что |
при |
At->- 0 |
справедливо |
соотношение Ѳд( |
(т) |
0 в |
(W |
а, |
ъ |
Для любых а и |
Ь. |
Используя тождество |
|
|
|
|
|
|
|
D\k |
(з — т, |
t) |
= |
D t к |
(з — т, |
t), |
|
(12) |
можно показать, |
|
|
|
|
|
что |
|
|
- |
т,t + |
£)<7£,р = 0,1, 2 , . . . |
|
|
|
|
|
|
A t |
|
% |
|
|
Д?Ѳд, (Т) = -Zt\dl |
Ü |
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13) |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
Зафиксировав |
в интервале 0 < |
|
< |
1, выберем такое |
At, |
что 0 < |
t — |
|Ді| < |
t |
4- |
I Ai I < |
1. |
Тогда из (13) и равенст |
ва (2) и. 7.2 |
мы получимAt |
sup |
|
|
|
|
к (о — т, |
IетѴ4V ь(т) £ |
> |
? Ѳ |
д(, т ) |
К |
|
\е*1'*ра>ь(т)0? |
^ІС К Ід іі
|
* + £) | = Ц Д |
sup |
е х Р [ т[1 - т і |
I' |
Д *2- «(*Ѵ+2 1 5v) J X |
|
^ |
ІСКІД'І |
|
Р«,ь(т) |
P + 4 |
|
’ * + 5 |
(14) |
|
|
X |
/4л (і + £) |
|
|
j
Для IA£| < -5- min (£, 1 — i) последнее выражение огра
ничено величиной М I Аі|, где М — постоянная, не завися щая ни от т, ни от At. Таким образом, если Ді —^ 0, то Ѳді (т) стремится к нулю в W а,ъ, каковы бы ни были зна чения а и Ъ. Следовательно, соотношение (10) справедливо.
То, что и (<з, t) удовлетворяет (5) при — оо < ; з <; оо и 0 < і < 1, теперь следует из формул (9) для m = 2, (10)
и (12).
|
|
Далее, чтобы показать, что начальное условие на |
ѵ (х,у) |
квыполнено(а t), . |
нам |
нужно просто установить |
формулу |
6 |
( ). |
В лемме 7.4.1 заменим |
х |
|
|
|
х |
на ср (з) и Ѳ (т, |
х) |
на |
|
на з, ф ( ) |
, |
к (а |
— т, |
t) |
а ИзжЬ,равенства |
(3) п. |
|
7.2 |
теперьІА, В]видно. |
что |
— т, |
удовлетворяет |
предположениям леммы |
|
7.4.1 |
при любых |
|
0 < £ < 1 |
и supp cp CZ |
|
|
Следова |
тельно, мы можем использовать |
|
эту лемму и написать: |
<и |
(о, |
t), |
ср (б)> = |
<ср |
(а), <g (at), к |
(а — т, |
«)>> = |
|
|
|
Мы |
показали в |
|
= |
<g ( « 0 . <Ф (3) , |
к (ö |
— |
Т , |
<)>>• |
|
( 1 5 ) |
доказательстве |
теоремы 7.4.1, |
что |
при |
t |
-> + |
0 |
|
<ср (з), |
к (з — т, <)>->- Ф (т) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в ^ а , ь Для каждого а и Ъ. Так как g (ах) £Е W a, ъ, то (15) стремится к <£(ат), ф (т)> при t + 0 - Таким образом, начальное условие выполнено.
В заключение укажем на различие между способом применения преобразования Вейерштрасса и преобразо ваний, использованных в предыдущих главах для решения граничных задач. Так как ядро преобразования Вейер штрасса связано определенной заменой переменных с функ цией Грина рассмотренной выше задачи Коши, то мы мог ли применить преобразование Вейерштрасса к начальному условию, чтобы найти решение непосредственно. В про тивоположность этому предыдущие преобразования по рождали различные операционные исчисления, которые были использованы для преобразования дифференциаль ных уравнений с частными производными в дифферен циальные уравнения, где все производные по одной из не зависимых переменных были исключены; обратные пре образования решений полученных дифференциальных уравнений приводили к решениям первоначальных за дач. (Тем не менее читатель не должен делать вывода, что преобразование Вейерштрасса не порождает какого-либо операционного исчисления. Это не так; см. задачу 7.3.6).
З а д а ч а |
7.5.1. |
Доказать равенство (9) |
З а д а ч а |
7.5.2. |
Вывести формулы (12) н (13). |
Г Л А В А 8
П РЕОБРАЗОВАН ИЕ СВЕРТКИ
8.1. Введение |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим обычную сверткуСО |
|
|
|
(1) |
|
F (х) = |
—^ОО f(t)G(x — t) dt |
|
|
|
двух подходящим Gобразом выбранных функций. |
Это вы |
ражение можно рассматриватьобычным преобразованиемкак интегральноесверткипреобрас ядром |
Gзование. |
с ядром |
(х |
— |
і), |
преобразующее |
f (t) |
в |
F (х). |
Мы назовем (1) |
|
|
|
|
было положено |
Начало теории этого преобразования |
Хиршманом и Уиддером в 1947—1949 гг. (см. Хпршмап и Уиддер [1], [2]). Рассматривая ядро G в довольно широком классе функций, они получили например, некоторые фор мулы обращения для преобразования (1.) Кроме того, ока зывается, что для определенных типов ядер G после соот ветствующих замен переменных интеграл (1) переходит в некоторые известные интегральные преобразования, такие, как одностороннее преобразование Лапласа, Стилтьеса и ./^-преобразование. Однако (1) обладает боль шей общностью и охватывает в качестве частных случаев целый ряд интегральных преобразований (Хиршман и Уиддер [1]). В последние годы исследования по обычным преобразованиям свертки составляли важную часть ра бот в области интегральных преобразований (см., напри мер, Блэкман и Поллард [1], Холевински [1], Даунс и Уиддер [1], Дитциан [1], [2], Дитциан и Якимовски [1],
Фокс |
[1], Хаимо [1], Хиршман [1], Самнер [1] |
и Танно |
[ |
1 |
] |
- |
[3]). |
(t). |
|
|
|
В этой главе мы укажем, как преобразование (1) мо |
жет |
быть расширено на обобщенные функции / |
|
Как |
обычно, идея состоит в том, чтобы построить пространства
основных функций, содержащие различные ядра |
G (х |
|
t |
|
— ) |
как |
функции |
t, |
где |
х |
рассматривается |
как независимая |
переменная преобразования. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пространства(t), |
, сопряженные к этим пространствам |
основных функций, состоят1 |
из тех |
обобщенных функ |
ций / |
которые обладают |
преобразованием |
свертки; |
обобщение формулы ( ) принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
F { x) |
= |
</(*), |
G { x |
- X |
0>. |
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пространства основных функций |
|
c, d, |
определенные2 |
в |
гл. |
3 |
, |
удовлетворяют указанным требованиям для целого |
|
ряда ядер и позволяют придать смысл равенству ( ) для весьма широкого класса обобщенных функций / (t). Имен но эти пространства X Ctd мы и будем использовать. Од нако стоит упомянуть, что для некоторых ядер равенству
(2) можно придать смысл и в пространствах обобщенных
функций, более широких, чем пространства X Ci d (в связи с этим см. Земанян [11]).
Мы потребуем, чтобы рассматриваемые ядра удовлетво ряли ряду условий, которые перечислены в следующем пункте. Существование таких ядер доказано в работах Хиршмана и Уиддера [1], [2]. Доказательство этих ре зультатов не просто; чтобы доказать их, нам пришлось бы существенно отклониться от рассмотрения обобщенных функций и просто повторить рассуждения, которые уже имеются в указанной книге. Поэтому мы предположим на личие необходимых свойств; за подробностями относитель
но некоторых |
ядер, |
обладающих |
сформулированными |
свойствами, |
читателю |
предлагается |
обратиться |
к книге |
Хиршмана и Уиддера. |
|
|
F (х), |
|
|
Преобразование2 |
свертки обобщенных функций опре |
деляется в п. |
8.3, причем оказывается, что |
|
х |
задавае |
мая формулой ( ), является гладкой функцией |
при всех |
X . |
В 2п. 8.4 |
показывается, что вещественная формула об |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ращения Хиршмана и Уиддера [1] обращает преобразова ние ( ), если операцию предельного перехода в этой фор муле понимать в обобщенном смысле (например, в прост
ранстве 3)').
Остальная часть этой главы посвящена двум частным случаям, а именно одностороннему преобразованию Лапласа (п. 8.5) и преобразованшо Стилтьеса (п. 8.6). В этих двух пунктах мы воспользуемся результатами, за имствованными из книги Хиршмана и Уиддера.
8.2. Ядра свертки
Основная идея в обращении преобразования свертки обоб щенных функций]
F( x ) = </(<), G ( x - 0> |
(1) |
состоит в следующем. Мы полагаем, что для данного ядра G существует последовательность операторов дифферен
цирования и сдвига {Р п}~=0, которая переводит G (х — t) в дельта-образную последовательность {Gn (х —
G n{X — t)—P nG (x — t). Это означает, что {Gn (х — <)}п=о— последовательность обычных функций, которая схо дится в некотором смысле к дельта-функции 6 (х — t). Это предположение и то, что свертка обобщенной функции /
сб равна /, позволяет нам формально обратить формулу
(4)следующим образом. Рассматривая правую часть (1) как свертку обобщенных функций / * G, мы можем на
писать
P nF = Р п (f * G) = /* (PnG) = f * G n - » f * 6 =
= /, п — оо.
Таким образом, это эвристическое рассуждение показыва ет, что формула обращения для преобразования (1) имеет вид
П—К»
где предел понимается в некотором обобщенном смысле. Это действительно так, но доказательство формулы (2) значительно сложнее чем формальные выкладки. В этом пункте мы сформулируем точные условия на G и Р п, кото рые будут использованы при определении преобразова ния (1) и доказательстве формулы (2).
Предположение А : в дальнейшем мы будем предпола гать, что для каждого допустимого ядра свертки G сущест вует по крайней мере одна последовательность операторов
{P n {D)}n=o, где Р 0 (D ) — оператор тождественного преоб разования и
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
D |
P n (D) = eBn°Qn (D), |
п = 1,2,3, ... |
(3) |
|
представляет собой обычное дифференцирование, |
В |
п—действительная постоянная, |
Q |
n — полином |
с дейст |
вительными коэффициентами. Выражение |
еВп° |
является |
|
стандартным операционным обозначением для операции сдвига на расстояние В п. Это означает, что, по опреде
лению, |
еВп° |
ср (/) = |
cp |
(t |
+ |
|
В п) |
для любой |
|
функции |
ср(£). |
Положим |
Gn t) |
= |
|
Р п D ) G t |
|
Таким образом, |
|
б?0 t) |
= |
|
( |
|
|
t |
|
|
( |
|
|
( ). |
|
|
|
|
( |
|
= |
Р 0 (D)G(t) |
= |
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
допустим, |
что выполне |
|
|
|
|
|
|
|
|
( ). Более того, |
ны следующие |
|
условия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G n |
|
t). |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А1. |
Функция |
G |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< ; оо. По |
|
|
( ) — гладкая на — оо < ; |
|
|
|
этому то же самое верно и для каждого |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А2. |
|
|
\ |
Gn |
|
t |
^ |
|
0, |
|
72 |
= |
0, |
1, 2, ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gn( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A3. |
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 , 1 , 2 , . . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(l)dt = |
i , |
n = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— oo |
|
|
Gn (t) = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A4. |
|
|
|
?limг |
|
|
|
|
|
|
|
0 < I£ [ < |
oo. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A5. |
|
|
|
|
—»со |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для каждого б > |
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
^ |
Gn (t) dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
6 |
. |
Для |
|
|
|
n-*°° |f|>5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
и |
|
|
б, |
б Д> 0, |
|
|
любых |
действительных чисел |
|
|
|
|
|
существует положительная постоянная |
|
N |
(с, |
|
б) |
|
такая, что |
для |
каждого |
гг |
^> N |
(с, |
б) |
|
e~ct Gn |
t) |
монотонно возрастает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
па — оо < ; £ < ; |
|
t— б и монотонно убывает на б < ; |
t |
< ; оо. |
|
А1 |
7. |
G |
(<) |
обладает |
|
следующими |
|
асимптотическими |
свойствами при |
|
|
|
|
± |
|
оо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к = 0 1 |
|
2 |
|
|
|
) существует по крайней мере |
одно действительное |
отрицательное число ß |
такое, |
что для любого |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
, |
, |
..., |
|
|
|
|
|
|
|
D kG (t) |
= |
О (е&), |
t - + |
оо; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
крайней |
|
мере |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) существует по |
|
|
одно действительное |
положительное число |
а |
такое, |
что для любого |
|
к |
= |
|
0 1 |
, |
2 |
, |
..., |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
D kG (t) = |
О |
(eal), |
|
t - + — оо. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В2дальнейшем |
будем через |
|
|
|
обозначать точную нижнюю |
грань тех ß, для которых справедливо свойство |
|
1 |
), |
а через |
а — точную верхнюю грань тех а , |
для которых выпол |
няется 2). Таким образом, |
а г |
представляет собой либо дей |
ствительное отрицательное число либо — оо, а |
а 2 |
— либо |
действительное положительное число либо + |
|
|
|
оо. |
|
|
|
|
|
|
На |
|
этом мы заканчиваем |
|
формулировку |
|
|
предположе |
ния А . Указанных условий вполне достаточно для рассмот рения преобразований свертки обобщенных функций.