обратное к нему можно записать, просто подставляя со ответствующие величины в выражения
|
|
F |
(п) |
= (/ (я), ф„ |
(ж)), |
|
(1) |
|
|
f( x) |
|
|
В большинстве |
|
|
= 2 (/ . 'Фп)Фп(я)- |
|
|
случаев название преобразований, приве |
денных ниже, совпадает с названием соответствующей |
ортонормированной |
функции |
Источником |
формул, |
перечисленных далее в этом пункте, послужила книга |
Эрдейи [1],Конечныет. II, гдепреобразованияможно найти такжеФурьедополнительную. |
библиографию. |
|
|
|
|
Название этих |
1. |
|
обусловлено тем, |
преобразований |
что их ядра |
являются |
экспоненциальными |
функциями, |
а интервал |
I |
— коне |
чен. |
Первая форма. |
|
|
|
|
|
Іа. |
|
Этот случай рассмотрен |
в |
примере |
9.2.1. Здесь мы его приведем для полноты: |
|
|
|
/ = |
(— л , л), |
|
|
|
|
3I = |
- |
іН = Г ѴгН Г ѵ\ |
|
|
|
|
|
еіпх |
|
|
|
|
|
(Система пумерации отличается от принятой в общем слу чае; см. задачу 9.6.2.)
1Ь. Вторая форма:
I = (0, я), 91 = D \
n = 1, 2, 3, . . .,
Kn = — я2, n = 0, 1, 2, . . .
1c. Третья форма:
I = (0, я), 91 = D 2,
n = 1, 2, 3, . . .,
2. |
|
|
Лагерра: |
|
|
|
|
Преобразование I = (0 , о о ), |
|
з» |
- «n2 |
ct-i-1 |
|
|
|
_ |
D |
З і = x~a/2ex 2Dxa-+1e~xDx~<ll''2ex 2 = = xD “+ |
----- ^------ |
j— -\— |
— . |
Здесь |
а |
обозначает |
действительное |
число, |
большее —1; |
Ч>»(*) = |
[r(» + t + |
1)] ' ’ I *'V ‘ ;5L*W - |
|
» = |
0, 1. 2........... |
|
где Ln (х) — обобщенные полиномы Лагерра:
а д = 2 ( ; ; і : , ) |
»і! |
|
Как всегда,
W Г(» + 1)Г 0/-» + 1)’
Функции ф„ (х) называются обобщенными функциями Лагерра (прилагательное «обобщенный» используется здесь в ином смысле); число а будем называть их порядком.
Наконец,
К “ — п.
Система, рассмотренная в примере 9.2.2, является част
ным случаем этой и получается из нее при а — 0; L® (.г-) — это обычные полиномы Лагерра.
3. Преобразование Эрмита:
1 = |
( — |
оо |
, о о ), |
|
D~ |
|
+ |
|
е-Зі = |
e ^ D e ^ 'D e ^ - |
= |
— х3 |
1, |
|
(*) |
|
|
|
|
хг>Чіп |
’ |
п = 0, |
1, 2, |
. . ., |
|
|
фп (*) = [2пл! |
|
|
|
где Н п (х) — полиномы Эрмита:
Н п (х) |
. |
щ/аі |
(— l)m (2:r)w~2m |
|
у |
|
|
^ |
m!(n-2m)l |
Здесь, как и в дальнейшем, [п/2] обозначает либо п/2 либо (п — 1)/2, соответственно тому, четное или нет число п. Далее,
А,п = — 2п.
В этом частном случае пространство -Л оказывается совпа
дающим с пространством § быстро убывающих основных функций, а Л ' — с пространством $' распределений медленного роста. Доказательство этих утверждений дано в приложении к специальному отчету, цитированному
вработе Земаняна [12].
4.Преобразование Якоби:
|
|
I = |
(- 1, 1), |
|
|
)w (х) D [w |
|
|
|
31 |
= |
[u> |
(x)]"bD (х3 |
- 1 |
(z)]-’/., |
|
w |
|
х)а |
|
|
а |
|
где |
|
X) |
= |
(1 — |
(1 + |
х)р, |
и ß — действительные |
|
( |
|
|
числа, удовлетворяющие неравенствам а Д> — 1, ß Д> — 1.
где
2а+р+1Г(и + а + 1)Г(д + р + 1)
І п ~ ; t l ( 2 n + a + ß + l ) r ( n + a-4-ß + l) ’
a P n ’ ß) (ж) — полиномы Якоби:
« ■ » ( X ) = г - 2 (" д ) ( : : |
I ) |
(X - і ) - ( х + I r . |
Наконец, |
m=o |
ß |- 1). |
К — п (п -|- а -і |
аСледующие три преобразования являются частными слу |
чаямиа. |
[Преобразованиепреобразования |
ЛежандраЯкоби при: |
некоторых значениях |
и ß. |
|
|
|
|
4 |
1 = |
( - 1 . 1), |
|
|
1 = |
D , |
|
9 |
D (х- |
- 1) |
|
|
|
ф„ (я) = |
П + |
4“ |
Р п |
(ж). |
11 |
= 0, 1, 2, . . ., |
|
|
|
|
где Р п {х) — полиномы Лежандра:
m / |
п\/2п — 2т\ |
p » w = 2 - 2 ( - i ) “ L |
) ( |
„ ) * - “ • |
771=0
К = п (п + 1).
Этот случай получается из преобразования Якоби, если положить а = ß = 0.
Ab. Преобразование |
Чебышева: |
|
|
I = { - 1, 1). |
D |
(1 |
- |
х-)' Ф |
(1 - |
а;2)1.'., |
31 |
= |
(1 — a:2)1'' |
|
|
Фо (а:) = |
|
(1 — |
х2)~'Ь, |
|
|
|
|
|
|
^ У 1‘*Т«(*)• |
» = |
1 , 2 , 3 , . . . , |
Ф,і (*) = |
Y |
1 Г - |
где Тп (X) — полиномы Чебышева:
Іп/21
771=0
Кп = — тг2, 7і = О, 1, 2, . . .
Эта система получается из системы, соответствующей преобразованию Якоби, при а = ß = —1/2.
Ас. Преобразование Гегенбауэра:
I |
= |
( - 1, 1), |
31 |
= |
Iw (х)]" Ф (1 - х ^ '/ ф Iw (,т)ГЧ |
где w (X) — (1 — х2)р~'‘г и р — действительное число, при
чем р > |
— 1/2. Далее, |
|
|
0 |
1 2 |
|
где |
|
|
|
|
|
Ѵ я Г ( р + |
У«)Г(2р + |
в) |
|
|
а Сп (X) — полиномы |
«! (и + Р) Г (р) Г (2р) |
|
’ |
|
Гегенбауэра |
(называемые также |
|
|
— Г)711Г |
п |
п і) |
|
|
|
ультрасферическими полиномами): |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2т)! Г (р) |
|
^ |
' |
’ |
|
771=01»/2І |
|
|
|
( т ! (и —(р - г |
— |
|
/ о |
\П -27П |
|
К = — П (п + 2р).
Чтобы получить эту систему, нужно положить а = ß =
=р — Ѵг* в системе Якоби.
5.Конечные преобразования Ганкеля. Название этих преобразований объясняется тем, что их ядра содержат
функции Бесселя, а интервал / — конечен. Порядок р функций Бесселя считается действительным числом и называется порядком преобразования. Относительно фор мул и свойств, приведенных ниже, см. Бейтмен и Эрдейи
