Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

Г Л А В А 9

ПРЕО БРАЗО В АН И Я , СВЯЗАН Н Ы Е

СОРТОНОРМ АЛЬНЫ М И РАЗЛОЖ ЕНИЯМ И

9 .І. Введение

Эта глава по своему характеру несколько отличается от предыдущих. Метод, которым мы здесь будем пользоваться, относится к методам гильбертова пространства, а его про­ тотипом является разложение периодических распределе­

где ф„ образуют полную систему ортонормироваппых функ­ ций, а через F (п) обозначены соответствующие коэффи­ циенты Фурье обобщенной функции /.

Эта процедура приводит к совершенно новому классу интегральных преобразований обобщенных функций. Ос­

сную плоскость. Тогда соотношение (1) определяет об­

рассматриваются собственные функции некоторого само­ сопряженного дифференциального оператора 91. В ре­ зультате соответствующее преобразование U будет по­ рождать операционное исчисление, удобное для решения дифференциальных уравнений, в которые входит опера­ тор 91. Примерами интегральных преобразований обоб­ щенных функций, охватываемых этим методом, являются конечное преобразование Фурье (т. е. преобразование,

30R

соответствующее любому ряду Фурье), преобразования Лагерра, Эрмита и Якоби; в качестве частных случаев перечисленных преобразований сюда входят также пре­ образования Лежандра, Чебышева и Гегенбауэра; сюда относится также конечное преобразование Ганкеля.

Описанный здесь метод впервые был предложен Зема-

Уолтера приспособлен к обобщенным функциям Темпла [1],

смысле определения п. 2.4.

Брага и Шенберг использовали понятие «формально­ го ряда»; см. также Кореваар [2]. Метод Буи можно ис­ пользовать даже в том случае, когда ф„ не являются собственными функциями дифференциального оператора; однако при этом он не подходит для построения операцион­ ных исчислений для дифференциальных уравнений. Ме­ тод Гельфанда и Костюченко фактически является методом спектрального анализа операторов, не имеющих собствен­ ных функций в обычном смысле, но для которых сущест­ вуют обобщенные функции, обладающие свойствами соб­ ственных функций. Он оказался полезным в различных разделах функционального анализа.

Существуют и другие методы, придуманные специально для некоторых ортонормированных семейств, таких как системы Фурьё и Эрмита. См., например, Кореваар [2], Шварц [1], т. II и Видлунд [1].

В этом пункте мы напомним ряд хорошо известных клас­ сических результатов. Относительно ссылок см. Уильям­

а

307

Множество всех квадратично интегрируемых функций можно разбить на классы эквивалентности, предполагая, что две функции принадлежат одному и тому же классу

действительности оно является пространством классов эквивалентности функций. Каждый такой класс представ­ ляется любым из его элементов, и поэтому часто говорят о «функции / (X), являющейся элементом Ь 2(І)». Функцио­ нал а 0 определен на Ь 2(І) равенством (1); поэтому число, которое а 0 относит каждому классу эквивалентности, оп­ ределяется как число, которое а 0 ставит в соответствие любому из его элементов, причем это число одно и то же для всех элементов данного класса.

Ь 2{1) является линейным пространством, нулевым элементом которого служит класс функций, равных нулю почти всюду на I . Кроме того, а 0 определяет норму на Ь 2(І) и является поэтому частным случаем счетной мульти­ нормы (эта мультинорма состоит только из одного элемен­

308

Здесь ß обозначает комплексное число. Кроме того,

где D = d/dx, — положительные целые числа, а Ѳ& — гладкие функции на I , не обращающиеся в нуль нигде на I . Мы потребуем также, чтобы 0h и n h были таковы, что

31 = ѳѵ ( - Z))n* ...( - Я ) " - М - £>)"' Ѳ0;

здесь 0h обозначает функцию, комплексно сопряженную к 0h, т. е. 0ft (х) = Ѳь (х). Кроме того, мы предположим,

что существует последовательность {А-Л}п=о действитель­ ных чисел, называемых собственными значениями опера­

*) В русской литературе это исравонство чаще называют не­ равенством Коши — Бупяковского. (Прим, ред.)

309