Равномерный предел выражения 31кфт , который мы обозначим через является непрерывной на I функци ей. Кроме того, предыдущие рассуждения остаются спра ведливыми для любого к, и поэтому из (4) мы получаем равенство
|
|
|
|
|
1 ч (*) |
= |
а*_1Х*+і И |
+ |
S |
° і S i |
(*)■ |
|
(6) |
Мы |
|
можем |
заключить, |
|
|
|
|
J < S |
|
|
|
и |
|
что%hХи — гладкая функция |
Xh+i |
=(z)Six ft; |
следовательно, |
|
= |
9lkX0. |
Далее, |
Xk (s) |
= |
= Xk |
|
|
почти всюду на /, поскольку X/t — равномерный |
предел |
последовательности |
|
{3lkcpm}m на каждом |
ß , |
а |
Хи — |
предел |
{9lkcpm}m в |
Ьг |
(/). Таким образом, обе функ |
ции, |
|
|
|
|
{SftkX0} |
и Хк» |
принадлежат одному и тому же клас |
су эквивалентности |
в |
Ь2 |
(/). |
Отсюда |
следует, |
что |
для |
любого |
к |
будет а ,, (у.о) = |
“ о (31АХо) < ° ° |
и |
|
|
|
|
|
|
|
а * (Хо - |
Ф т ) |
= |
а о (Зг^Хо — |
3 lk<Pm) - > О |
|
|
|
при т -> оо. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
к. |
Чтобы закончить доказательство, мы должны уста |
новить, |
что (ЯІкХ„, фт ) |
= |
(хо> ^ Афп) |
для любых |
|
и |
|
Так |
как скалярное произведение непрерывно относитель |
но сходимости в |
Ьг |
(/) |
|
любого из |
своих аргументов, |
то |
|
|
(Ю*Хо, Ф„) = üm (SlV n . Ф„) = Hm (cpm, 31Афп) = (х0) ЗР'фп).
|
|
7П—>ЭО |
|
|
771—>эо |
|
|
|
Лемма доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь мы докажем еще три леммы, которые нам по |
надобятся в следующих пунктах. |
|
|
|
|
Л е м м а 9.3.2. |
Если |
cpООée |
Л , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф *= 1 S ( ф . Фп) Ф п . |
|
|
где ряд сходится в Л . |
1 = 0 |
В силу условия 2), сформу |
|
Ьг |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
лированного |
в начале этого |
|
пункта, 3lkcp |
принадлежит |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
к. |
Следователь |
|
( ) при любом неотрицательном целом |
|
но, мы можем разложить $ftkip |
в ряд по ортонормирован- |
ным функциям фп. |
Используя |
(2) |
и соотношение 31ф„ = |
= |
Х„фп, где |
Кп |
— действительные |
числа, |
мы получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для любого к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з^ф = |
2 |
(юкф. w Ф« = |
2 |
(ф, я**’!’«) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
П=О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 (ф. ь&п) ■ фп = |
2 |
(Ф, ■ фп) |
= |
|
2 |
(ф, Ф,0 зі4 « . |
(?) |
Эти ряды сходятся |
в |
Ь 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
(/). Поэтому N |
. |
N |
> 0 |
|
|
|
Ф п |
|
Г |
ф |
N |
— |
|
2 |
|
|
|
( ф |
|
|
|
|
L |
|
іі=0 |
|
|
J |
|
|
|
L |
ii=o |
|
|
|
|
J |
|
при N -* -o a . Это и нужно было показать. |
|
|
|
|
|
|
Отметим, что в силу последней |
леммы оператор 91 |
удовлетворяет условию |
х) = |
(ф, |
ЗІХ), |
|
|
|
|
|
|
(8) |
|
|
|
|
|
|
(Зіф, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
ф |
и |
X |
— произвольные элементы пространства |
Л . |
В этом случае |
оператор |
5ft |
называют |
самосопряженным |
на Л . |
Чтобы доказать (8), мы используем формулы (2), |
(7) |
|
и тот факт, что |
скалярное |
произведение |
|
непрерывно |
по каждому из его аргументов, и напишем |
|
|
|
|
|
|
|
ь |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
ь |
|
dx |
|
|
(®Ф. X) = |
^ X 2 |
(Ф* ^я) |
|
= 2 |
(ф’ 'Ф") 5 ^3l4,n |
= |
|
|
|
|
a n |
|
b |
|
|
|
|
|
bn |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 (Ф. Фп) $ Фп ^Xd x |
|
= |
U 2 |
(ф’ 'Ф") Фп^Х d x = (ф, |
5ftx). |
|
|
|
n |
|
|
a |
|
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ортонормальные |
ряды, |
|
сходящиеся в |
Л , |
можно опи |
сать следующим образом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пустъ |
|
ап |
комплексные |
|
числа. |
Ряд |
СО |
Л е мсходитсям а 9.3.3.в Л |
тогда |
и—только |
тогда |
|
когда |
ряд |
2 |
аЛ і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
сходится |
при любом |
|
неотрицательном |
=о |
| Х „ Г К | 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п=0
целом к.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Используем ортонормаль ность множества функцийфп и напишем следующую цѳпоч -
ну равенств |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ü |
М ’п *&: = |
|
J |
2 аЛн'Фп' |
dx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
п=<2 |
|
|
|
|
а |
n=q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 5 |
2 |
|
|
2 |
а ^ ь Х ф Л , |
dx = |
|
2 1 ^ |
|2V I |
an |
Г- |
|
|
|
an = 7 m=<7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tlsij |
|
|
|
|
|
|
|
Утверждение сразу |
|
вытекает из |
этих |
соотношений. |
|
|
|
Л е м ы а |
9.3.4. |
Л |
является подпространством <ß |
(/). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{вфт }т=а |
|
|
|
Кроме того |
|
|
последовательность |
сходится |
в Л |
к пределу, |
еслито |
|
|
|
сходится |
и |
|
|
|
|
|
|
самому пределуф, |
|
|
{4рт } |
|
|
|
|
|
|
& (I) к тому же |
|
|
|
ф. |
|
|
|
|
|
|
Мы докажем только второе |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
утверждение,I |
поскольку. |
первое очевидно. |
Снова |
обозна |
чим через £2 произвольный интервал, замыкание которого |
компактно в |
|
Мы уже видели при доказательстве леммы |
9.3.1, что если |
последовательность |
|
{фт } |
|
сходится в |
Л |
, |
кто она, так же как |
и |
последовательность |
|
(9Ифт }т |
при |
любом /с, сходится равномерно на |
каждом |
|
й . |
Полагая |
= |
0 в формуле (4), |
мы получаем равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фт — |
|
*^Фт |
2 ^mjSj |
('*')> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причем коэффициенты |
amj |
|
3<s |
|
|
при л і- ѵ оа . |
Кроме |
|
|
сходятся |
того, мы можем написать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0фт = Г (№ ) |
Е Г - |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. ,ѲГ1П - ‘Ѳ01% т + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
2 |
amjDgj{x). |
|
Отсюда следует, |
что |
Вц>т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i<» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходятся равномерно на й. В си |
лу тех же соображений П^фт |
сходится равномерно на Й |
при |
р = 2, . |
|
. . , « |
|
= |
« |
! |
+ . . . |
+ |
|
п ѵ. |
Аналогичные |
рас |
суждения, основанные на формуле (4) при |
к — |
1 (где те |
|
|
т |
перь amj, вообще говоря, другие постоянные) показывают, |
|
что |
П^ЗІфщ |
сходится равномерно на Dй при |
|
—»- оо для |
всех р = 1, . |
|
. ., |
s. |
|
Отсюда можно последовательно полу |
чить равномернуюк |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s+1c |
|
|
|
. ., |
D 2S |
|
|
|
сходимость и для{ E kq>m}mpm, . |
|
фт . |
|
Продолжая действовать таким образом, мы увидим, что |
при |
любом |
|
последовательность |
|
Итак, |
|
|
равномерно |
|
сходится на |
любом |
|
интервале |
й . |
|
{фт } |
сходится |
|
в# (/) к пределу, совпадающему, очевидно, с ее пределом
вЛ , Лемма доказана.
Мы можем теперь утверждать, что А является прост ранством основных функций; действительно, как мы по казали, все три условия, сформулированные в п. 2.4, выполняются.
З а д а ч а |
9.3.1. Доказать, что a h (ф2 + ф2) < |
a k (q^) - f a h (tp2) |
при любых Фі, ф2 GE A '. |
ряда (5) в L 2 (П) |
З а д а ч а |
9.3.2. Доказать, что сходимость |
при 7п —>оо и линейная независимость гладких функции gj (х) влекут сходимость коэффициентов а mj при т —» оо.
З а д а ч а 9.3.3. Пусть |
— пространство основных функций, |
соответствующее системе Фурье, описанной в п. 9.2.1. |
Показать, |
что каждая функция ф б ^ |
может быть расширена до гладкой пе |
риодической функции ф (х) |
на — со < а; < |
оо с помощью |
равенств |
ф (х) = ф (х), — л < X < л, |
|
Ф (л) = lim ф (х), ф (— л) = |
lim ф (х), |
|
X - + 7 Z — 0 |
7 П —* П + 0 |
|
|
|
х |
|
Доказать далееф, что(г* +последовательность2я) = ф (я), — оо{%<,}т=о<[схоо°Дчтся. |
в тогда |
и только тогда, когда {фт } сходится равномерно на — оо < х < оо.
(Отсюда вытекает, что пространство основных функций для систе мы Фурье примера 9.2.1 можно на основе указанного расширения отождествить с пространством ^>2_ периодических основных функций.
Следовательно, элементы сопряженного пространства j&' можно отождествить с периодическими распределениями. Относительно оп
ределения |
см. |
Земанян [1], п. |
|
11.2.) |
|
|
|
|
|
9.4. Пространство А ' обобщенных функций |
А , |
мы |
Пространство обобщенных функций, сопряженное к |
|
обозначим через |
А '. |
Оно, так же как п |
А , |
зависит |
от вы |
бора /, 91 и фп. |
Оказывается, |
|
что |
более удобно работать |
не |
с числом |
</, ср>, которое |
|
функционал |
f Е= А ' |
ставит |
в |
соответствие |
элементу cp 6Е |
А , |
а с |
числом, которое / |
соотносит элементу, комплексно сопряженному |
ср. Мы |
обозначим последнее через (/, ср); таким образом, |
|
|
|
|
|
|
(/, ф) = |
< /, Ф>- |
|
|
|
(1) |
Использование обозначения (•, •) как для скалярного произведения в L 2 (/), так и для числа, которое f E ü A ' ста вит в соответствие элементу cp ЕЕ А , не приведет к недо разумениям; мы это увидим ниже в свойстве III. Правило умножения на комплексное число а принимает теперь следующий вид:
(а /, ср) = (/, аср) а= (/, ср).
Так как пространство |
Л |
полно, то согласно теореме 1.8.3, |
полно и |
|
Л ' |
|
|
|
|
|
Л ' . |
|
|
|
|
Мы определим обобщенный дифференциальный опера |
тор 91' на |
|
при помощи соотношения |
(3*7. ср). |
В силу |
|
(/, 91ср) = </, 91ср> А <91'/, ф> = |
|
соглашения, |
принятого в п. |
2.5, оператор 91' |
представляется дифференциальным выражением, полу чающимся в результате обращения порядка дифферен цирования и умножения тіа Ѳ в операторе 91, замены каж дого D па — D и затем перехода к комплексно сопря женному выражению. Но, проделав указанные операции,
мы |
|
получим |
выражение, |
|
совпадающее |
с формулой |
|
(4) |
п. 9.2Л ' |
для |
оператора 91. |
Таким образом, |
91 = |
|
91' |
опре |
деляется как |
обобщенный |
|
дифференциальный |
|
оператор |
на |
|
|
посредством равенства |
|
/ |
е |
. / |
, |
Ф е |
|
1 |
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
(31/, |
ср) |
= |
(/, |
91ср), |
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
91 —Лнепрерывное'. |
|
линейное |
отображение |
|
Л |
в |
Л |
|
, то оноЛявляется' |
также и непрерывным линейным отоб |
ражением |
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
|
|
|
|
Мы перечислим теперь некоторые другие свойства ./Г. |
|
|
I. |
25 |
(7), |
очевидно, |
является |
подпространством |
|
|
, а |
сходимость в 25.(7) влечет сходимость в |
Л . |
Следовательно, |
сужение любой |
обобщенной |
функции |
/ ЕЕ |
Л ' |
|
на |
25 (7) |
принадлежит |
25' |
(7). |
|
Кроме |
|
того, |
из |
сходимости |
в |
|
Л ' |
вытекает сходимость в 25' |
(7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. |
Так |
как |
|
25 (7) Щ |
Л |
CZ $ (7) |
и |
25 |
|
(7) — плотно |
в |
Щ |
(7), |
Л |
|
|
|
плотно |
в |
ё{1). |
Поэтому из следствия |
|
|
то Л ' .также |
|
|
|
1.8.2а и леммы 9.3.4 мы получаем, что |
|
|
(7) — подпро |
странство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь г |
|
|
|
|
|
|
|
Л , |
|
|
|
|
|
|
|
III . |
Мы можем вложить |
|
|
|
(7) (и поэтомуА , |
|
посколь |
ку |
Л |
d |
Ь 2 |
(7)) |
в |
Л |
', |
определив число, |
которое / £Е |
Ь й |
(7) |
ставит в соответствие каждой функции ср (Е |
|
|
формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Л ф) = |
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^/(*)?(*)<&• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Линейность |
этого |
функционала |
на |
|
очевидна. |
Его |
не |
прерывность на |
Л |
вытекает |
|
изЛтого, что если последова |
|
|
|
тельность {cpm},n=i |
сходится в |
|
|
к нулю, |
то в силу нера |
венства Шварца |
I |
< |
« о |
(/) |
« о |
|
( ф т ) |
- > |
О , |
|
Ш |
>- OQ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I (/» |
Фтп) |
|
|
|
|
|
|
|
|
