Следующая |
теорема |
устанавливает |
некоторые ограниче |
|
|
|
|
F (х) |
и каждой из ее производных |
ния на скорость роста В |
|
при |
X —у |
оо. |
|
|
|
|
8.3.1 |
Т е о р е м а 8.3.2. |
|
предположениях теоремы |
функция F |
(х) |
принадлежит |
SÜ,Iib , |
где а и Ь— любые дей |
ствительные |
числа, |
такие, |
что а |
< ; min (— а 1; — |
с) и |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ьmax (— а2, — d).
Отсюда вытекает, что для любого неотрицательного
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
целого числа |
к |
справедливы |
соотношения |
F 'к) (х) |
= |
= |
О (е |
~ах) при |
X - у |
оо и |
FW (х) |
= |
|
О е |
|
|
|
х —у |
— оо. |
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
( ~Ьх) при |
|
|
F |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
|
силу |
|
теоремы |
|
8.3.1 |
(х) |
— гладкая |
функция. Поэтому |
нам нужпо |
только |
доказатьX, что выражение |
|
xatb(x)F(-k) (х) |
|
ограничено |
|
на |
— оо |
|
|
< ; оо. Учитывая (3) и свойство ограниченности, |
указанноеь |
в свойстве III п. 3.2, мы можем написать |
|
|
* « , |
И Fik) (X) I = |
I </ (0 , |
Ха, ьG{k)(*) ( X |
- |
0 > |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
С |
0 max< p < r |
|
supt |
| хС) d (t) ха> ь (х) G{k*v) (х — t) J. |
Наше доказательство будет закончено, |
когда |
кмы пока |
жем, что для каждого неотрицательного целого |
фупкция |
|
|
|
|
A h (t, |
х) |
= |
|
хС)СІ (0 |
яа>ь (t)GW (х |
— |
() |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно |
|
|
|
|
теорем |
ограничена в (f, а;)-плоскости. |
условиям |
|
8.3.1 |
и 8.3.2, |
<х1 <cß, |
аг < ; — а, |
с |
< ; а 2 и — Ь < ; а 2. |
По |
этому |
|
лгы |
можем |
выбрать два |
|
таких |
|
действительных |
числа |
а |
и |
ß, что |
|
|
<[ ß < ; min (— |
а, d) |
и max (— |
b, |
с) |
|
|
|
|
|
|
н. |
|
|
|
|
< |
а <С а 2. |
По |
предположению |
|
А7 |
|
8.2 |
существует |
константа |
К , |
для которой |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
О, |
|
|
|
|
|
|
Кеа |
|
|
|
X |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\G(k)( x - |
0 | < { |
Ке& (*-'), |
|
X — |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<*-'>, |
|
— |
|
0 . |
|
|
|
|
|
Теперь рассмотрим шесть различных секторов (t, ^-плос кости, которые вместе покрывают (t, х)-плоскость. Первый сектор имеет вид t > 0, х > t. В нем справедливы нера венства exp ß (х — if) ^ ехр [— а (х — if)] и
I A h (t, х) I < Z e c'eaW - ') < K e(««)' < К ,
поскольку согласно предположению с + а < 0 . Второй сектор определяется неравенствами х !> 0, t > х. Здесь мы имеем ехр а (х — і) ^ ехр с (х — t) и
\А h (t, х) I < K ec,eaxe*<-x-t) ^ Ке<а+Ф ^ К ,
так |
какt |
|
а + |
|
с < ; 0. |
Третий |
сектор |
|
задается |
неравен |
ствами |
|
]> |
0, |
|
.т < 0. |
В этом случае можно написать |
|
|
|4і , (г, |
х) |
I < |
КесіеЬхе |
|
= |
Ае(с-“) 'е(ь+«)* ^ |
к , |
|
так |
с |
|
|
|
|
а |
а |
сектор |
t |
как |
X |
|
— а < 0 и |
Ь + |
< ; 0. |
t |
Назовем |
< |
0, |
X |
|
|
t |
четвертым, |
сектор |
х |
|
0, |
х |
— пятым и сек |
тор |
|
^ |
0, |
|
> |
|
0 — шестым. |
Ограниченность |
A k t |
|
|
|
|
|
( , ж) в чет |
вертом, пятом и шестом секторах |
устанавливается путем |
рассуждений, |
|
сходных |
с |
теми, |
с помощью |
которых |
мы |
доказали |
|
ограниченность |
А к |
(£, |
х) |
в |
|
первом, втором |
и |
третьем секторах. Этим доказательство завершается. |
|
8.4. |
Обращение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразование свертки обобщенных функций, опреде ленное равенством (1) в п. 8.3, обращается по формуле
/ = lim Р п (D) F , (1)
71—►СО
где P n (D) — некоторые операторы сдвига и дифференци рования, соответствующие ядру G и имеющие свойства, описанные в предположениях А ; предел в (1) понимается в смысле (слабой) сходимости в 33'. Чтобы доказать этот результат, нам понадобится
Л е м м а 8.4.1. Пустъ для данного ядра G числа а г и а 2 определяются, как в предположении А7 (п. 8.2). Пустъ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
также |
ф е= |
33 и |
£ с,а, |
где с |
< а 2 |
и |
d |
> а х. |
Тогда |
|
G (х / |
|
|
|
|
|
|
<ф(х), |
|
— |
£ )» = |
<ф(я), </(*)» |
G ( x — |
£)». (2) |
|
|
|
8.3.1 |
|
Д о кt а з а т е л ь с т в о . |
Из теоремы |
|
следует, |
что </ ( ), |
G ( x |
— i)> — гладкая функция |
х. |
Поэтому пра |
вая часть (2) |
имеет смысл как интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
G(x — t)ydx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 Ф(*К/(0> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—оо |
то мы |
можем |
показать, |
что левая |
Так как / (t) £Е £ c<d, |
часть равенства (2) также имеет смысл, если докажем при надлежность выражения
/(0==<Ф (г), G (x — f)>== 5 Ф(я) О (х — t) dx
пространству |
|
|
,2Jc,d. Выберем |
действительные |
|
числа |
а |
и ß так, |
что а х < |
ß < |
d |
и |
с |
< |
а < а.,. |
Предположим, что |
носитель ф |
{х) |
|
содержится в конечном замкнутом интерва |
ле |
А |
<1 |
X |
|
|
В . |
Тогда |
Мсогласно предположениямх А |
А1 |
х и АВ7 |
(п. 8. 2), для любого неотрицательного целого |
к |
существу |
ет такая постоянная |
|
к, |
что |
для всех |
из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I нс, |
d |
(<) |
D*t G {х — t) |
К |
M keU -V‘, |
f < 0 , |
|
|
|
(3 ) |
|
|
|
|
|
', |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ > 0 . |
|
|
|
|
|
Можно продифференцировать под знаком интеграла и |
нолучить |
формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t) d U (t) |
1= |
$ ф |
{X) |
xc> d (0 |
D ia (x - |
t) dx |
|
|
|
|
|
I xC)d ( |
|
|
|
|
|
|
В |
1k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ M h[\^{x)\dx<Coc.
Таким образом, I (t) действительно принадлежит £ c>d- Остается доказать равенство в формуле (2). Положим
X = В - А и
Предположим, |
что / U , m) - * - I (t ) |
в i?C)d |
при т-^-оо. |
Поскольку / |
|
<SSc,d> |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо. |
|
|
<f(t), J ( t , |
пг) >-»- </(<), |
< ф(я), |
|
—*)>>» |
|
|
(4) |
С другой стороны, применяя / |
(t) |
к сумме |
J |
(t, тп) |
почлен |
но и вспоминая, что |
< f ( t ) , G ( x — t )y — |
гладкая функция |
я (теорема 8.3.1), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
</ (г), |
J |
(*, /»)> = |
- ^ ѵТП= 1 |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 t л + т т )^ / (0.G [А + |
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G (а: — і |
) |
> |
|
(*), |
|
</(0. G ( x - t ) > > . |
|
A |
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
(t, тп)-у I |
(5 |
Равенство (2) вытекает из (4) и (5). |
|
|
|
|
Итак, нам осталось лишь доказать, |
что |
|
|
|
( |
t) |
в 5?C)d прй |
тп |
-> |
оо.: Это очевидно, |
|
если |
|
ф(:г) |
= 0 . Поэто |
|
|
|
му предположим, что г); (а;) ф 0 и пусть к — фиксирован ное неотрицательное целое число.
Положим
|
|
Н (t, т) |
= KCtd |
(t)D \ |
[I (t) |
— |
J ( t , m)]. |
|
|
|
|
|
H ( t , т) |
|
|
равномерно |
Мы должны— показать< <, |
чтос ю , |
|
|
|
|
сходится. |
к нулю на |
оо |
|
|
t |
|
d |
|
когда |
т —у с ю |
Снова выберем |
а |
и ß так, что |
а 1 |
< |
|
ß < |
|
и |
с |
< |
а |
< ; а 2. В силу неравенст |
ва (3) по любому заданному в |
|
О можно найти такое |
Т, |
что для |
\t\^> Т |
и |
А |
|
|
|
|
|
В |
будем иметь |
|
|
|
|
|«e>d( 0 f l t e ( * - f ) | < 4 - |
|
I ф (а:) I dx j |
|
|
Следовательно, |
sup хс, |
а {t) Df I |
(0 < |
4- ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|(|>Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
Далее, для всех m
sup I хС) d (t) D t'J (t, m) | <
|I|>T
|
|
|
|
|
< " T |
A |
|
|
|
|
|
|
|
i r |
2 |
|
ф Л + ^ |
|
|
|
( 6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кроме того, существует такое |
m0, |
|
что для всех |
m |
тп0 |
|
|
|
Поэтому |
правая часть (6) |
ограничена |
величиной 2 |
в / 3. |
|
I |
Н (t, |
m.) J <Г е |
для |
т ^> |
т0 |
и |
| |
t |
| |
|
Т. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее, |
положим |
К |
= |
sup |
хс d(t). |
|
Тогда для |
| |
t \ ^ . Т , |
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|І|<Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I H(t, m ) \ ^ K Х_Лsф (a;) D/ G (х — t) dx — |
ѵ Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
Е |
Ф |
|
( |
|
^ |
+ |
|
£ |
) |
л |
|
Г |
ф пі |
|
+ £ |
|
- |
* (7) |
Поскольку |
функция ф |
(х) D f G {х |
— |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) равномерно непре |
рывна для |
всех |
|
(t, |
х), |
удовлетворяющих |
|
неравенствам |
— |
T ^ t ^ T n A ^ x ^ B , |
то существует такое |
шъ |
что для |
всех |
т |
> |
т1 |
правая часть неравенства (7) |
ограничена ве |
личиной в на — |
|
^ |
|
|
^ |
|
Т. |
Таким образом, мы доказали, |
|
|
|
|
|
что |
H i t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t <00 |
тп-ігаі) сходится равномерно к нулю на — оо < |
|
|
при |
|
-оо. |
Доказательство леммы 8.4.1 окончено. |
Мы можем сформулировать теперь следующую теоре |
му |
обращения. |
|
|
|
Зададим |
для данного ядра G |
чис |
Т е о р е м а 8.4.1. |
ла а г и а 2 по предположению |
А7 (га. 8.2), |
и пустъ P n (D), |
цирования, |
описанные в |
|
|
|
|
|
|
га = |
0, 1, 2, ... — |
некоторые операторы сдвига и дифферен |
|
|
условиях |
А (п . 8.2). |
Предположим, |
что |
/ е |
£с. |
di гдеF |
с{< а 2 |
и d а |
|
|
|
|
|
|
|
г. |
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
G (x |
— t)y, |
|
|
|
то |
|
|
|
|
х) |
= |
|
</(г), |
|
|
(8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim P n (D)F = |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71—*00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
в смысле сходимости в 3)', гаг. е. для каждой ф е й )
lim <Pn {D)F, ф> = </, ф>. 7WOO
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Поскольку |
F (х) |
— глад |
кая функция, |
Р п (В) |
= |
eBnDQn {D ), |
где |
В п — |
действитель |
Qn |
— полином, то |
|
|
|
|
|
|
ное число и Р п |
|
|
+ В п). |
|
|
|
(D)F(x) |
= Qn ( D x) F ( x |
|
Эта функция также является гладкой. Поэтому выраже ние <Pn (B)F, ф > представляет собой интеграл, и для лю бой функции ф е= 3) мы после повторного интегрирования по частям и замены переменной получаем
<Pn (D)F, ф > = < F , P n ( - D ) ф> =
= <Pn ( - D x)^(x), <f(t), G { x — £)>>.
Очевидно, функция P n (— і?)ф также принадлежит 3). Следовательно, можно воспользоваться леммой 8.4.1 и написать
<Рп |
( |
В |
) |
F , |
ф> = |
<f(t), <Рп (— В х) |
ф(ж), |
G { x |
— £) >> — |
= |
|
|
|
Р п ( В х) G ( x — |
|
|
< f i t ) , |
<ф(.х), |
*)>> = |
|
|
ix ~ |
*)»•. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
/ ( і)€е |
= </(*)> |
<Ф(а:).С п |
|
5?с, di то осталось |
только |
|
доказать, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<ф(я), Gn (x — *)>->ф (г)
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
X c,d |
при |
п ~ + о о . |
Другими словами, мы |
должпы |
доказать, что |
для любого неотрицательного |
целого |
к |
|
