L 2 Определение (3) |
согласуется с тем фактом, |
|
отмеченным |
в |
п. 9.2, |
что |
пространство, |
сопряженное |
к |
|
Ь2 |
(/), |
есть |
|
(/), н что скалярное произведение |
(Іг, |
) |
является |
как |
раз тем числом, |
которое% |
произвольныйL 2 |
непрерывный ли |
нейный функционал |
Іі |
на |
L 2 |
(/) ставит в соответствие про |
извольной функции |
|
£= |
|
|
(/). |
|
|
Ь 2{1) |
|
|
|
f u g |
|
|
|
Отметим, |
|
что указанное вложение |
в |
|
Л ' |
|
взаимно |
однозначно. Действительноcp) |
, |
|
если два элемента |
|
|
|
про |
странства |
Ь 2 |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) при вложении переходят в один и тот же |
элемент |
Л |
' , то (/, |
|
= |
(g, |
ср) для любой функции cp GE® (/). |
в |
Но в силу рассуждения, |
|
аналогичного |
приведенному |
абзаце, |
следующем |
за |
равенством (3) |
п. |
3.10, |
отсюда |
вытекает, что / = |
g |
почти всюду на /. |
|
Следовательно, |
/ и |
g |
принадлежат к одному классу эквивалентности в |
Ь 2(І). |
|
Полезнымк, |
результатом |
|
является |
также |
|
следующий: |
если / = |
|
3lh'g |
|
|
некоторой |
функции |
g ЕЕ Ь2 |
(/) |
и неко |
|
|
/ |
Lдля |
|
|
|
|
|
|
торого |
|
то |
£ Е |
Л '. |
Это вытекает непосредственно из того |
факта, что |
|
2 |
(/) CZ |
Л ' |
и |
|
что |
91 |
отображает |
|
А ' |
в |
Л '. |
|
Стоит |
также |
отметить, |
|
что |
обычный |
оператор |
91 и |
обобщенный |
|
оператор 91' |
|
совпадают |
|
на |
|
Л |
, |
|
поскольку |
обычпый операторЛ ' |
91 |
самосопряжен на |
Л . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
IV . |
|
Теорема |
1.8.1 |
утверждает следующее: для любого |
элемента / £= |
|
существуют неотрицательное целое число |
|
и положительная постоянная С, |
такие, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I (/, ф) I < |
С m a x |
ак(ф) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для любой ф ЕЕ А . Здесь г и С зависят от /, по не от ф.
З а д а ч а |
9.4.1. Пусть с/ѣ, как и в задаче 9.3.3, пространство |
основных |
функции, |
соответствующее системе Фурье, |
описанной |
в примере 9.2.1. Пусть функция /€Е Ьг (Г) |
имеет вид f |
(х) = х для |
— я < X < |
я. |
Показать, |
что в смысле обобщенного дифференци |
рования |
|
|
|
|
|
|
|
D mj (х) = |
- л6<т - « |
(х - |
л) - |
яб*"1- 1» (х + |
я), т = 1 , |
2, 3, . . ., (4) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
(б(™-1) (х _ |
|
ф (я)) А |
( _ |
gtn-l ф (я), |
|
|
|
|
|
|
о |
|
и аналогичное определение принимается при замене я и х —* я — 0 на — я и X —* — я + 0 соответственно. При этом, как вытекает из задачи 9.3.3, правая часть соотношения (4) может быть расширена до периодического распределения
ОО |
|
— 2ѵл — я). |
— 2я ѵ=—оо |
б(тп~1) (х |
2 |
|
9.5.Ортонормальные разложения
иинтегральные преобразования обобщенных функций
Следующая теорема является основной в этой главе. Она
утверждает, что любая обобщенная функция из |
Л ' |
может |
быть |
разложена |
в ортонормальный ряд по системе |
{ф„}, |
использованной при построении |
Л . |
|
|
|
|
Т е о р е м а |
9.5.1. |
Если f |
ЕЕ |
Л |
', |
то |
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = |
|
2 |
( / . ^ n ) 'Фя» |
|
|
|
( ! ) |
|
|
|
|
|
п~0 |
Для |
доказательства |
нужно |
где ряд сходится в Л '. |
|
|
|
Д |
Ло к а з а т е л ь с т в о . |
только |
использовать лемму 9.3.2 |
и для |
любой функции |
Ф ЕЕ |
ф) |
написать |
|
|
= |
2 |
(/, ф п ) |
(ф , |
ф л ) = |
|
|
(/, |
= (/, 2 |
(ф , ф п )ф п ) |
|
Ф). (2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
(/, ф„) Сф„, |
Таким образом, ряд в правой части формулы (2) действи тельно сходится для любой і р Е І , а это и означает, что ряд в (1) сходится в Л '. Теорема доказана.
Мы можем рассматривать ортопормальное разложение
(1) как обращение формулы, определяющей некоторое интегральное преобразование обобщенных функций, ко торое задано выражением
U/ = F (п) ^ (/, фп), / е= Л \ п = 0, 1, 2, . . . (3)
Таким образом, U является отображением Л ' в прост ранство комплекснозначных функций, определенных па множестве натуральных чисел. Обратное отображение U-1 дается формулой (1), которую можно переписать в виде
ео
і г ^ ( п ) = 2 * > Н п = /. п=0
(В дальнейшем преобразованная функция (3) будет обоз начаться прописной буквой, соответствующей строчной букве, использованной для преобразуемой обобщенной функции из Л '.) Как нетрудно видеть, U является линей ным отображением, непрерывным в том смысле, что если
|
|
|
|
|
|
|
|
}«1 |
сходится в |
Л ' |
к /, то |
(я)}^=о сходится к |
F (п) |
{/ѵ |
|
|
|
для |
каждого |
п. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
0.5.2 |
(теорема единственности). Если |
Л |
S |
£= |
Л ' |
и если их преобразования удовлетворяют условию |
|
|
(и) при всех п, то |
/ = |
g в смысле равенства в Л '■ |
Z(n) |
= G |
|
|
fД о к а з а т е л ь с т в о . |
г,2чтоК />F (Фпл) )= —О (#,(| ХпФп|г)]) прифг. |
п=-0* .o j . |
|
|
— 8 |
|
|
|
|
|
то существует= S (такое/ —целое£>Фп)числоФп = |
|
З а д а ч а |
9.5.1. |
Показать, |
что если / е ^ ' и / ( л ) = |
(/, фп), |
|
З а д а ч а |
9.5.2. |
Пусть / ( E g ' (/), где I — интервал 0 < а: < |
|
оо. Установить |
для преобразования Лагерра, соответствующего |
системе примера 9.2.2, следующие формулы преобразования опера ций; при этом F (п) = Ц [/ (ж)]:
П
a) U [е-*/» Д в **/(*)]= 2 F (А-); k—Q
b) И [ex!2xDex^f (ж)] = nF (п) - (п + 1) F (п + 1);
c) Ц [ex/2Dxe~Xl'2f (ж) + ж/ (ж)] = (п + 1) [У (п) — F (п 4- 1)];
d) U [e~x,2Dxexl2f (ж)] = - (я + 1) F (л + 1);
e) U le~3xl2DxexDex/2f (ж)] = — 2(л + 1) F (п - f 1) + nF (л); /) U [ж/ (ж)] = — (и + 1) F {п + 1) + (2л + 1) F (л) —
- nF (л - 1), F ( - 1) = 0.
У казание. Использовать следующие формулы для полиномов Лагерра L n (ж) = Z,“ (ж);
x L n (*) = |
— (л + |
1) |
£„+і (я) + (2л + 1)_£п (ж) — лЛп_! (ж); |
L |
(х) = |
0; |
|
жD L n (ж) = |
- 1(я + 1) Ьп+1 (ж) — (л + 1 — ж) L n (ж); |
D [{L n (ж) |
F n+1 (ж)] |
= Ьп (ж). |
(Относительно различных свойств обычного преобразования Лагер ра см. Дебнат [1], Хиршман [2] и Мак-Калли [1]).
9.6. Описание обобщенных функций из А ' и их преобразований
Мы обратимся теперь к задаче точного описания функций F (п), порождаемых преобразованием U. В частности,
мы докажем, что последовательность {Ьп}^°=0 комплексных чисел является преобразованием некоторого элемента / из Л ' (т. е. Ъп = (/, фп)) в том и только в том случае, если эта последовательность удовлетворяет условию (2) на рост, сформулированному ниже. Это в свою очередь при водит к описанию элементов Jl' в терминах некоторых ком
бинаций обобщенных производных элементов простран ства (/).
Т е о р е м а 9.6.1. Пусть Ьп — комплексные числа. Ряд
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
M>n |
|
|
|
|
|
|
(1) |
сходится в Л ' тогда и |
только тогда |
когда существует |
п=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
такое неотрицательное целое число у, что, |
ряд |
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
\ к Г М |
|
|
|
|
|
|
сходится. |
Е |
сли |
|
при |
\l^° |
|
|
|
|
|
/ |
сумму ряда |
(1) |
|
|
|
|
|
этом обозначитъ через |
в Л ', |
то |
Ъп = |
(/, -ф„). |
|
|
по |
всем |
п, |
для |
|
|
(Символ 2 |
|
означает |
|
суммирование |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ni*1® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которых |
Кп ф |
|
0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что |
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Предположим сначала, |
ряд (2) сходится при некотором значении |
|
> |
|
0. Мы хотим |
доказать сходимость рядаоо |
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
(М ѵ.. ф) |
|
|
|
|
|
|
при любом ф £= |
Л . |
п=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда и будет следовать сходимость |
в |
Л ' |
ряда (1). Используя неравенство Шварца для суммы |
действительных чисел, мы можем написать |
|
|
|
|
2 I (Мѵ» ф) I = 2 1К (фп, ф) I = |
I22 1^ (ф» ^ |
Is]ѵ*- |
|
|
|
= 2 1 1 1 ^ (ф. w |
К |
[2 1 |
Первый ряд в правой части сходится по предположению,
вто время как второй ряд сходится в силу лемм 9.3.2 и
9.3.3.Таким образом, ряд (3) сходится.
Далее, предположим, что (1) |
сходится |
в |
Л ' |
и пусть |
/ — его сумма в |
Л '. |
Так как |
фт €Е |
<А, |
то |
мы можем |
написать |
(/, Ф т ) = 71=02 Ьп(Ф п . Ф т ) . |
|
|
|
и в силу ортонормированности |
получить формулу |
(/ѵфт) — Ьт . Этим доказано последнее утверждение тео*
ремы.. . . .................................. .............., •- -
