последовательность в |
Ь 2 |
(/). |
При |
|
этом последователь |
ность {фп} называется |
ортонормальной, |
если |
|
|
0, |
|
|
|
(Фп, Фт) = |
п =j= т, |
|
п |
= |
т. |
|
1, |
|
|
|
Полнота {ф„} означает, что каждая функция f ЕЕ Ь 2 (/) может быть разложена в ряд
сходящийся в |
Ь 2 |
(I), |
/ = и2=0 (/. Фп)Фп |
|
|
(5) |
|
N |
т. е. |
N -> ос. |
|
|
|
аоГ/ —2 |
(/, Фп) Ф,Л->о, |
|
|
Назовем |
|
L |
1 1 = 0 |
|
|
{ф„}. |
(5) ортонормалъным^ разложением / |
по |
Нужно |
отметить, |
что для данного |
оператора |
3? |
может |
существовать более чем одна полная ортонормальная си стема {фп}“=о собственных функций.
ВажныйЬклассический результат гласит, что последо |
вательность |
{ф„} |
полна тогда и только тогда, когда для |
любой / £ |
2 |
(/) |
коэффициенты Фурье (/, ф„) удовлетво |
ряют |
равенству |
Ларсеваля |
|
со |
Ь |
2 |
К/. 'Pn)la=s^|/|2ds = [ao (/))2- |
п=о |
'а |
Отметим далее теорему Рисса — Фишера, которую мы сформулируем следующим образом.
Т е о р е м а 9.2.1. Пустъ {фп}п=о — полная ортонормалъная система, введенная выше, и пустъ {сп}п=0 — такая
|
|
|
|
|
со |
последовательность комплексных чисел, |
что ряд |
|
|
|
|
|
|
1 1 = 0 |
сходится. |
Тогда |
существует |
единственная |
функция |
2 |сп|2 |
/ 6= Ь 2 (I ), |
для |
которой сп = |
(/, ф„). |
Следовательно, |
оо
/ = 2 спФп
п=о
в смысле сходимости в Ь 2 (/).
Все функции из ортонормальных систем, образованных классическими ортогональными полиномами, так же как и функции из других стандартных ортонормальных сис тем, являются собственными функциями дифференциаль ных операторов 2П, обладающих перечисленными выше свойствами. Мы приведем сейчас два примера таких сис тем; еще ряд систем будет указан в п. 9.8.
П р и м е р 9.2.1. Система Фурье. Пусть / = (— л, л) и
91 = _ і о = Г І/г О г ' /г.
Мы можем положить
(ж) = V 2л ’ " = 0, ± 1 , ± 2 , . . .
Тогда
*71 = п.
(Здесь мы использовали систему нумерации, отличную от упомя нутой выше; см. в связи с этим задачу 9.2.1.) Итак, любая функция / е (/) может быть разложена в ряд
оо
|
/ ( * ) = і _ 2 |
(/ (0. е”1') |
еіпх, |
|
|
п=—со |
|
|
являющийся экспоненциальной формой ряда Фурье для /. |
П р и м е р |
9.2.2. Система |
Лагерра. Положим |
теперь I = |
= (0, оо) и |
|
|
|
|
91 = |
exi2Dxe~xDex/2 = |
хТТ- + D — |
|
. |
Одна из полных систем собственных функций оператора 01 состоит из фупкцнй Лагерра (ом. Бейтмен и Эрдейн [1], т. II)
'l’n (*) = |
S |
(1) - Ч т - |
’ « = |
2----- |
(6) |
|
711= |
0 |
|
|
|
|
Соответствующие собственные значения имеют вид |
|
|
|
. |
к = — |
п . |
|
|
|
З а д а ч а |
9.2.1. Показать, |
что |
относительно |
сходимости |
в |
Ьг (/) члены ряда (5) можно переставить произвольным образом и что ряд Фурье, указанный в примере 9.2.1, является пределом суммы
N
2(/(0,еЫ )«*"*,
п= — м
когда N и М независимо друг от друга стремятся к бесконечности.
9.3. Пространство А основных функции
Теперь мы построим пространство А основных функций, зависящее от выбора интервала /, дифференциального опе
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ратора 31 и |
полной ортонормальнойА системы |
{ф„}”=о |
собственных функций. Сопряженное к |
|
пространство |
А ' |
является пространством обобщенных |
|
функций, |
каждая |
из которых может быть разложена в |
ряд по собственным |
функциям фп. |
В дальнейшем через |
п |
п |
к |
всегда будут обоз |
начаться неотрицательные целые числа. |
|
|
|
Пространство |
А |
состоит из всех функций ср(.т), облада |
|
ющих следующими тремя свойствами:
1)cp (X) — гладкая комплекснозначная функция на I .
2)Для любого к существует (т. е. конечна) величина
ъ
ак (ф)= “ о (9*кф) = [ J I ЯЛр (*) I2 Дс]
а
3) Для любых п и к
(®кФ. Ч»*,) = (Ф- Sl4n)-
Пространство А линейно. Кроме того, семейство
{ссь}ь=о определяет мультинорму на А.. Действительно, для любой постоянной ß, очевидно, а к (Рф) = | ß | a h (ф). Далее, a h (фі + ф2) a h (фх) + (ф2), что легко пока зать, используя неравенство Шварца. Следовательно, каждый функционал аи является полунормой, причем а 0, очевидно, задает норму на А . Мы снабдим А топологией,
порожденной мультинормой { а ;!}“=0 н превратим А , та ким образом, в счетно-мультинормнрованиое простран
|
ство. |
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
При этих |
условиях |
оказывается |
пространством |
|
основных |
функций; |
это |
будет показано |
позже. |
Далее, |
|
ясно, что |
А |
станет |
подпространством |
Ь г |
(/), если мы |
|
отождествим каждую |
функцию из |
А |
с соответствующим |
|
классом эквивалентности |
в Z,2 (/); |
сходимость в |
А |
влечет |
|
сходимость в |
L % |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(/). |
|
|
|
|
А . |
|
|
|
|
|
Каждая |
функция ф„ |
принадлежит |
Действительно, |
|
|
г|Ѵ удовлетворяет условию 1) по предположению. Кроме
К (Ф«)Р = 51ЮЧпР = IѴР* I |
I р\ |
а |
а |
Пусть теперь £2 обозначает произвольный интервал, замы кание которого компактно в /. Первый интеграл в пра вой части (3) является ограниченной гладкой функцией на каждом интервале £2, поскольку Ѳ0 =?= О всюду на I . Второй интеграл сходится к нулю, когда т и п независимо стре мятся к бесконечности. Отсюда видно, что левая часть
выражения (3) сходится к нулю равномерно на каждом £2. |
Мы можем, последовательно вычеркивая операторы |
дифференцирования |
и умножения на 0h в операторе 92, |
построить функцию 92~ 192'т |
ф (я), где |
эг-і = |
ѳ:1п |
,1ѵ .. ѳ г 1/)-,і-Ѳ01 |
и |
D~n |
= (ZT1)". |
|
|
На каждом шаге получающаяся величина будет равномер
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но сходиться на любомх |
интервале £2 |
при |
т —у |
оо. |
обра |
Заметим теперь, |
что |
функция |
|
Sß~13lte+1qjm (гс) |
щается в нуль в точке |
= |
x t |
вместе со всеми своими про |
изводными порядка, |
меньшего s == /?, |
+ . . . |
|
п ѵ. |
Таким |
образом, |
92-192k+1cpm(*) + |
S |
anjgj |
(*), |
(4) |
3 * 4 . И = |
|
|
3< S
где сумма обозначает те решения дифференциального урав
нения(х) |
92г/ = |
|
0, производные которыхUly |
порядка, меньшего |
s, |
|
совпадают |
|
в точке |
хг |
с производными |
92Лфт (ж). Пусть |
ёі |
|
|
|
|
|
— решение |
|
уравненияі |
gy, |
|
= |
0, |
удовлетворяющее |
условию |
# |
|
і(ж,) |
|
= |
бу, |
|
= |
0, 1, . . ., s — 1 |
(через |
g f |
обозначена |
t-я производная |
|
|
бу — символ Кронекера: |
бу = О |
при |
|
ф |
і |
и |
6Ü = 1). |
|
Функции |
gj (х) |
являются |
линейно |
независимыми и гладкими |
|
на любом интервале |
Q |
|
(Гуревич [1], стр. 46); |
каждый коэффициент |
ат, |
равен |
] |
- |
й производнойт |
92я" фт |
|
в точке |
хх. |
Так |
как |
92*фт |
схо |
дится |
в |
Ь 2 |
(/), |
а |
92_192'1'+1фт сходится |
равномерно на |
каждом |
£2 при |
|
—у оо, |
|
мы |
можем |
|
сделать вывод, |
что |
выражение |
|
|
|
|
|
SJ < 8 |
“ rriiëj |
И |
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится в Ь 2 (£2) на каждом £2. Отсюда в силу линейной независимости gj вытекает, что при любом / коэффициенты аті стремятся к пределу a,j. Следовательно, сумма (5), а поэтому и 92,сф7П, равномерно сходится на каждом £2.
