Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

§ 3}

Приближенное решение краевой задачи

принципа максимума

169

(

(2/ (И . Ух) =

«< + , J (rf (0,

z, (0) dt

(i = 1,2, . . . ,/л)

(8)

1

i/i)= Pi.

» = 1°2, . . .

,s.

(9)

определяют yi = [у\, ■■■

,у\п).

И, наконец,

решая

еще

одну

линей­

ную задачу Коши:

y = D (t)y + d(t),

у ( Т ) = у и

(10)

получают искомое решение y(t)

задачи

(4) — (6).

В самом деле, полученная

из (10)

функция у (t)

является ре­

шением системы (4)

и в силу

(9) удовлетворяет граничным усло­

виям (6). Покажем,

что y{t)

удовлетворяет также

и граничным

условиям

(5). Действительно,

согласно

(7), (8),

(10)

имеем

т

(ai, У (t0))

= (г, (/„), у (/„)) =

-

fo (0, У it)) dt + (z£ (T), у (H ) =

i0

T

= — J

[(Zf, iO +

(Zi, i/)] dt +

(2, <H, #) =

*0

T

= — j [( —

Zi) +

(2j,

Д г /) +

(z£, d )] dt +

(Z; (T), y{) =

io

T

= ~ -^ (zi(t),d(t))dt +

(zl (T),yi) =

al ( i = 1, 2, . . . ,m).

^0

Здесь мы воспользовались равенством

(D*z,y) =

(z,D y). Таким об­

разом, найденная из

(10)

функция

y(t)

есть

решение

задачи

( 4 ) - ( 6 ) .

схемы

(например, по схеме Эйлера, Адамса, Рунге — Кутта и др.

[20])

и решать получающиеся разностные задачи Коши. При вы­

приближения yo(t), приближения yi{t), ..., yk(t),

••• можно искать

как решения линейных краевых задач

Ук+ 1 = F (Уk, t) +

Ак (/) (Ук+\ — Ук) у h

<

t <

Т,

v

Pi ( Ш ) Я ( ' Р,' ^

У

, ifcfi (*„)-&(*„))=<>,

(11)

Q i(y k (T )) +

(

dQi{ydk {T)) ,

Ук+1 ( Т ) - Ук(Т)) =

о,

i = l, . . .

,s, k =

0,

1, 2, ..

и

известная матрица,

dPi

dQi

— гради-

где Лй(с) — некоторая

.

■и ——

ду

ду

енты

функций P i (у)

и Q i(y ) соответственно.

К

сожалению, ника­

ких общих правил выбора матриц A k (t) не существует.

В тех слу­

чаях,

когда F (y ,t ) гладкая

функция,

полезно принять

-A k (t) =

dF (yk (t),t) ~

следует сказать, что

F(y, t)

лишь в ред-

_ —

Однако

ду

ние u = u (x , ф, фо, t), определяемое из условия

max Я (л:, ф, ф0, u, t),

часто бывает негладким или даже разрывным,

uev

и в этом случае от

2.

М е т о д с т р е л ь б заключается в

следующем.

Из условий

(2 ) , вообще говоря, можно

выразить m

координат

вектора у (to)

через остальные

s = 2 n —m координат. Пусть для определенности

первые /п координат у 1(to),

...,

ym(to) однозначно выражаются че­

рез

остальные

координаты

у 1 (to) =a>i(ym+I (^0),

y2n(to)),

i = l , 2 ,

Зададим каким-либо образом

у™+*у0) = % * ( t= l,...,s ),

ет вектор у (t0) = уо(Х ).

Решая

задачу

Коши для системы

(1) с

начальным - условием

y(to)=yo(X ),

получим

вектор-функцию

y(t,X), t o ^ t ^ T ,

которая

при

любом

выборе

X удовлетворяет

граничным условиям (2). Подставим у(Т, X) в

граничные

усло­

вия (3) и получим функции

Q i(y(T ,X ))=(fi(X ),

i — 1, ..., s,

пара­

метров Х = (Я,1.......

Xs).

Для

удовлетворения граничным условиям

(3) параметры X следует выбрать так, чтобы X удовлетворяли сле­

дующей, вообще говоря, трансцендентной системе уравнений:

ФДЯ,)

= ф , (А,1, —

, Я.*) = 0 (t = 1, 2, . . .

, s).

( 12)

172

П Р И Н Ц И П МАКСИМУМА Л. С. ПОНТРЯГИНА

\Гл. 3

(4) — (6) теперь остается

подставить найденную функцию y(t, А,)

в (6)

и определить Я,1, ....

Xs из получающейся при этом линейной

алгебраической системы

£

V (bh г} (Т)) =

pf - (bh z0 (Г)) (£ =

1, 2, . . . , s).

/=i

Как видим, применение метода стрельб к решению линейной

краевой задачи (4) — (6)

требует решения s + 1 задачи

Коши (для

определения z0((),

..., zs(t)) и s + 2 систем

линейных

алгебраиче­

ских

систем

(для

определения Z o(£ o), •••, zs(,£0) и параметров X).

В нелинейном случае для решения задачи (1) — (3)

можно при­

например, задачу (11)).

3.

Э ф ф е к т « н е у с т о й ч и в о с т и » и п у т и е г о п р е о д

л е н и я .

Следует заметить, что практическое применение методов

стрельб

и прогонки часто наталкивается на серьезную трудность,

у (■()

и переполнением разрядной

сетки ЭВМ даже в тех случаях,

когда

отрезок интегрирования

невелик.

Например, если

исходная система (1.4) имеет вид x=Ax-\-B(u.,t),

где А — посто­

янная матрица порядка «Х«> и,

кроме того,

f° (х, u, t) =

f° (и, t) , то

система (2.1)

для ф(£) может быть записана

так:

ф =

— Л*ф, где

Л * — матрица,

полученная транспонированием А.

Отсюда видно,

= (фо, фДО,

•••> Ф п ( 0 ) = Ф (t), удовлетворяющим системе урав­

нений

S

d f J ( x , u , t )

(13)

дх‘

полученной добавлением к системе

(2.1) еще одного уравнения при

i = 0 .

Такое

расширение

системы

(2.1) не меняет существа дела

и не

«портит» краевую

задачу

принципа максимума (2.13),