на G( x — t) |
и полагая у — ех, X — е |
|
мы снова получим |
соотношение |
|
ye~Ux |
> = |
G ( x |
— |
t)y |
= |
F ( l n y ) . |
</(— h it) , |
|
|
|
|
Полагая J (у) = i/_1 ТДЫ у) и j (x) = / (— Інт), мы, на конец, получаем повое определение одностороннего пре образования Лапласа обобщенных функции, соответствую щего формуле (1):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІЭто |
|
|
|
J ( у) = <7 СО» е - " т >, 0 < у < о о . |
|
|
|
|
|
|
( 7 ) |
выражение |
имеет смысл |
как |
результат |
применения |
(х) Е Е |
|
с, < 1 |
к |
е~ѵх 6 Е |
./^с, d, |
где с < |
1 и |
d — произволь |
но. |
Это |
|
|
|
|
довольно узкое определение одностороннего пре |
образования |
|
Лапласа |
|
обобщенных |
функций. |
|
Опреде |
ление, |
данное |
в п. 3.10, так же как и определение, упомя |
нутое |
в у задаче |
3.10.3,— значительно |
шире. |
|
|
|
|
|
|
|
на |
|
|
Из теоремы 8.3.1 следует, что |
J |
(у) |
— гладкая функция |
|
|
0 |
|
< |
оо. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительная формула обращения для преобразова |
ния (.7) |
может |
быть получена из равенства (8) п. 8.4, |
где |
Р п (D) |
|
дается |
формулой (3). |
Подстановка |
X = е~‘ в |
фор |
мулуP ji'.D i) Р |
(0 |
= Рп ( |
Dt) |
e 'J |
(е')1, |
|
— оо < |
|
t |
< |
оо |
|
|
|
после |
|
|
|
|
|
|
[ |
|
|
|
|
|
[1], |
некоторых |
вычислений (Хиршмап |
и |
Уиддер |
|
стр. 66—67) приводит к выражению |
0 < [ X |
о |
о . |
|
|
|
|
|
Кроме того, |
как легко видеть, отображение х-1 ср (— In |
х) |
>-*- |
i->- |
|
t |
|
является |
изоморфизмом |
3){І) |
на |
3), |
где теперь |
|
cp ( ) |
|
|
|
|
|
I |
|
обозначает |
|
интервал |
|
0 < х < < о о . Таким |
образом, |
|
сно |
ва |
|
используя |
|
определение |
|
(6), |
где |
|
функция |
|
|
t) |
|
|
|
|
|
ф ( |
сужёна на |
3), |
мы получим из теоремыj |
8.4.1 |
следующий ре |
|
|
зультат (см. |
|
задачу 8.5.2): |
если |
|
е |
Jf'c.a, |
где |
с < |
|
1 и |
d |
— произвольно, и если |
J |
определяется равенством (7), |
то |
|
|
|
|
|
?г—и х |
( -/і1)"! |
|
п \П+1 |
|
|
I |
|
= |
/ со |
|
|
|
|
|
(8) |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
3)' |
(I), |
где |
|
|
|
|
|
т < |
в смысле сходимости в |
|
|
|
|
|
— интервал 0 < |
|
<С ооФормула (8) представляет собой классическую фор мулу обращения Поста — Уиддера (Уиддер [1], стр. 288);
теперь она имеет смысл и для некоторого класса обобщен ных функций /(т). Вообще говоря, формула (8) может быть использована для более широкого класса обобщенных функций, чем тот, который описан здесь (см. Земаняи [3]).
З а д а ч а |
8.5.1. Доказать непосредственно, что для любого |
фиксированного действительного числа у > |
0 функция е~>п принад |
лежит пространству J I c, d при любом с < 1 и любом d. |
|
З а д а ч а |
8.5.2. |
Доказать, |
что отображение т-1ф (— In т) ь->- |
н - ф (I), где t — |
ln т, осуществляет изоморфизм 3> (/) на 3). Тогда |
отображение |
/(<)і-»-/(— ln т), |
определенное |
выражением |
(6), |
есть изоморфизм 3)' на 3)' |
(/). |
Именно этот результат вместе с тео |
ремой 8.4.1 позволяет |
утверждать, |
что (8) имеет смысл в терминах |
сходимости в З)'(І). |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
З а д а ч а |
8.5.3. |
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
G ( t ) = |
I I (и) I I (t — и) du, |
I I |
(и) |
е - ' Ѵ . |
(9) |
|
—ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Показать, |
что замена^ |
переменных |
|
|
|
|
|
у = ех , |
т = |
e~l, |
J |
(у) = |
y_1F |
(ln у), |
j |
|
(т) = / (— ln т) |
|
переводит обычное |
преобразование |
свертки |
(4) |
в выражение |
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J 0/) = |
2 ^ /' (т) Ко (2 Уут) dr, |
|
(10) |
где К 0 обозначает модифицированную |
функцию |
Бесселя третьего |
рода и нулевого порядка. |
Заметим, что это точно та же замена пере |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
менных, которая была использована ранее в этом пункте. (Укаааиие: используйте формулу
|
СО |
Ко (2w) = ~ |
v -'e -w<-v+i/vV2 dv, w > 0; |
|
о |
см. БейтменII Эрдейи [1], т. П , 7.12 (23).) Ядро (9) также удовлет воряет предположениям А; здесь снова а х = — оо и а 2 = 1 (см. Хиршман и Унддер [1]). Принимая во внимание эти факты, ука жите, как преобразование (10) может быть расширено на некото рый класс обобщенных функций.
8.6.Преобразование Стилтьеса
Вкачестве другого частного случая преобразования свертки мы рассмотрим преобразование Стилтьеса, кото рое на подходящих обычных функциях /(т) определяется выражением
( 1 )
О
Начнем снова с обычного преобразования свергъ и
|
|
|
F (х) = |
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
и |
|
|
^ f (t)G (х — t)dt, — ос < |
^ |
х |
, |
|
возьмем следующее ядро: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G(x |
— |
t) |
= |
secb |
1• . |
|
|
|
|
(3) |
|
Теперь a x = — V 2 |
|
в качестве |
|
|
|
|
и |
|
a 2 — |
|
операторов |
P n (D) |
мы можем выбрать выражения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
После замены переменных |
(см. Хиршман и Уиддер [1]). |
у |
= |
ех, X — е1 |
в (2) мы получаем формулу |
у < |
оо, |
|
|
|
|
У~1/2 -F (In у) = ^ |
х-№f (ln т) |
dt, |
0 < |
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которая может быть отождествлена с (1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для того чтобы перенести эти результаты на обобщенные |
функции, |
мы |
сначала |
|
построим |
пространство |
основных |
функций |
$-C)d, |
производя замены переменных |
|
т = |
е1 |
в |
|
|
определении Ä C)d и полагая іЛсф(т) = ср(1пт) в равенстве
(1) п. 3.2. |
Это |
приводит к |
следующему |
d |
определению: |
для любых двух действительных чисел с и |
|
— это про |
странство |
всех гладких |
функций ф(т), определенных на |
О <С т < |
оо, и таких, что |
|
|
D ,)k У |
X |
|
|
|
ік |
(ф) А ie,„,k (ф) А sup |
I x C)d (ln t) (t |
|
ф (t) I < oo, |
|
|
|
|
|
0<T<°o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
0,1, 2 , .... , |
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*c d (ln *) = |
X |
е , |
l < t < o o , |
|
|
|
|
|
|
|
xd, |
|
|
|
Топология |
f |
c,d |
порождена |
|
0 < t < l . |
|
|
{Ц;,<і, *}5Г=0- |
|
— |
|
мультинормой |
|
Поэтому |
#-Cjd |
|
полное счетно-мультинормированное про |
странство. Кроме того, отображение ф (т) |
= |
х~11* |
ф(1п т)н+- |
I-»- ср(£) задает |
изоморфизм |
|
$-C)d на |
X c,d, |
поскольку |
ic^k |
|
= |
Tod,* [ф(01- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее, если f{t)EE$ßc,d, |
то |
|
определим |
x~'i'*f {Іи т), |
как функционал на $-C)d, выражением |
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
|
<т_Ѵа/ (h it)/, |
тг'^фЦп |
т ) > = |
</(£), cp(£)>> |
Согласно |
теореме |
|
е |
a?é.d, |
Ф е |
Ä c>d- |
|
/(() |
н -г 'Л / П п т) |
1.10.2 отображение |
|
осуществляет |
|
|
изоморфизм |
£ c,d |
на |
У'с.л- |
t, |
Тогда, |
если |
с |
< 1/2 и |
d |
|
|
— 1/2, |
то (3), как функция |
принадлежит |
£ Сіі |
для |
каждого |
фиксированного |
х. |
Поэтому, |
полагая |
Ф(<) = |
G (x |
— |
t), X |
= |
Іи у и используя (5), мы можем пере |
писать преобразованиеG |
свертки |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
Е (х ) |
= |
|
</(£), |
|
{x |
— |
t) |
>, |
— оо < ; |
< |
оо |
(6) |
в виде |
|
|
ln |
у) |
= |
< Ѵ 1-/а/ (In т), |
|
|
|
, |
0 < |
у < |
оо. |
|
|
|
r ^ F J i |
|
|
|
|
через |
|
|
|
|
и т-1/2/(1п |
т) |
через |
Обозначая |
у |
'>'’ F ( l n y ) |
|
J |
{у) |
/ (т), мы приходим к следующему преобразованию Стилтье-
са обобщенных функций. Если / (т) е= ftc, d при некоторых с < 4 2 и d — Ѵ 2, то преобразование Стилтьеса J от / определяется формулой
/ ( у ) А 0 < у < ос, ( 7)
где для каждого фиксированного у правая часть равенства
имеет |
смысл как результат |
применения |
/(тО €=#c,d к |
(у + |
т)-1 |
ее ^ c,d- |
(На самом |
деле |
(7) |
имеет смысл даже |
когда с = |
1/2 и d = |
|
— 1/2; см. задачу 8.6.1.) В силу теоре |
мы |
8.3.1 |
/(у ) — гладкая |
|
функция, |
определенная на |
0 < |
у < |
|
оо. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим теперь формулу обращения для преобра |
зования (7), вытекающую из равенства (8) |
п. 8.4. Подста |
новки |
t |
= |
ln т и |
F |
(Іи т) = |
Y x J |
(х) |
в |
Р п |
|
D , )F {t), |
гдеРп |
|
|
|
|
|
|
|
( |
дается теперь формулой (4), приводят к выражению |
|
|
|
|
|
|
1)" |
|
|
п\ 4П |
|
|
|
|
[xinD ”J |
|
|
|
|
|
|
|
|
( -л |
Г |
|
(2л)! |
|
/ т Д " |
|
(Т)] |
Стир |
(см. Хиршман и Уиддер [1]). Используя формулу |
линга и |
|
полагая |
/ (т) = |
т_ ’^/(1п1т), можно привести ра |
венство (8) |
(п. 8.4 |
к виду |
[ J |
- Y |
|
D ? |
[т»» д а (т)]. |
(8) |
|
|
|
|
І |
т) = Шп t |
- f - |
|
Это выражение имеет смысл как предел в 25' (/), где I — интервал 0 < т < ; о о ; действительно, в равенстве (8) и. 8.4 предел 25' понимается в смысле пространства 25', и замена переменной, которую мы использовали (см. (5)) определяет изоморфизм 25' на 25' (/). Таким образом,
|
|
|
|
|
|
|
если |
Jj (х) ЕЕ fc , d при |
некоторых с < |
Ѵ 2 и d |
— Ѵ 2 и |
если |
определяется |
формулой |
(7), |
то |
выражение (8) |
справедливо в смысле |
сходимости в |
25'(7). |
|
Относительно дальнейших |
свойств |
преобразования |
Стилтьеса обобщенных функций и его обращения см. ра боту Бенедетто [2].
Сделаем последнее замечание. Любые частные случаи интегральных преобразований, которые охватываются преобразованиями свертки (см. Хиршман и Уиддер [1]) могут быть распространены на обобщенные функции, ес ли следовать методу, использованному в этом и предыду щем пунктах. В частности, совершая подходящую заме ну перемепных, можно привести преобразование свертки
(6) к виду
J ( У) = < ) ( * ) , К { у , т ) > , (9)
где К {у, т) — ядро, соответствующее рассматриваемому преобразованию. При этом новое пространство основных функций и сопряженное пространство получаются путем соответствующей замены переменной в %C}d. (Задача 8.5.3 дает еще один пример указанного обобщения.) Формула
(8) из п. 8.4 может быть аналогично преобразована в фор мулу обращения для (9).
З а д а ч а 8.6.1. Доказать, что для каждого действительного положительного числа у выражение (у + т)-1 как функция т при надлежит р с<(j, если с ^ Ѵг и d — Ѵг.
З а д а ч |
а |
8.6.2. |
Доказать, что отображение |
т“ 7* cp |
(In т) і-*- |
I-»- cp (t), |
где |
t = |
ln г является изоморфизмом 3) (/) |
на 3), |
где I — |
интервал |
О <[ т < оо. |
Этим будет доказано наше |
утверждение о |
том, что отображение / (г) >-»- т-1/"-/ (Іи т), заданное формулой (5), осуществляет изоморфизм 3)’ на Ю' (/)•
