Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 150

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Снова предполагая, что (1) сходится в .Л' , мы докажем, теперь сходимость ряда (2) при некотором q. Мы сделаем это, используя метод Кореваара. Из доказательства тео­

ремы 9.5.1

(в частности, из равенства (1) п. 9.5) мы знаем,

что для

любой функции cp = E anij)n

Л

ряд

2 ä nbn

сходится.

Назовем этот результат условием

А .

Начиная

отсюда, мы будем предполагать, что аргументы чисел

ап

выбраны

удовлетворяющими равенству

änbn

=

\anbn

|.

 

 

 

 

Мы сначала покажем, что последовательность {К?Ьп}, где п пробегает те целые числа, для которых Кп Ф 0, огра­ ничена при некотором значении q, скажем, q0. Действи­ тельно, если это не так, то последовательность неограничена при всех q — 1, 2, 3, . . .; следовательно, существует возрастающая последовательность индексов nq, для которой

\K?bnq\ > 1 , q = 1, 2, 3, . . .

Выберем теперь ат так, что

І % | = І ^ О 'Г 1. ? = 1 ,2 , 3 , . . . ,

и ат — 0 при т Ф nq для всех q. При любом фиксиро­ ванном неотрицательном целом числе к

7П=гО

<7—1

Ряд в правой части сходится, поскольку величина | knq р*-? ограничена единицей для всех достаточно больших q.

Из леммы 9.3.3 вытекает только, что функция <р = принадлежит Л . Таким образом, мы нашли элемент ІА, для которого

 

 

 

 

со

 

 

 

оо

= °°;

 

 

 

 

 

 

 

 

п2= о \апЪп \ > 9=12

 

 

 

 

но это противоречит условию А.

 

 

что q |

К?Ьп

| -> О

Мы можем

поэтому

предполагать,

 

q0.

 

при

п

->

оо для всех

q

)>

q0,

так как |

кп

|q-»- оо. Теперь мы

покажем,

что (2) сходится для

некоторого

]>

 

 

Если

это не так, то (2) расходится для всех

q0.

Тогда су­

ществует

такая

возрастающая

последовательность

целых

3 24

тд,

чисел

m Q- l

что

1 <

S

| Л | < 2 ,

? — ?0 + 1» ?0 + 2, . . . .

 

n=*mg - l

 

 

 

 

ВозьмемI

наI этот== I раз

9

|,

mq^

п

дід'і 9

9о-

 

 

®n

bj.n

 

Тогда для клюбого фиксированного неотрицательного цело­

го числа т - і

i ^

«

m q- l

 

2

i M

2fc~2W

M(4) V

 

S

i

a =

 

 

'V 1

 

 

 

<7—1

 

 

 

 

 

Но [ Я,і I -V оо; поэтому сумма в (4) меньше числа 2q~2 для всех достаточно больших д. Отсюда следует, что ряд

S І^ п І2

п=о

сходится при любом к. В силу леммы 9.3.3 функция

сроо

=

2апфп принадлежит Л .

С другой стороны, ряд

2 |апЬп | расходится,

поскольку

п=0

mq

1 \ап К \ =

mq-1

IЪ1%п'

 

 

2

 

 

2

n = m q_ У * I > 9_1.

 

 

n = m 5_ i

 

 

1

Мы снова получили противоречие с условием А . Теорема доказана.

Следующая теорема дает точное описание элементов Л '.

Т е о р е м а 9.6.2. Для того чтобы / е е Л ', необходимо

идостаточно, чтобы существовали неотрицательное

целое число q и функция g ЕЕ Ь 2 (/), такие, что

 

 

 

 

 

\х=°

 

где сп

 

комплексные

постоянные.

 

—

понимается,

конечно, как обобщенный диф­

(Здесь

ференциальный оператор па

Л

'.

Символ 2 обозначает

 

хп=о

325

суммирование по тем

и,

для

которых

 

Хп

=

0; существует

только конечное число таких

п.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

А '

 

 

A g i A '.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

Достаточность.

 

Мы

 

уже

показали

в свойстве

 

III

 

п. 9.4, что 919

 

ее

 

 

и

 

 

 

Так как фп

€Е А

d

 

А ' ,

 

то

и

f ЕЕ А ' .

 

 

 

 

 

 

 

Необходимость.

 

Пусть

 

/ =

2 Е (п)ф„ ЕЕ

А ’ .

Если

Хп ф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, то положим

 

G

(

п

) =

 

X ^ F

(п),

 

где

q

>

 

0 таково,

что ряд

Если

Хп

 

 

 

2

 

|Ьп?/'» Г

G (п)

=

0.

 

Следова-

сходится.

 

(п)

 

 

0,

 

то положим

 

 

 

 

 

 

 

 

СО

 

 

|2

 

сходится, и в

 

силу теоремы

 

Рис-

тѳльно ряд 2 I £

 

 

 

 

са — Фишера (теорема 9.2.1) существует такая функция

gEE

ES L 2(I), для

которой

 

G(n) — g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

фп €=

А ,

 

 

 

91

 

 

(А,'ф„). Кроме того, поскольку

 

определение

 

на

 

приводит

к

равенствам

(g; ^пФп) = (£. ^Ф п) = №9g, ф„).

Собирая теперь все полученные результаты, мы можем написать

СО

/ = 2 * » ф» =

}-2 ^пС(»)Ф п+ 2 * »

ф» =

 

 

n=o

 

n^0

 

V = °

 

 

 

 

 

 

oo

 

2 ^ » Ф п

 

 

 

=

• 2 (s, ^ п ф „) +

=

 

 

OO

 

іг= 0

 

Xn=o

 

+ 2

 

Фп-

; = '2 (

Фп) Фп + 2

F

М Фп =

№g

F (п)

^S,

 

 

 

 

 

п=0

 

хп=о

 

 

 

Хп=0

 

 

Теорема доказана.

З а д а ч а 9.6.1. Пусть А — пространство основных функций, соответствующее системе Лагерра (см. пример 9.2.2). Показать, что

e~sx GE А - для каждого фиксированного sEE1#1, имеющего положитель­ ную действительную часть. Это позволит нам определить односто­ роннее преобразование Лапласа любого элемента / ЕЕ А ' формулой

F

(,) =

(/.(*), e~lx),

Re s >

0.

(6)

Положим, далее,

з

> Rc * >

П' 1г I <

1'

(7)

s =

326

и по стр о и м р азл о ж е н и е и р яд ш іда

i i Ä = |п ) v n- I* I< 1 .

(8)

=о

 

Доказать следующие два утверждения, которые дают возможность обратить формулу (6). Функция F (.5) является преобразованием

Лапласа в смысле определения (6) обобщенной функции / ЕЕ Ж ' тогда и только тогда, когда F (s) обладает разложением (8), где последова­ тельность комплексных чисел удовлетворяет условию (2) теоремы 9.6.1. В этом случае

 

 

/(‘>=

721 = 0

ъп% (о.

 

 

где ряд сходится в . і ' ,

а ф„ (/) —

функции Лагерра (см.

равенство

(6) п. 9.2).

 

 

 

 

 

 

Указание.

Использовать преобразование (10) п. 3.4.

 

З а д а ч а

9.6.2.

Показать, что в

члены ряда

(1) п. 9.5

можно переставлять произвольным образом.

9.7. Операционное исчисление для оператора Зі

Мы уже отмечали, что дифференциальный оператор 31 определяет непрерывное линейное отображение Л ' в Л '. Поэтому для любой обобщенной функции / Л ' мы можем написать

Ч =

оо

(/. %) з і Ч

=

оо

(/. Фп) Ч п -

721 = 0

7 12= 0

Это соотношение можно использовать для решения диффе­

ренциального

уравнения

вида

 

е,

 

(1)

 

Р

 

 

 

 

 

Р (Зі) и =

 

 

где

— полином,

а от заданной обобщенной функции

g

и неизвестной

и

требуется, чтобы они принадлежали про­

странству

А ' .

Применяя преобразование U, мы получаем

 

 

Р ІК )

и

(л)

=

G

(л),

U

(л) = Uh,

G

= Ug.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если Р (Кп) =уь=0 при всех п, то полученное уравнение можно разделить иа Р (А,„) и, применив оператор U-1, получить решение

— И п=0 Ѵ71

327

В силу 9.5.2 и 9.6.1 это решбние Существует и единственно

в

А

' . Если

Р (Хп) =

0

для

некоторых Л„,

скажем, для

ХПк (к =

1, .

. .,

т),

то

 

решение существует

в

А '

тогда

и

только тогда,

когда

G

n

0 при

к

=

1, .

. .,

т.

 

( h) =

 

 

В этом случае решение уравнения (1) имеет вид

 

 

(3)

Но оно уже

не

 

единственнот в А ' ,

и мы можем добавить

к

(3) дополнительное решение

 

 

 

 

 

 

 

где ah — произвольные числа.

З а д а ч а 9 .7 .1 . Сф орм улировать усл о в и я , пр и которы х опера­

ционное исчисление дл я 91 мож но обобщить н а системы дифференци альны х уравн ений .

 

З а д а ч а

9 .7Q.2 .

П уст ь

—

ком плекснозначяая ф ункци я

на

множ естве

 

 

 

 

Q

 

 

заданной системке

Q91,(к{пг)|)„},

f i n

 

{Хг1}, соответствую щ ая

П редполож и м ,

что

имеет следую щ и е свойства: (Хп)

ф

0 при

 

лю бом

 

 

дл я

 

 

 

 

 

Q

 

 

п ;

 

некоторого фиксированного целого числа

 

=

 

=

О (X*)

и [<2

(Х,,)]-1=

О

(Х£)

при

I

Хд|—* оо. Определим

 

оператор

Q

(97) на

А

'

равенством

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П о к азат ь ,

что

Q

(97)

— линейное

отображ ение

в

А ; ' .

П о к а ­

 

 

 

 

 

 

 

A r '

 

 

зать так ж е , Q что решение уравн ени я (1) имеет вид (2),

Р

гдезаменено

н а

Q .

Рассм отреть вопрос

о том ,

к а к н уж н о изменить эту формул

р овку, если

(Хп)

=

0 дл я

бесконечного набор а Хп.

 

 

 

 

9.8. Частные случаи

В п. 9.2 мы упомянули о том, что все интегральные преоб­ разования обобщенных функций, построенные на основе классических ортогональных полиномов, так же как и многие другие, являются частными случаями преобразо­ ваний, охватываемых развитой в этой главе теорией. Ниже мы перечислим ряд таких преобразований и для каждого из них укажем интервал I , дифференциальный оператор 31, собственные функции фп н собственные значения Хп. Функции фп образуют полное ортонормальное множество в Ь 2 (/); во всех случаях мы считаем выполненными усло­ вия п.9.2. Таким образом, любое прямое преобразование и

328

Смотрите также файлы