Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

# П

Задачи с закрепленным временем

219

Так как

то

Я ( Ч (0 ,

«й (0> О d t - У

j Rmln ( f ) d t

= — 1.

о

о

Кроме того,

rx(*ft (1)) =

rlmln =

— 1,

r 0 (xft (0)) =

r0min =

1. Согласно

теореме 2 последовательность

(xk (t),

uk (t)) является

минимизирую­

щей.

inf J (и) = — 1 не достигается ни

Заметим, что в этом примере

D

на какой допустимой паре. В самом деле,

если х2(^ )= 0 , то в силу

уравнения

x = u ( t ) = s 0

и / ( 0 ) = 0 > — 1; если же

x2( t ) ^ 0, то

J (а) >• — J и2(t) <# > — 1

(здесь

имеем

дело с так

называемым

о

скользящим режимом [63, 142]).

5.

Использование приведенных выше достаточных условий

K(x,t),

то функцией Кротова является также К(х, t) = К ( х ,

t) +

+ а ( 0 ,

где а ( 0 — произвольная непрерывная, кусочно-гладкая на

функция (или абсолютно непрерывная на jY0>Л )-

В Част­

ности,

если взять

t

® ( 0 =

^ m i n С О dx - j - T j j n i , ,,

т

то функции, R(x,u,t), ri(x ),

г0(х), соответствующие K = K - R a ,

та­

ковы, что R(x, и, t ) = R ( x , и, t) — Rmhi(t), поэтому inf R(x,

и, 0 = 0 ,

аналогично

(x,u)eDt

=

(x)

rlm!n и inf rx (x) = 0,

xSXf

220

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ

ОПТИМАЛЬНОСТИ

[Гл. 5

и,

наконец,

^ o W = f o W + « W и inf

г0 (х) = romln +

а ( д

х£Хи

без ограничения общности можем принять ,Rmin(0 = 0 ,

С учетом этого замечания из теорем

1, 2

имеем следующие ус­

ловия для определения функции Кротова:

R (х, и, 0 = (К , (х, t), f (х,

и, t)) + K t (х,

tj +

/° (x, и, t) > 0,

(13)

(х, и) е

Dt, t0< t < C T ,

ri(x) = — К(х,

Т) - f Фх(л:) > 0 ,

х£Хт,

(14)

r0{ x ) = K ( x , t 0) + <S>0{ x ) > r min,

x e X t„

(15)

u = u * ( t ) в случае теоремы 1

(разумеется,

в (14) и (15) равенства

должны получиться при х = х * ( Т )

и x = x * ( t 0) соответственно), а в

случае теоремы 2 равенства

в (13) — (15)

достигаются в

пределе

при k-*--)-оо в следующем смысле:

J R (Xk (0-

и* (0 , t)dt-*~0, rx (xk (Т)) -> 0,

r o (x k

( Q )

omin

( k

o d ) .

Задачу (13) — (15)

назовем задачей Коши — Кротова.

Эта за ­

связана с конкретной допустимой парой

(х* (t), и* (t))

или после­

довательностью допустимых пар (Xh(t),Uh(t)), k = \ , 2,

..., которые

подозреваются на

оптимальность

и

на которых

неравенства

(13) — (15) должны

превратиться

в равенства в указанном выше

тическое использование задачи Коши — Кротова в столь

общем

виде (13) — (15). Поэтому полезно рассматривать задачу

Коши —

Кротова при некоторых упрощающих предположениях. В

частно­

даже En'XV(t)), G(t0), G(T)

соответственно. В ряде случаев функ­

ция K ( x ,t )

может быть найдена из условий

inf

[(Kx (x,t), f (х, и,

t)) + Ki(x,t) + P ( x ,u ,t )] = 0,

(16)

§ п

Задачи с закрепленным временем

221

х £ Х и

t0< t < T ,

К ( Х , Т ) ^ Ф 1(Х),

х е х т,

(17)

К (х, t0) + Ф0 (х) > r0min,

л: 6 Xta,

(18)

где Vt — проекция множества

Dt на пространство Ег\ иногда мно­

жество Xt здесь

можно заменить на

G(t)

(или даже на Е п), мно­

жество Vt — на

V(t). Следует, однако, помнить, что подобные уп­

рощения задачи

(13) — (15) могут не привести к цели,

ибо упро­

(13) — (15)

может оказаться разрешимой.

Знание

функции K(x,t) из

(16), (17) и функции

u ( x ,t ) ^ V t,

на которой достигается

нижняя

грань в (16),

позволяет найти оп­

тимальную

траекторию

задачи

(1 )— (4):

для

этого

сначала

надо

найти точку x0£Xt. из условия r0 (х0) —

inf

г0 (х) ,

затем решить

X&xt0

задачу Коши x = f ( x , u ( x , t ) , t ) ,

x(t0) — x0. Оптимальность

получающейся траектории x(t)

и управления

u ( t ) = u ( x ( t ) , t )

вы­

текает из теоремы 1. Если же нижняя грань в

(16) или

inf г0(х)

не достигаются, то, зная функцию K(x,t)

из

(16),

(17)

Х^х и

и пользу­

рованием и является его естественным

обобщением.

А именно

уравнения (16), (17) при замене

на

V[t), Хт на GT превраща­

ются

в уравнения (4.4.5—6), и в

этом

случае функция Кротова

K(x,t)

тождественно совпадает с функцией Веллмана

B.(x,t). По­

K(x,t) из

(16),

(17)

справедливы утверждения теорем

4.4.1— 4

для задачи

(4.4.1— 4).

что функция Кротова K(x,t)

Однако следует сказать,

опреде­

ляется из

более широких условий (13)

— (15), и она может суще­

ствовать даже

тогда,

когда

функция

Веллмана не существует.

при

условиях

x — u{t),

х(0) = х ( 7 ) = 0 .

Показать,

что

пара

* * ( 0 = 0 , ы * ( ^ ) = 0 является

оптимальной

при 0 < 7 < ; я .

У к а з а н и е .

Функцию Кротова искать в виде К(х,

t) =ф (t)x2.

§

2. ДОСТАТОЧНЫЕ

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ

ДЛЯ

ЗАДАЧ

С НЕЗАКРЕПЛЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ

Рассмотрим задачу: минимизировать функционал

т

J(u,

tQ, Т) = j /о (х (0,

и (0, 0 dt + Ф0 (х (t0), g + Фх (х (7), 7 )

(1)

^0

при условиях

x(t)

=

f ( x ( t ) <u(t), t),

t0 < t < T ,

(2)

x(t)eG (t),

t0 < t < T ,

'

(3)

u — u ( t)^ V (t), u(t)

кусочно-непрерывна при

/ о ^ ^ 7 ,

(4)

где моменты t°, 7 в отличие от задачи

(1.1—4) неизвестны

п под­

лежат определению из условий

0

€ То,

7 6

,

t0

Т ,

(5)

стности,

если

/ °= 1, Ф о = Ф 1=

0 , то

придем к задаче быстродей­

ствия.

пару (x(t), u(t)),

Как и в §

1,

удовлетворяющую

условиям

(2) — (4),

назовем

допустимой

на отрезке ^о=£г^^7, и множество

всех допустимых

пар на этом

отрезке обозначим через

D[tt, 7].

ловиям

(5), обозначим

через D. В пространстве

Е пх Е г введем

множество Dt точек i(x,

и) следующим образом:

(х,

u ) ^ D t, если

существует допустимая

пара (х(т), « ( т ) ) е О , такая,

что x ( t ) — x,

u ( t ) = u

(в точках разрыва управления для определенности примем

Величины

to в т0,

7* 6 ту и пару ’(х* (/),

и* (/)) 6 D j/o, 7*] назовем

оптимальными,

если

V (a *(0 , й, Т*) =

inf J (и, g

7 )

= 7*,

где нижняя грань берется по всем

(х (t), и (t)) 6 D

[ g

7]

при все­

возможных t06 т0, 7 6 ту.

Скажем, что последовательности

to,k 6 т0,

Тк е тъ

(xk (0, uk (t)) e D [ t 0,k, Tk]

(k =

1,

2,

. . . )