Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

Существуют ли ядра,

которые

удовлетворяют

всем

этим

предположениям?

Да!

Хиршман

и

Уиддер

описали

довольно

sширокий класс таких

функций.

Приведем не­

которые из их результатов.

где

Пусть

— комплексная переменная; положим

со

— too

Ь0

Е

(s) =

l

-

f а)*

е*1ак-

ah

(5)

е'’»а n (

Здесь

и я

9 = і

'

числа, причем

О,

— действительные

I

ak

I —і>- оо

при

к -*-

оо

и

S

°°>

Е

9

К*—1

того,

(4)

удовлетворяет

( ) — целая

функция.

Кроме

условиям А1 и А7

(Хиршман и Уиддер [1]). Далее, пусть

— некоторая

последовательность действительных

чисел, такая,

что

«lim—► ос

bn

—

0.Е

Определив

G

(

t)

и

Е

(s)

t) —

формулами (4) и (5), положим

0

(х)

=

Е

(х)

и

G0

(

=

G

t

какп —и ранее,

Р 0 (D)

обозначает оператор

( ). Пусть,

тождественного

преобразования,

т.

е.

Р 0

D ) G(t)

=

G

(

t).

(

Кроме того, при

1,

2,

3,

...,

положим

Р п (D) =

ефа~Ьп)

°

П

(■1 -

§ )

e'D/a'c>

(6)

9=1 '

К '

Е М

=

‘ Ь-

П (‘ -f)«*'1

<7>

9=71+1

'

С » М = К І

5

ds.

(8)

Таким образом,

Р п

D )

совпадает Пс оператором (3),

где

(

=

И

В „

Ьа -

Ь

я +

S

V

к=і

Q n {D)

следовательность в том смысле, что Gn - * б в 3)' при п —>

оо.

З а д а ч а 8.2.2. Рассмотреть вырожденный случай

преобра­

и

G' (l)

0, — oo <

t < OO,

§

G'(t)dt =

1.

— OO

(«)

Показать,

что в смысле

дифференцирования

в З ’(аи а 2),

Е '

(D ) G' =

б.

(с)

Пусть теперь / £ 3 '

(at , а 2) и пусть F обозначает следую­

щую свертку обобщенных функций в 3 ' { а х, а2):'

F =

f * G ' .

(9)

Показать, что (9)

обращается применением оператора Е ' (D) к F :

/ =

Е ' (D ) F,

где дифференцирование снова

понимается в смысле

пространства

3 ' («!, а2).

10 А . Г. Земанян

289

ций и на сопряженных к ним

пространствах

Х с,

d,

кото­

рые мы описали в и. 3.2. Пусть

G

— данное ядро,

а г

а

2—

си

величины,

определенные

в

А7

с. Предположения

А1

и А7

означают,

что для любых

действительных

чисел

и

d,

удовлетворяющих неравенствам

<

а 2

и

d

а х, и для каж­

дого фикспроваппогоа гдействительногоd

х

G (x

t

числаа 2.ядро

— )

как функция

t

принадлежит

Х Су

d.

Действительно,

выберем

Р и а

так,

чтобы

t

<

ß <

и с < ; а <

Тогда

для

функционала

определенного в п. 3.2, мы получа­

xC)d, ( ),

ем

Kc.d

t) Df G(x —

t) =

О (e*-*1) =

о

(1)

t

оо

(1)

и

(

О (ed'-ß') =

-

xc,d(t)Df

G (х — t) =

о (1)

t -*

оо,

что и доказывает паше утверждение.

свертки

обобщенных

Мы определим

преобразование

G

для

любой

/

ЕЕ

Х Су

d,

где

снова

функций

с

ядром

с <

сс2 и

d

>

a lt

формулой

оо

<

<

о о .

(2)

F

(х)

=

</ (/),

G (х — t)y, —

X

Будем называть

F

(а:)

преобразованием свертки

/;

F

(х)

—

х.

обычная функция, определенная для всех

Заметим,

что мы не используем счетного объединения

пространствG (х

X

w

,

z),

введенногоt

при

рассмотренииX c,d

пре­

t)

(

образования Лапласа. Причинахэтого,

состоит в том, что

если

Xc,d

—

как функция

принадлежит

Для од­

ного действительного значения

то она будет принадле­

жать

и

для каждого

действительного

значения

х.

Этим функция

G

(t)

отличается

от

ядра

e~sl

преобразова­

ния Лапласа;

e~st

не

останется

в

X c,d,

если R es

выйдет

изX c,d,интервала

с

d.

поэтому в гл.

3 мы бы­

R e s< J X(w,Именноz) .

ли

вынуждены

рассматривать

совокупность

пространств

т. е. пространства При

данном

ядре

G

определим

<и;

Т е о р е м а

8.3.1.

и а2 как в предположении

А 1 .

Пустъ

X c,d, где с

а 2

и

d

a L,

и

пусть

F (х)

определяется

выражением

( ) —

—оо

<

< ; оо

(1).

на

х

а х

Тогда

F

х

гладкая

функция

/ ЕЕ

3, ...

<;

F(k) (х)

=

</ (0,

№-> (х -

0>,

к =

1,

2,

(3)

затьк равенство

(3);

мы

сделаем

это

методом

индукции.

Предположим,

что

(3) остается верным, если

к

заменить

на

— 1.

Для

к

=

0

это равенство верно по определе­

нию. Пусть

X

— фиксированное число и

к х Ф

0;

рассмот­

±рим[ i ?(kвыражение-1) (X + Ах) -

F ^ i x ) ] -

< / (t),

Gw (X -

0 >

=

(4)

где (0 =

[ G ^ { x + Дx — t ) ~

=

</(0,

Ѳд.,•(<)>,

(x -

*)] -

G{k) (x -

t).

Для любого неотрицательного целого числа т мы мо­

жем написать

х — І~\-Ах

( x - t ) =

ѲЙ?(0 =

J

G(m+k) (у) dy

x-- t - \(—l)mG(m+k)-

X—t

A x

у

dz.

=

xS—i

dV \

G(m+k+1) (z)

x —t

Обозначим через Л интервал х

— t — |Дж| < ; z < ; х — t-\-

+ |Да:|. ТогдаI

*с, d (0 sup I G lmtk+1) (z) |.

(5)

I «с, d (0 ѲЙ? (0 I <

z

При

|Az| < ;

1

:eA

выражение

I

G<'m+k+1\z)

I

хс,л «)

sup

ограничено

на

— oo < ;

гел

oo;

это видно из рассужде­

t

ния,

аналогичного% C f d

проведенному

в

первом

абзаце этогоZ c’ . d ,

пункта. Поэтому из формулы (5)

t)

схо­

следует,что Ѳдл. (

дится

В

К НУЛЮ

П р и

Д х - > - 0 .

П О СК О Л ЬК У

/ е

(4) сходится к нулю при

к х

— 0.

Этим доказательство ра­

венства (3)

завершается.