выражение
«cd (О D* |
[ jj ф (г) |
Gn{x — t)dx — ^ (£)] |
(9) |
|
|
—со
сходится равномерно к нулю на — оо < ; t < оо при тг-ѵ.оо. Поскольку G — гладкая функция и ф GS 25, мы можем дифференцировать под знаком интеграла; при этом (9) переходит в
со
« c d (0[ jj Ф и DHtGn(х — t)dx — ф® (<)] =
= « c d (0 [ ^ Ф (х ) ( — D x)kGn(x — t)dx — ф <« (*)] .
—оо
Интегрируя по частям к раз и используя предположение A3, а именно,
5 Gn (x — t)dt = 1, |
|
(10) |
мы найдем, что ѵ9) равно |
|
|
оо |
|
|
«cd(t) ^ [ф(ІС)(а:) — фІЛ)(г)]0п(а: — Oda: = |
1 |
$) + h{t) + I z(t). |
Здесь через /*(£), /2(і) и I 3(t) обозначены слагаемые, полученные в результате интегрирования на интервалах
— оо <i X <С. t — 8, t — б < £ < £ + б и f + б < х «< оо соответственно; б — положительное число. Предположе ние А 2 утверждает, что Gn (t) > 0. Из него и из равенства (10) мы получаем оценку
' |
h (t) |
I < |
« c ,d |
(<) sup |
I ф<« (Ж) _ ф(Ю (і) I < |
|
|
|
|
|
<— Б О : < і + 5 |
< б « с ,d(t) SUp |
I -ф(Л+1) (Т) I |
Пусть |
б принадлежит |
f - 5 < T < f + S |
интервалу 0 < б < ; 1 . |
Тогда, по |
скольку ф гладкая функция, имеющая ограниченный носи
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тель, |
последнее |
выражение |
ограничено |
величиной |
8В, |
где |
В |
не зависит |
от |
t |
и б. Итак, для данного е |
0 имеем |
I /2(£) |
I |
е при |
б = |
m in (l, |
dB ) |
и для всех |
п. |
Зафикси |
|
|
руем это значение б.
наше доказательство окопчепо. Следствием теоремы 8.4.1
является |
|
|
|
|
|
|
|
|
теорема единственности). Пустъ |
|
Т е о р е м а |
|
|
8.4.2 |
|
( |
/ ЕЕ |
|
и |
и |
|
h €Е |
|
|
|
Полооким F (х) |
|
|
|
</ |
|
8.4.1; |
|
|
> |
G, |
с |
d |
|
определяются |
|
как |
|
в |
теореме |
|
|
пустъ |
|
|
X |
c,d |
|
|
|
), |
|
|
— |
|
|
>. |
|
|
|
|
|
|
= |
|
= |
|
( t ) , G (x |
|
t) |
|
Н (х) — |
|
h {t |
G {x |
t) |
Если |
F (х) |
|
|
|
И (х) для всех |
Xи, |
то f |
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
25'. |
|
|
|
|
|
|
|
Р п D ) |
— h в смысле равенства в |
|
|
|
|
операторы |
— |
( |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
|
Пусть |
|
|
|
определены как |
|
в теореме 8.4.1. |
Тогда в смысле сходимо |
сти в 25' |
/ = |
lim |
Р п |
( |
D) F = |
|
lim |
Р п |
( |
D |
) |
Н |
|
= |
/г, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
—*>00 |
|
|
|
|
|
|
|
71—ю о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что и требовалось доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
На самом деле мы можем усилить заключение теоремы |
8.4.2. |
Из п. |
3.2 |
|
следуетъ, что сужения / и |
|
|
|
на счетное объ |
единение пространств |
|
|
X (с, d) |
принадлежат |
X ' |
(с, |
d). |
Кроме того, |
25 плотно |
|
|
|
Х |
|
(с, |
d) |
(см. п. 3.2, свойство |
I). |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
Следовательно, поскольку / и |
|
совпадают на 25, они долж |
ны |
h |
также совпадать и на |
|
X ' |
(с, |
d). |
Другими словами, / = |
= |
в смысле равенства в |
|
|
(с, |
d). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пункт, |
|
|
упомянем о том, |
|
Прежде |
|
чем |
|
закончить |
этот |
|
|
что существует другая формула обращения |
для преобра |
зования свертки обобщенных функций (Пенди и Земанян [1]). В ней используется интегрирование в комплексной плоскости, и поэтому она называется комплексной форму лой обращения. В противоположность этому формулу (8), где независимые переменные функций / и F действитель ны, называют действительной формулой обращения.
Комплексная формула обращения справедлива не для столь широкого класса ядер G, как формула (8).
8.5. Одностороннее преобразование Лапласа
Оставшаяся часть этой главы посвящена двум извест ным интегральным преобразованиям, которые при замене переменных превращаются в частные случаи преобразо ваний свертки. В этом пункте мы изучим ту форму преоб разования Лапласа, в которой пижннй предел интегра ла полагается равным нулю
J ІУ) = ^ І (*) e-ir-dx. |
(1) |
О |
|
Таким образом, это выражение представляет собой част ный случай одностороннего преобразования Лапласа, рас смотренного в п. 3.10, в котором нижний предел мог быть произвольным (но конечным числом). Мы уже указали в задаче 3.10.13 один способ обобщения формулы (1). Наше преобразование свертки обобщенных функций дает еще один метод. Рассмотрим ядро вида
Это ядро удовлетворяет предположениям А (п. 8.2).В дан ном случае а г = — оо, а а = 1, и для операторов Р п (D ) мы можем использовать выражение
Ря ф ) = ев , п п ІПі ( і - 4 ) |
|
« = 1 .2 ,3 ,... |
(3) |
ь = і' |
' |
(см. Хиршман и Уиддер [1]). Предположим, что функция / (<) — обычная, и произведем замену переменных у = с х, т = е~‘ в преобразовании свертки:
F (х) = |
ОО |
|
|
X <[ оо. |
(4) |
— ^ОО / (г) G (х — t)dt, — оо |
Тогда G ( x — і) = |
yxe~VzО О |
и |
у < ос; |
(5) |
y -'F (ln у) = |
^ / (— ln X ) е-ѵЧх, 0 < |
|
|
о |
|
|
|
это выражение! можно отождествить с формулой (1). Тот же самый метод замены переменных может быть исполь зован и для обобщенной функции f(t). Сначала заметим, что подстановка т = е~‘ совпадает с той, которую мы ис пользовали в п. 4.2, когда связывали пространства X c>d с пространствами J f Ctd. В частности, теорема 4.2.1 ут верждает, что отображение т-1 ер (— Іпт)м -ф (і) есть изо
морфизм Jf-Ctd на i2C)d. Если f{t) Z = £ c,d, то мы можем определить / (— In т) выражением
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< / ( — |
І п т ) , |
т " 1 ф ( — 1 п т ) > ^ < / ( * ) , |
ф ( 0 > , |
Ф Е І 5 С | І . (6) |
Тогда |
теорема 4.2.2 утверждает, что отображение |
|
I-* / (— ln |
х) |
есть изоморфизм |
%'с, а |
на |
j/ c,d- |
Поэтому если |
с |
< |
1 и |
d |
— любое действительное число, то, заменяя ф( |
t) |
|
|
|
