ст) |
|
[ <ф (х), |
|
|
= |
y J |
0 i |
i |
|
Ü |
[ф(р) (а:) - |
ф(р) (т)J ехр |
|
d x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
—со |
= h + h + |
/ з , Ф(р)(х) А Dlф ( х ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 4 ) |
Здесь /ь І 2 и /3 обозначают выражения, полученные в ре зультате интегрирования на интервалах — оо < х < < т — S, т — б ^ х ^ т + б и т + б < х < °о (6 > 0)
соответственно.
Рассмотрим /2 (т). Согласно (23) имеем
I 7, (т) I < eTt/)pQ, |
ь |
(т) |
sup |
I ( >(х) — |
< >(т) | < |
|
(у) |
|
|
|
|
|
|
|
ф р |
|
|
|
ф р |
|
|
|
|
|
|
|
|
*—6<x<T-f5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку ф £= 25, |
|
< бе^Ра, |
ь |
(т) т—6sup<у<т+5 I ф(Р+1) |
|
I. |
|
|
|
правая |
часть |
мажорируется |
величи |
В , |
где |
В |
|
|
|
ox t, |
т и |
6 |
(0 < |
f < 1, — оІог< т < ; |
ной б |
6не зависит |
|
|
< оо и 0 < |
< |
|
1). Задавая е > |
|
0, находим, что | |
(т) | < |
|
<в при б = min (1, е / В). Зафиксируем это значение б. Далее рассмотрим выражение
7 х ( т ) “ |
т |
й |
з = |
|
| |
$ |
< р М |
( І ) м р т т |
|
|
|
У 4я (1 — t) |
|
|
|
|
(«-*)» |
dx. |
(25) |
Сделав замену |
переменной х = |
|
ехр 4 ( t - l ) |
|
т + 2у ^ 1 |
— ^ |
получим |
|
|
-8 |
|
t ( ~ - l ) dx |
|
|
—s/а |
Y ~ t |
|
|
|
V |
4л (1 — /) |
т |
|
= Я ~Ѵ> |
^ |
e - y 'd i / - > 0 , |
|
|
5) е х Р |
|
1 |
|
|
|
|
—со |
|
/ -> |
0 |
|
—со |
|
|
|
|
|
|
|
|
- . |
|
|
|
|
|
Так как носительф ограничен, то отсюда следует1 , что0 |
вто |
рой член вJ правой части равенства (25) равномерно стре |
мится |
к |
нулю |
на — оо < ; т < |
оо, |
когдах |
f —>- |
— . |
|
|
Пусть |
x |
(т) |
|
обозначает первый |
член |
в |
|
правой |
части |
(25); предположим, |
что носитель ф ( |
) |
содержится |
в ко |
нечном |
замкнутом |
интервалет2'4 |
А |
^ |
х |
|
В . |
|
Тогда |
|
при |
|
|
^ А |
К |
|
— оо < |
т — б < И имеем |
J x |
(т) = |
0. Пусть |
— постоян |
ная, ограничивающая е |
|
|
ра, ь (т) при |
|
|
^ |
|
т — б ^ |
В. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
\ I9(р) (*) I dx -> |
0, |
|
|
f _> |
1 - |
0. |
|
|
I J x (т) К |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
прн г-э- 1 — 0 величина |
J x |
(т) |
равномер |
но стремится к нулю на |
А |
|
|
т |
ьт—'2б < ; |
В . |
Наконец, |
рас |
смотрим |
область |
В |
< т —t <б. |
< ~оо. Существует |
постоян |
ная |
М , |
такая, что pQ)b (т) < |
Ме |
|
|
при |
В |
< |
|
т — б < |
оо. |
|
|
1, |
то |
|
|
Следовательно, |
если 0 < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1Л (т) К |
т = =(1= = = |
ехр [? |
|
Т |
+ |
|
И |
Г |
= |
% |
|
] |
|
|
|
|
W |^ |
/4л -< ) |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(26) |
Величина |
|
|
|
exp |
|
|
Ьх |
, |
( |
В |
- т Г - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
_1_ |
4(t — |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(27) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) J |
|
|
|
|
|
|
|
стремится к нулю при |т | -> оо^ и имеет единственный максимум в точке
Следовательно, |
существует |
такое |
tx, |
что |
при |
tx |
< |
£ <СІ |
единственный |
максимум |
(27) |
лежит |
внутри |
интервала |
(В |
— б, |
В |
+ |
б). Так как |
|
В |
< |
т — б < |
оо, то, |
|
полагая |
т = |
В |
+ |
б, |
получим при |
tx |
< |
t |
<С 1 |
формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I / і (тг) I < |
М |
ехр |
|
ЬУ- - |
|
Ь (В2+ б)] X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
?• |
|
|
|
„SV4 (г-і) |
|
|
|
|
|
|
Итак, I |
/ і (т) |
x |
) |
l 'pl” w |
|
l * |
: 7 |
S |
i n |
s |
r' |
*^ |
0 '1 - 0 ' |
I |
также сходится |
|
равномерно к нулю при |
t |
-> |
1 — (J на |
В |
< |
т — б < |
|
оо. |
|
В |
целом |
мы |
доказали, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|