что приІ 3 |
|
t->- |
1 — О, Д (т) сходится к нулю равномерно на |
— оо •< т < |
оо. |
Аналогичное |
рассуждение |
показывает, |
что |
(т) также сходится к нулю равномерно на — оо <0 |
< т < |
|
оо при f — 1 — 0. С учетом (24) и наших ограни |
чений на |
І 2 |
(т) |
это доказывает, |
что для каждого |
р |
— |
, |
1, 2, . . . |
|
|
|
|
|
к(х — х, |
1 |
|
|
8 |
|
|
|
Н1т Ха,ь,р[<Ф(я). |
|
|
|
|
|
|
|
- г ) > - ф М ] < . |
|
|
(— |
-0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как е произвольно, то доказательство теоремы 7.4.1 полностью завершено.
|
|
|
|
|
|
|
|
7.5. Задача Коши для одномерного |
|
уравнения |
теплопроводности |
|
|
Обозначим |
через |
ѵ (х |
, |
у), |
где —оо <уі <х.о о и 0 < у <С |
< У, температуру в момент времени |
в бесконечно длин |
ном стержне, расположенномх; |
вдоль оси Таким образом, |
предполагается, что температура изменяется только по |
времени у и по длине |
|
это означает идеальную изоляцию |
поверхности стержня. |
|
Предположим, |
кроме того, что ма |
териал стержня однороден н что в стержне отсутствуют ис точники тепла. Дифференциальное уравнение, описываю щее температуру стержня, представляет собой так называе мое одномерное однородное уравнение теплопроводности
v.D\v (х, у) — Dy V (х, у), |
— оо < |
X |
< оо, 0 < |
у |
< У . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
Здесь % — положительная постоянная, зависящая от свойств материала стержня. Задача Коши для уравнения (1) состоит в нахождении решения ѵ (х, у), удовлетворяю щего начальному условию ѵ (х, у) при у = 0. Более конк ретно, пусть температура при у = 0 задается распределе нием g (X), имеющим следующее свойство:
1)существует положительная постоянная А , такая,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что |
g (Ах) |
GE |
W (w, z |
|
|
w |
и некоторого |
z. |
|
|
|
) для некоторого |
|
|
Здесь |
g (Ах) |
|
обозначает тот |
единственный |
элемент из |
W ' |
(w, z |
сужение которого на |
3) |
задается |
соотношением |
|
|
), |
|
(см. |
|
ig(Ax), |
|
ф(х)> ^<(g(x) , -ijtp (^ Р > , |
Ф (*)е35 . |
(2) |
Земанян [1], стр. 27). В качестве начального условия |
мы потребуем, |
чтобы температура |
ѵ (х, у), |
рассматривае |
мая |
как распределение на — о о < а ; < ; о о |
и |
зависящая |
параметрически от у, сходилась в 25' к g (х) при у -к -|- 0. Как мы увидим, свойство 1) позволяет нам использовать преобразование Вейерштрасса обобщенных функций для
|
нахождения |
ѵ х |
у). |
Более того, |
ѵ (х, у), |
как выяснится |
|
( , |
|
|
|
х |
|
|
|
далееА ., является гладкой функцией |
для каждого |
Афикси |
|
|
Y |
|
рованного |
у |
при 0 < |
|
у |
< |
Y , |
причем |
|
зависит от величи |
|
ны |
Y |
Если условие 1) выполняется для каждого |
)> 0, |
|
то |
можно положить равнымg (оох) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
го |
Воспользуемся следующим результатом классическо |
|
анализа: |
если функция |
|
|
удовлетворяет подходя |
|
щим ограничениям, |
то |
ѵ (х, у) |
задается интегральным пре |
|
образованием |
|
|
|
( ? |
|
|
„ - ( * - < 1 ) 7 4 X 1 / |
|
(3) |
|
|
|
|
|
ѵ ( х , у ) |
|
= |
\ g (ц) |
|
^— |
dp. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
У |
4лхѵ |
|
|
|
— со
Ядро (3) представляет собой функцию Грина нашей зада чи. Более того, (3) может быть преобразовано в интеграль ное преобразование с ядром к (а — т, t), если нормировать переменные следующим образом. Пусть а — фиксирован ное действительное число, удовлетворяющее неравенству 0 < а < А ; положим
р = ат, X = аа, у = — t, и (о, t) = ѵ (х, у). |
(4) |
Итак, %и а — нормированные пространственные перемен ные, а t — нормированная временная переменная; тем пература теперь обозначается через и. Дифференциаль ное уравнение (1) переходит в
Di u {а, t) |
= D t и (а, t), |
(5) |
а начальное условие в |
в Ю' при £->- + 0. |
(6) |
и (о, t) |
g (аз) |
Наконец, обобщенный аналог выражения (3) с учетом за мены переменных по формуле (2) имеет вид
V (х, у) = и (б, t) = <g (ат), к (а — т, t) >т, 0 <
< а < А . (7)
Индекс т в конце этого выражения указывает, что т — независимая переменная для основной функции к (а—т, і); таким образом, а, a m t могут рассматриваться как па раметры. Ограничение на т/, указанное в (7), гарантирует
выполнениеg (at) W ' |
|
условия |
0 |
< |
t |
|
1 |
, |
так |
что |
к (а |
— т, |
|
/.) £Е |
GE |
W |
(— оо, |
|
оо). Ограничение на а приводит к тому, что |
|
|
|
€Е |
|
|
|
(— °°, |
ооПусть); это функциябудет |
доказаноg |
2)'в следуютакова, |
щейчто gлемме. |
|
СледовательноW ' (w, z) при, |
некоторомвыражениеположительном(7) имеет смыслА ,. |
|
|
Л е м м а |
|
|
7.5.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ла) |
е = |
|
|
|
|
|
|
|
z. |
|
Если |
0 <; а < |
А , |
то |
некотором |
|
ш и некотором |
|
g |
( а а ) е |
|
W |
|
|
(— о о , о о ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
|
|
По определению (2) для лю |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
бого ф ее |
|
|
справедливо равенство |
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
<g |
(аа), |
Ф (а)> = |
|
<£ |
{Аа), |
|
ф (гб)>, |
|
|
|
|
|
( ) |
где |
г — |
Л/а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W1.cAМы покажем |
сначала, что праваяd |
часть |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
( — оо, |
оо) |
(например, |
( ) имеет смысл, когда ф (а) £Е |
|
|
когда |
ф (а) е |
|
|
для |
некоторого Wс Ctd,]> —Wооа,иь |
< |
|
оо). |
Для этого мы сначалаа, Ъ, с |
|
докажемd. |
, |
что ф (а) |
>->- |
гф (гб) |
|
есть |
непрерывное линейное отображение |
|
(га) в |
|
|
|
|
при лю |
бых значениях |
|
|
и |
|
Учитывая, |
что б — независи |
мая переменная основной функции ф |
|
и полагая |
|
| = |
= гб, |
мы можем написать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ха, ь, Р |
г — |
|
sup |
|е°Ѵ4ри,(,(з)І>?ф(гб)| = |
[гф (га)1 = |
|
= rp+1 |
|
оо<а<со |
^ ,/4r,pg, „ £/'■ )' |
sup |
|
Множитель в первых квадратных скобках — ограничен ная функция £. Поэтому для любых а, Ь, с и d
Ха,Ъ,Ѵ И (ГО)] < К Xc,d,P (ф (3)],
где К — постоянная, не зависящая от ф; отсюда следует паше утверждение относительно ф (б) ►-+- гф (гб). Поэто му ф (б) н- г ф (гб) есть непрерывное линейное отобра жение W (— ос, с » ) в W (w, z) для каждого w и z. Таким образом, правая часть (8) имеет смысл как результат при менения
|
|
|
g |
(Лб) е |
W |
(w, z) и г ф(гб) е W (w, |
z). |
(абt)) |
<=ЕЕ |
|
|
|
|
|
|
g |
|
Теперь из |
теоремы |
1.10.1 вытекает, |
кчто{а |
|
|
ЕЕ |
W |
(— оо,оо). Лемма доказана. |
|
— т, |
1 |
|
|
{ |
|
|
|
Как |
было |
упомянуто ранее, если |
0 |
2 |
|
|
|
0 |
— |
о о , оо ) |
|
|
|
|
|
|
и |
E E W |
|
|
1 |
для какого-либо положительного ^ |
|
каждого фиксированного |
а, |
то правая часть (7) имеет смысл |
при |
|
< |
t |
|
или, что то же самое, при |
< |
у |
< |
а /х. |
|
|
|
|
Тогда, как и и классическом анализе, оказывается, что температуру ѵ (я, у) в стержне в любой момент времени у
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из интервалау0 < ; |
у |
< |
А 2/к |
= |
|
Y |
можио получить, выбрав |
|
|
А |
|
|
такое а, |
что |
|
аt3/и |
< |
|
2І% |
и затем применив преобра- |
|
|
|
|
зовапие |
(7) |
при |
|
= |
ху/а2. |
Более того, при а = |
У х у |
имеем |
t |
= 1 |
и (7) принимает увид |
преобразования Бейер- |
штрасса обобщенной функции. Тогда согласно теореме 7.3.2 |
при любом |
положительном |
|
|
< |
А 21х |
выражение (7) яв |
|
|
|
ляется гладкой (на самом деле аналитической) функцией
X |
на |
|
— оо |
|
|
< |
|
X < |
о о . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V (хОбратимся, у) |
теперь к доказательству утверждения, что1 |
(7) |
|
дает решение задачи Коши. |
|
Мы можем доказать, что |
|
|
|
Y = |
удовлетворяет дифференциальному уравненшо ( |
), |
где |
|
|
|
А 2/х |
, |
|
показав, |
что |
и |
(а,0 |
t) |
удовлетворяет уравне |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
нию (5) для — оо < |
|
а < У со_ и |
|
|
г < |
|
|
1 |
(где а — любое |
число из полуинтервала |
|
|
ух |
^ |
|
<х < |
А). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прежде всего можно показать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D'aU |
(а, |
t) |
|
<g |
(ах), |
|
D™k |
(а — ха, |
£)>, |
т |
|
= |
1, 2, |
3, ..., |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
временно |
нормировав |
— оо < |
|
< |
|
|
|
о о , |
0 |
< |
t |
< |
|
1 , |
(9) |
|
переменные |
|
так, |
|
чтобы получить |
t |
= |
1 |
|
и использовав затем равенство (3) п. |
7. |
3. Детали мы |
опускаем. |
|
|
|
, |
|
мы установим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D tuВо-вторыхі |
|
>, — оо < з1< оо,10 |
|
|
|
(а, |
) |
= |
<g |
|
(ах), |
D tk |
(а — т, |
t) |
Так |
|
как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О < а < |
|
|
. |
( |
) |
|
D tk |
(а — X , |
|
t) |
= |
|
к |
(а — х, |
t) ^ |
~~ |
|
|
|
2> |
, |
|
(И) |
то (И) |
как |
|
функция х принадлежит |
|
W |
|
(— оо, |
оо) |
при |
0 |
< |
|
|
t <1 1 |
; |
следовательно, |
|
выражение |
|
|
10 |
имеет смысл. |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
Далее, |
рассмотрим |
|
равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и (а, t + М) — и (а, /) |
|
|
<g(ax), D,k{o — X, *)>= <£ (at), 0Д( (x)>, |
где |
|
At ФAt0 |
|
|
|
|
|
|
|
(т) |
|
|
[п| |
|
|
|
|
X, t |
|
|
At) |
|
|
|
|
|
|
|
т, |
t)] — D ,k |
|
|
|
|
Од; |
= |
|
|
к |
(з — |
+ |
|
|
— /с (а — |
|
|
|
|
|
|
|
(а — т, <). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если ^ (ax) £Е W (nb при любых а я b (лемма 7.5.1), то формула (10) будет установлена, как только мы покажем,
